Medida de Lebesgue

En matemáticas , la medida de Lebesgue es la forma estándar de asignar una noción de longitud a subconjuntos de la recta real , área a regiones del plano euclidiano y volumen a subconjuntos del espacio euclidiano en tres dimensiones o más. A menudo se denota${\displaystyle \lambda (\cdot )}$, se utiliza en todo el análisis matemático , especialmente en la definición de la integral de Lebesgue y en afirmaciones que se cumplen " casi en todas partes ", lo que significa excepto en un conjunto cuya medida de Lebesgue es cero.

La medida de Lebesgue extiende la longitud (o volumen) geométrica ordinaria de forma compatible con uniones numerables y otros límites numerables de conjuntos. Por ejemplo, todo subconjunto numerable de la recta real tiene medida de Lebesgue cero, al ser una unión numerable de puntos, que no tienen longitud, mientras que muchos conjuntos no numerables también tienen medida cero. Esta medida no está definida en todos los subconjuntos de la recta real (o del espacio euclidiano) según los axiomas habituales de la teoría de conjuntos: los conjuntos a los que se aplica se denominan medibles según Lebesgue.

Una forma de caracterizar la medida de Lebesgue es definirla primero sobre conjuntos de Borel , es decir, todos los conjuntos que se pueden obtener mediante un número numerable de operaciones de unión, completación de conjuntos e intersecciones, a partir de la colección de intervalos abiertos , de manera que asigne la longitud usual a los intervalos abiertos y satisfaga propiedades naturales al tomar límites de intervalos. La medida de Lebesgue se puede obtener completando esta medida de Borel , asignando medida cero a todos los subconjuntos de conjuntos de Borel que ya tienen medida cero.

Henri Lebesgue describió esta medida en el año 1901, a la que siguió, un año después, su descripción de la integral de Lebesgue. Ambas se publicaron como parte de su disertación Intégrale, Longueur, Aire en 1902. ^{[ 1 ]}

La medida de Lebesgue puede introducirse como una extensión de la longitud, el área y el volumen ordinarios. En la recta real, el punto de partida es que un intervalo como${\displaystyle [a,b]}$,${\displaystyle (a,b)}$, o${\displaystyle [a,b)}$debe tener longitud${\displaystyle ba}$. En${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Los conjuntos elementales correspondientes son cajas rectangulares. $${\displaystyle B=I_{1}\times \cdots \times I_{n},}$$ donde cada${\displaystyle I_{i}}$es un intervalo. El volumen de dicha caja es $${\displaystyle \operatorname {vol} (B)=\prod _{i=1}^{n}|I_{i}|.}$$ Una construcción relacionada con la medida de Lebesgue es el contenido de Jordan , que aproxima regiones mediante particiones finitas en cajas rectangulares. De forma similar a la integral de Riemann , un conjunto es medible en Jordan si existen particiones que contienen la región, y particiones contenidas dentro de la región, que tienen una diferencia arbitrariamente pequeña entre sí. La medida de Jordan no es tan robusta como la medida de Lebesgue, porque hay conjuntos bastante básicos que no son medibles en Jordan, como el conjunto de los números racionales .

La medida de Lebesgue extiende esta asignación de intervalos y cajas a una clase suficientemente grande de conjuntos más complicados, preservando al mismo tiempo la regla básica de aditividad contable : si${\displaystyle E_{1},E_{2},\ldots }$son conjuntos medibles disjuntos por pares, entonces $${\displaystyle \lambda \left(\bigcup _{k=1}^{\infty }E_{k}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }\lambda (E_{k}).}$$ Este requisito es más fuerte que la aditividad finita y es una de las principales razones por las que no todos los subconjuntos de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Se le puede asignar una medida de Lebesgue en el contexto habitual de la teoría de conjuntos.

El primer dominio para la medida es la colección de conjuntos de Borel . Los conjuntos de Borel en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$formar el más pequeño${\displaystyle \sigma }$-álgebra que contiene todos los conjuntos abiertos. De forma equivalente, son los conjuntos que se pueden obtener a partir de conjuntos abiertos aplicando uniones numerables, intersecciones numerables y complementos. Esto incluye conjuntos abiertos, conjuntos cerrados, conjuntos numerables, intervalos, cajas y muchos otros conjuntos obtenidos a partir de ellos mediante operaciones numerables (por ejemplo, el conjunto ternario de Cantor ).

