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Articulo de referencia

Medida regular

En matemáticas , una medida regular en un espacio topológico es una medida para la cual todo conjunto medible puede aproximarse desde arriba mediante conjuntos medibles abiertos...

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En matemáticas , una medida regular en un espacio topológico es una medida para la cual todo conjunto medible puede aproximarse desde arriba mediante conjuntos medibles abiertos y desde abajo mediante conjuntos medibles compactos.

Definición

Sea ( X , T ) un espacio topológico y sea Σ una σ -álgebra en X. Sea μ una medida en ( X , Σ). Se dice que un subconjunto medible A de X es internamente regular si  

μ(A)=sorber{μ(F)∣F⊆A,F compacto y mensurable}{\displaystyle \mu (A)=\sup\{\mu (F)\mid F\subseteq A,F{\text{ compacto y medible}}\}}

Esta propiedad a veces se denomina "aproximación interna mediante conjuntos compactos". Algunos autores [ 1 ] [ 2 ] utilizan el término "ajustado " como sinónimo de "regular interno". Este uso del término está estrechamente relacionado con la compacidad de una familia de medidas , ya que una medida finita μ es regular internamente si y solo si , para todo ε > 0, existe algún subconjunto compacto K de X tal que μ ( X \ K )  < ε . Esta es precisamente la condición para que la colección unitaria de medidas { μ } sea ajustada. 

Se dice que es regular exterior si

μ(A)=inf{μ(GRAMO)∣GRAMO⊇A,GRAMO abierto y mensurable}{\displaystyle \mu (A)=\inf\{\mu (G)\mid G\supseteq A,G{\text{ abierto y medible}}\}}
  • Una medida se denomina internamente regular si todo conjunto medible es internamente regular. Algunos autores utilizan una definición diferente: una medida se denomina internamente regular si todo conjunto medible abierto es internamente regular.
  • Una medida se denomina regular externa si todo conjunto medible es regular externo.
  • Una medida se denomina regular si es regular externa e interna.

Ejemplos

Medidas regulares

Medidas regulares internas que no son regulares externas

  • Un ejemplo de una medida en la recta real con su topología usual que no es externamente regular es la medidaμ{\displaystyle \mu }dóndeμ(∅)=0{\displaystyle \mu (\emptyset )=0},μ({1})=0{\displaystyle \mu \left(\{1\}\right)=0\,\,}, yμ(A)=∞{\displaystyle \mu (A)=\infty \,\,}para cualquier otro conjuntoA{\displaystyle A}.
  • La medida de Borel en el plano que asigna a cualquier conjunto de Borel la suma de las medidas (unidimensionales) de sus secciones horizontales es interna regular, pero no externa regular, ya que todo conjunto abierto no vacío tiene medida infinita. Una variación de este ejemplo es la unión disjunta de un número incontable de copias de la recta real con medida de Lebesgue.
  • Un ejemplo de medida de Borelμ{\displaystyle \mu }En un espacio de Hausdorff localmente compacto que es internamente regular, σ-finito y localmente finito pero no externamente regular , Bourbaki (2004 , Capítulo IV, Ejercicio 5 de la sección 1) lo da como sigue. El espacio topológicoincógnita{\displaystyle X}tiene como conjunto subyacente el subconjunto del plano real dado por el eje y.{0}×R{\displaystyle \{0\}\times \mathbb {R} }junto con los puntos (1/ n , m / n 2 ) con m , n enteros positivos. La topología se da como sigue. Los puntos individuales (1/ n , m / n 2 ) son todos conjuntos abiertos. Una base de vecindades del punto (0, y ) está dada por cuñas que consisten en todos los puntos en X de la forma ( u , v ) con | v  − y | ≤ | u | ≤ 1/ n para un entero positivo n . Este espacio X es localmente compacto. La medida μ está dada haciendo que el eje y tenga medida 0 y que el punto (1/ n , m / n 2 ) tenga medida 1/ n 3 . Esta medida es internamente regular y localmente finita, pero no es externamente regular ya que cualquier conjunto abierto que contenga el eje y tiene medida infinito.     

Medidas regulares externas que no son regulares internas

  • Si μ es la medida regular interna del ejemplo anterior, y M es la medida dada por M ( S ) =  inf U ⊇ S μ ( U ) donde inf se toma sobre todos los conjuntos abiertos que contienen el conjunto de Borel S , entonces M es una medida de Borel localmente finita y regular externa en un espacio de Hausdorff localmente compacto que no es regular interna en el sentido fuerte, aunque todos los conjuntos abiertos son regulares internas, por lo que es regular interna en el sentido débil. Las medidas M y μ coinciden en todos los conjuntos abiertos, todos los conjuntos compactos y todos los conjuntos en los que M tiene medida finita. El eje y tiene medida M infinita aunque todos sus subconjuntos compactos tienen medida 0. 
  • Un cardinal medible con topología discreta tiene una medida de probabilidad de Borel tal que todo subconjunto compacto tiene medida 0; por lo tanto, esta medida es externamente regular pero no internamente regular. La existencia de cardinales medibles no puede probarse en la teoría de conjuntos ZF, pero (a fecha de 2013) se considera consistente con ella.

Medidas que no son ni internas ni externas regulares

  • El espacio de todos los ordinales a lo sumo iguales al primer ordinal no numerable Ω, con la topología generada por intervalos abiertos, es un espacio compacto de Hausdorff. La medida que asigna medida 1 a los conjuntos de Borel que contienen un subconjunto cerrado no acotado de los ordinales numerables y asigna 0 a los demás conjuntos de Borel es una medida de probabilidad de Borel que no es ni interna ni externamente regular.

Véase también

Referencias

  1. ↑ Ambrosio, L., Gigli, N. y Savaré, G. (2005). Flujos de gradiente en espacios métricos y en el espacio de medidas de probabilidad . Basilea: ETH Zúrich, Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-2428-7.{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
  2. ↑ Parthasarathy, KR (2005). Medidas de probabilidad en espacios métricos . AMS Chelsea Publishing, Providence, RI. xii+276. ISBN 0-8218-3889-X.MR 2169627 

Bibliografía

  • Billingsley, Patrick (1999). Convergencia de medidas de probabilidad . Nueva York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-19745-9.
  • Bourbaki, Nicolás (2004). Integración I. Springer-Verlag. ISBN 3-540-41129-1.
  • Parthasarathy, KR (2005). Medidas de probabilidad en espacios métricos . AMS Chelsea Publishing, Providence, RI. p.  xii+276. ISBN 0-8218-3889-X.MR 2169627 (Véase el capítulo 2) 
  • Dudley, RM (1989). Análisis real y probabilidad . Chapman & Hall.