Existe una medida única en los subconjuntos de Borel de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$que asigna a cada caja rectangular su volumen habitual y es invariante bajo traslaciones. A menudo se la denomina la versión de Borel de la medida de Lebesgue. Sin embargo, como medida que solo se aplica a los conjuntos de Borel, no es completa: un subconjunto de un conjunto de Borel de medida cero no tiene por qué ser Borel.

Los conjuntos medibles de Lebesgue se obtienen completando esta medida de Borel. Es decir, se añaden a los conjuntos de Borel todos los subconjuntos de conjuntos de Borel de medida cero, y todos los conjuntos que difieren de un conjunto de Borel por dicho conjunto nulo. De forma equivalente, un conjunto${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$es medible según Lebesgue si existe un conjunto de Borel.${\displaystyle B}$de tal manera que la diferencia simétrica $${\displaystyle E\triangle B=(E\setminus B)\cup (B\setminus E)}$$ tiene medida cero. La medida de Lebesgue de${\displaystyle E}$entonces se define como la medida de Borel de${\displaystyle B}$Esto está bien definido porque cambiar un conjunto por un conjunto nulo no cambia su medida.

Por ejemplo, el conjunto de Cantor es un conjunto de Borel de medida de Lebesgue cero. Por lo tanto, cada subconjunto del conjunto de Cantor es medible según Lebesgue, aunque no todos dichos subconjuntos sean conjuntos de Borel. Así, los conjuntos medibles según Lebesgue forman un conjunto más amplio.${\displaystyle \sigma }$-álgebra que los conjuntos de Borel.

Para cualquier intervalo${\displaystyle I=[a,b]}$, o${\displaystyle I=(a,b)}$, en el conjunto${\displaystyle \mathbb {R} }$de números reales, sea${\displaystyle \ell (I)=ba}$denota su longitud. Para cualquier subconjunto${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R} }$, la medida externa de Lebesgue ^{[ 2 ]}${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}(E)}$se define como un ínfimo

$${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}(E)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }\ell (I_{k}):{(I_{k})_{k\in \mathbb {N} }}{\text{ es una sucesión de intervalos abiertos con }}E\subset \bigcup _{k=1}^{\infty }I_{k}\right\}.}$$

La definición anterior se puede generalizar a dimensiones superiores de la siguiente manera. ^{[ 3 ]} Para cualquier cuboide rectangular${\displaystyle C}$que es un producto cartesiano${\displaystyle C=I_{1}\times \cdots \times I_{n}}$intervalos abiertos, deje${\displaystyle \operatorname {vol} (C)=\ell (I_{1})\times \cdots \times \ell (I_{n})}$(un producto de números reales) denota su volumen. Para cualquier subconjunto${\displaystyle E\subseteq \mathbb {R^{n}} }$,

$${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}(E)=\inf \left\{\sum _{k=1}^{\infty }\operatorname {vol} (C_{k}):{(C_{k})_{k\in \mathbb {N} }}{\text{ is a sequence of Cartesian products of open intervals with }}E\subset \bigcup _{k=1}^{\infty }C_{k}\right\}.}$$

Un conjunto${\displaystyle E}$satisface el criterio de Carathéodory siempre que, para cada${\displaystyle A\subseteq \mathbb {R^{n}} }$, tenemos:

$${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}(A)=\lambda ^{\!*\!}(A\cap E)+\lambda ^{\!*\!}(A\cap E^{\complement }).}$$

Aquí,${\displaystyle E^{\complement }}$es el complemento de${\displaystyle E}$Conjuntos${\displaystyle E}$Se dice que los elementos que satisfacen el criterio de Carathéodory son medibles según Lebesgue . El conjunto de todos los elementos que cumplen dicho criterio es...${\displaystyle E}$forma un σ -álgebra .

La medida de Lebesgue de dicho conjunto se define como su medida exterior de Lebesgue:

${\displaystyle \lambda (E)=\lambda ^{\!*\!}(E)}$.

ZFC demuestra que existen conjuntos no medibles ; ejemplos de ello son los conjuntos de Vitali .

• Cualquier intervalo cerrado${\textstyle [a,b]}$de números reales es medible según Lebesgue, y su medida de Lebesgue es la longitud${\textstyle b-a}$El intervalo abierto${\textstyle (a,b)}$tiene la misma medida, ya que la diferencia entre los dos conjuntos consiste únicamente en los puntos extremos.${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$, cada una de las cuales tiene medida cero .
• Cualquier producto cartesiano de intervalos${\textstyle [a,b]}$y${\textstyle [c,d]}$es medible según Lebesgue, y su medida de Lebesgue es${\textstyle (b-a)(d-c)}$, el área del rectángulo correspondiente .
• Además, todo conjunto de Borel es medible según Lebesgue. Sin embargo, existen conjuntos medibles según Lebesgue que no son conjuntos de Borel. ^{[ 4 ] [ 5 ]}
• Cualquier conjunto numerable de números reales tiene medida de Lebesgue 0. En particular, la medida de Lebesgue del conjunto de números algebraicos es 0 , aunque el conjunto sea denso en${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• El conjunto de Cantor y el conjunto de números de Liouville son ejemplos de conjuntos no numerables que tienen medida de Lebesgue 0 .
• Si se cumple el axioma de determinatividad, entonces todos los conjuntos de números reales son medibles según Lebesgue. Sin embargo, la determinatividad no es compatible con el axioma de elección .
• Los conjuntos de Vitali son ejemplos de conjuntos que no son medibles con respecto a la medida de Lebesgue. Su existencia se basa en el axioma de elección .
• Las curvas de Osgood son curvas planas simples con medida de Lebesgue positiva ^{[ 6 ]} (se pueden obtener mediante una pequeña variación de la construcción de la curva de Peano ). La curva del dragón es otro ejemplo inusual.
• Cualquier línea en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, para${\displaystyle n\geq 2}$, tiene una medida de Lebesgue cero. En general, todo hiperplano propio tiene una medida de Lebesgue cero en su espacio ambiente .
• El volumen de una n -bola se puede calcular en términos de la función gamma de Euler.

La medida Lebesgue sobre${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$tiene las siguientes propiedades:

1. Si${\textstyle A}$es un producto cartesiano de intervalos${\displaystyle I_{1}\times I_{2}\times ...\times I_{n}}$, entonces A es medible según Lebesgue y${\displaystyle \lambda (A)=|I_{1}|\cdot |I_{2}|\cdot _{\;\dots }\cdot |I_{n}|.}$
2. Si${\textstyle A}$es una unión de una cantidad numerable de conjuntos medibles de Lebesgue disjuntos por pares, entonces${\textstyle A}$es en sí mismo medible según Lebesgue y${\textstyle \lambda (A)}$es igual a la suma (o serie infinita ) de las medidas de los conjuntos medibles involucrados.
3. Si${\textstyle A}$Si es medible según Lebesgue, entonces también lo es su complemento .
4. ${\textstyle \lambda (A)\geq 0}$por cada conjunto medible según Lebesgue${\textstyle A}$.
5. Si${\textstyle A}$y${\textstyle B}$son medibles según Lebesgue y${\textstyle A}$es un subconjunto de${\textstyle B}$, entonces${\textstyle \lambda (A)\leq \lambda (B)}$(Una consecuencia de 2.)
6. Las uniones numerables y las intersecciones de conjuntos medibles de Lebesgue son medibles de Lebesgue. (Esto no es una consecuencia de 2 y 3, porque una familia de conjuntos que es cerrada bajo complementos y uniones numerables disjuntas no necesita ser cerrada bajo uniones numerables:${\displaystyle \{\emptyset ,\{1,2,3,4\},\{1,2\},\{3,4\},\{1,3\},\{2,4\}\}}$.)
7. Si${\textstyle A}$es un subconjunto abierto o cerrado de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$(o incluso el conjunto de Borel , véase espacio métrico ), entonces${\textstyle A}$es medible según Lebesgue.
8. Si${\textstyle A}$Si es un conjunto medible según la medida de Lebesgue, entonces es "aproximadamente abierto" y "aproximadamente cerrado" en el sentido de la medida de Lebesgue.
9. Un conjunto medible de Lebesgue puede ser "comprimido" entre un conjunto abierto que lo contiene y un conjunto cerrado que lo contiene. Esta propiedad se ha utilizado como una definición alternativa de la mensurabilidad de Lebesgue. Más precisamente,${\displaystyle E\subset \mathbb {R} }$es medible según Lebesgue si y solo si para cada${\displaystyle \varepsilon >0}$existe un conjunto abierto${\displaystyle G}$y un conjunto cerrado${\displaystyle F}$de tal manera que${\displaystyle F\subset E\subset G}$y${\displaystyle \lambda (G\setminus F)<\varepsilon }$. ^{[ 7 ]}
10. Un conjunto medible de Lebesgue puede ser "comprimido" entre un conjunto G _δ que lo contiene y un conjunto F _σ contenido . Es decir, si${\textstyle A}$Si es medible según Lebesgue, entonces existe un conjunto G _δ.${\textstyle G}$y una F _σ${\textstyle F}$de tal manera que${\textstyle F\subseteq A\subseteq G}$y${\textstyle \lambda (G\setminus A)=\lambda (A\setminus F)=0}$.
11. La medida de Lebesgue es localmente finita e internamente regular , por lo que es una medida de Radon .
12. La medida de Lebesgue es estrictamente positiva en conjuntos abiertos no vacíos, por lo que su soporte es la totalidad de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$.
13. Si${\textstyle A}$es un conjunto medible según Lebesgue con${\textstyle \lambda (A)=0}$(un conjunto nulo ), entonces cada subconjunto de${\textstyle A}$es también un conjunto nulo. Con mayor razón , cada subconjunto de${\displaystyle A}$es medible.
14. Si${\textstyle A}$es medible según Lebesgue y x es un elemento de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, luego la traducción de${\textstyle A}$por${\textstyle x}$, definido por${\displaystyle A+x:=\{a+x:a\in A\}}$, también es medible según Lebesgue y tiene la misma medida que${\textstyle A}$.
15. Si${\textstyle A}$es medible según Lebesgue y${\displaystyle \delta >0}$, luego la dilatación de${\displaystyle A}$por${\displaystyle \delta }$definido por${\displaystyle \delta A=\{\delta x:x\in A\}}$También es medible según Lebesgue y tiene medida${\displaystyle \delta ^{n}\lambda \,(A).}$
16. En términos más generales, si${\textstyle T}$es una transformación lineal y${\textstyle A}$es un subconjunto medible de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, entonces${\textstyle T(A)}$También es medible según Lebesgue y tiene la medida${\displaystyle \left|\det(T)\right|\lambda (A)}$.

Todo lo anterior puede resumirse sucintamente de la siguiente manera (aunque las dos últimas afirmaciones están vinculadas de forma no trivial a lo siguiente):

Los conjuntos medibles de Lebesgue forman un σ- álgebra que contiene todos los productos de intervalos, y${\displaystyle \lambda }$es la única medida completa invariante a la traslación en esa σ- álgebra con${\displaystyle \lambda ([0,1]\times [0,1]\times \cdots \times [0,1])=1.}$

La medida de Lebesgue también tiene la propiedad de ser σ -finita .

Un subconjunto de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$es un conjunto nulo si, para cada${\displaystyle \varepsilon >0}$, puede cubrirse con una cantidad numerable de productos de n intervalos cuyo volumen total es como máximo${\displaystyle \varepsilon }$Todos los conjuntos numerables son conjuntos nulos.

Si un subconjunto de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Si tiene dimensión de Hausdorff menor que n, entonces es un conjunto nulo con respecto a la medida de Lebesgue n -dimensional. Aquí la dimensión de Hausdorff es relativa a la métrica euclidiana en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$(o cualquier equivalente métrico de Lipschitz ). Por otro lado, un conjunto puede tener dimensión topológica menor que n y medida de Lebesgue n -dimensional positiva. Un ejemplo de esto es el conjunto de Smith-Volterra-Cantor , que tiene dimensión topológica 0 pero medida de Lebesgue unidimensional positiva.

Para demostrar que un conjunto dado${\textstyle A}$Si es medible según Lebesgue, normalmente se intenta encontrar un conjunto "más agradable".${\textstyle B}$que difiere de${\textstyle A}$solo por un conjunto nulo (en el sentido de que la diferencia simétrica${\textstyle (A\setminus B)\cup (B\setminus A)}$es un conjunto nulo) y luego demuestre que${\textstyle B}$se pueden generar utilizando uniones e intersecciones contables de conjuntos abiertos o cerrados.

La construcción moderna de la medida de Lebesgue es una aplicación del teorema de extensión de Carathéodory . Procede de la siguiente manera.

Arreglar${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Una caja en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$es un conjunto de la forma$${\displaystyle B=\prod _{i=1}^{n}[a_{i},b_{i}]\,,}$$dónde${\displaystyle b_{i}\geq a_{i}}$y el símbolo del producto aquí representa un producto cartesiano. El volumen de esta caja se define como$${\displaystyle \operatorname {vol} (B)=\prod _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})\,.}$$Para cualquier subconjunto${\displaystyle A}$de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, podemos definir su medida exterior${\displaystyle \lambda ^{\!*\!}(A)}$por:$${\displaystyle \lambda ^{*}(A)=\inf \left\{\sum _{B\in {\mathcal {C}}}\operatorname {vol} (B):{\mathcal {C}}{\text{ is a countable collection of boxes whose union covers }}A\right\}.}$$A continuación definimos el conjunto${\displaystyle A}$ser medible según Lebesgue si para cada subconjunto${\displaystyle S}$de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$,$${\displaystyle \lambda ^{*}(S)=\lambda ^{*}(S\cap A)+\lambda ^{*}(S\setminus A)\,.}$$Estos conjuntos medibles de Lebesgue forman un σ- álgebra , y la medida de Lebesgue se define por${\displaystyle \lambda (A)=\lambda ^{\!*\!}(A)}$para cualquier conjunto medible según Lebesgue${\displaystyle A}$.

La existencia de conjuntos que no son medibles según Lebesgue es una consecuencia del axioma de elección de la teoría de conjuntos , que es independiente de muchos de los sistemas convencionales de axiomas para la teoría de conjuntos . El teorema de Vitali , que se deduce del axioma, establece que existen subconjuntos de${\displaystyle \mathbb {R} }$que no son medibles según Lebesgue. Suponiendo el axioma de elección, se han demostrado conjuntos no medibles con muchas propiedades sorprendentes, como las de la paradoja de Banach-Tarski .

En 1970, Robert M. Solovay demostró que la existencia de conjuntos que no son medibles según Lebesgue no es demostrable dentro del marco de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel en ausencia del axioma de elección (véase el modelo de Solovay ). ^{[ 8 ]}

La medida de Borel coincide con la medida de Lebesgue en aquellos conjuntos para los que está definida; sin embargo, hay muchos más conjuntos medibles con Lebesgue que conjuntos medibles con Borel. Mientras que la medida de Lebesgue en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$es automáticamente una medida de Borel localmente finita , no toda medida de Borel localmente finita en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$es necesariamente una medida de Lebesgue. La medida de Borel es invariante a la traslación, pero no completa .

La medida de Haar se puede definir en cualquier grupo localmente compacto y es una generalización de la medida de Lebesgue (${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$(con la adición de un grupo localmente compacto).

La medida de Hausdorff es una generalización de la medida de Lebesgue que es útil para medir los subconjuntos de${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$de dimensiones inferiores a n , como subvariedades , por ejemplo, superficies o curvas en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$y conjuntos fractales . La medida de Hausdorff no debe confundirse con la noción de dimensión de Hausdorff .

Se puede demostrar que no existe un análogo de dimensión infinita de la medida de Lebesgue .

• 4 volúmenes
• Edison Farah
• Teorema de densidad de Lebesgue
• Medida de Lebesgue del conjunto de números de Liouville
• Conjunto no mensurable
  • Conjunto Vitali
• Medida Peano-Jordan