ecuación de Benjamin-Bona-Mahony

La ecuación de Benjamin-Bona-Mahony ( ecuación BBM , también ecuación de onda larga regularizada ; RLWE ) es la ecuación diferencial parcial

${\displaystyle u_{t}+u_{x}+uu_{x}-u_{xxt}=0.\,}$

Esta ecuación fue estudiada por Benjamin , Bona y Mahony ( 1972 ) como una mejora de la ecuación de Korteweg-de Vries (ecuación de KdV) para modelar ondas gravitatorias superficiales largas de pequeña amplitud, que se propagan unidireccionalmente en 1+1 dimensiones. Demuestran la estabilidad y unicidad de las soluciones de la ecuación BBM. Esto contrasta con la ecuación de KdV, que es inestable en sus componentes de alto número de onda . Además, mientras que la ecuación de KdV tiene un número infinito de integrales de movimiento , la ecuación BBM solo tiene tres. ^{[ 2 ] [ 3 ]} 

Anteriormente, en 1966, Peregrine introdujo esta ecuación en el estudio de los agujeros ondulatorios . ^{[ 4 ]}

Una versión generalizada n -dimensional viene dada por ^{[ 5 ] [ 6 ]}

${\displaystyle u_{t}-\nabla ^{2}u_{t}+\operatorname {div} \,\varphi (u)=0.\,}$

dónde${\displaystyle \varphi }$es una función suficientemente suave de${\displaystyle \mathbb {R} }$a${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Avrin y Goldstein (1985) demostraron la existencia global de una solución en todas las dimensiones.

La ecuación BBM posee soluciones de onda solitaria de la forma: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle u=3{\frac {c^{2}}{1-c^{2}}}\operatorname {sech} ^{2}{\frac {1}{2}}\left(cx-{\frac {ct}{1-c^{2}}}+\delta \right),}$

donde sech es la función secante hiperbólica y${\displaystyle \delta }$es un cambio de fase (por un desplazamiento horizontal inicial). Para${\displaystyle |c|<1}$, las ondas solitarias tienen una elevación de cresta positiva y viajan en la dirección positiva.${\displaystyle x}$-dirección con velocidad${\displaystyle 1/(1-c^{2}).}$Estas ondas solitarias no son solitones , es decir, después de interactuar con otras ondas solitarias, se genera una cola oscilatoria y las ondas solitarias han cambiado. ^{[ 1 ] [ 3 ]}

La ecuación BBM tiene una estructura hamiltoniana , ya que puede escribirse como: ^{[ 7 ]}

${\displaystyle u_{t}=-{\mathcal {D}}{\frac {\delta H}{\delta u}},\,}$con hamiltoniano${\displaystyle H=\int _{-\infty }^{+\infty }\left({\tfrac {1}{2}}u^{2}+{\tfrac {1}{6}}u^{3}\right)\,{\text{d}}x\,}$y operador${\displaystyle {\mathcal {D}}=\left(1-\partial _{x}^{2}\right)^{-1}\,\partial _{x}.}$

Aquí${\displaystyle \delta H/\delta u}$es la variación del hamiltoniano${\displaystyle H(u)}$con respecto a${\displaystyle u(x),}$y${\displaystyle \partial _{x}}$denota el operador diferencial parcial con respecto a${\displaystyle x.}$

La ecuación BBM posee exactamente tres leyes de conservación independientes y no triviales . ^{[ 3 ]} Primero${\displaystyle u}$es reemplazado por${\displaystyle u=-v-1}$en la ecuación BBM, lo que lleva a la ecuación equivalente:

${\displaystyle v_{t}-v_{xxt}=v\,v_{x}.}$

Las tres leyes de conservación son entonces: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{t}-\left(v_{xt}+{\tfrac {1}{2}}v^{2}\right)_{x}&=0,\\\left({\tfrac {1}{2}}v^{2}+{\tfrac {1}{2}}v_{x}^{2}\right)_{t}-\left(v\,v_{xt}+{\tfrac {1}{3}}v^{3}\right)_{x}&=0,\\\left({\tfrac {1}{3}}v^{3}\right)_{t}+\left(v_{t}^{2}-v_{xt}^{2}-v^{2}\,v_{xt}-{\tfrac {1}{4}}v^{4}\right)_{x}&=0.\end{aligned}}}$

Lo cual se puede expresar fácilmente en términos de${\displaystyle u}$mediante el uso${\displaystyle v=-u-1.}$

La versión linealizada de la ecuación BBM es:

${\displaystyle u_{t}+u_{x}-u_{xxt}=0.}$

Las soluciones de ondas progresivas periódicas tienen la forma:

${\displaystyle u=a\,\mathrm {e} ^{i(kx-\omega t)},}$

con${\displaystyle k}$el número de onda y${\displaystyle \omega }$la frecuencia angular . La relación de dispersión de la ecuación BBM linealizada es ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \omega _{\mathrm {BBM} }={\frac {k}{1+k^{2}}}.}$

De forma similar, para la ecuación de KdV linealizada${\displaystyle u_{t}+u_{x}+u_{xxx}=0}$La relación de dispersión es: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \omega _{\mathrm {KdV} }=k-k^{3}.}$

Esto se vuelve ilimitado y negativo para${\displaystyle k\to \infty ,}$y lo mismo se aplica a la velocidad de fase${\displaystyle \omega _{\mathrm {KdV} }/k}$y velocidad de grupo${\displaystyle \mathrm {d} \omega _{\mathrm {KdV} }/\mathrm {d} k.}$En consecuencia, la ecuación de KdV da ondas que viajan en la dirección negativa.${\displaystyle x}$-dirección para números de onda altos ( longitudes de onda cortas ). Esto contrasta con su propósito como aproximación para ondas unidireccionales que se propagan en la dirección positiva.${\displaystyle x}$-dirección. ^{[ 2 ]}

El fuerte crecimiento de la frecuencia${\displaystyle \omega _{\mathrm {KdV} }}$y velocidad de fase con número de onda${\displaystyle k}$plantearon problemas en la solución numérica de la ecuación de KdV, mientras que la ecuación BBM no tiene estas deficiencias. ^{[ 2 ]}

• Avrin, J.; Goldstein, JA (1985), "Existencia global para la ecuación de Benjamin-Bona-Mahony en dimensiones arbitrarias", Nonlinear Analysis , 9 (8): 861– 865, doi : 10.1016/0362-546X(85)90023-9 , MR 0799889 
• Benjamin, TB ; Bona, JL ; Mahony, JJ (1972), "Ecuaciones modelo para ondas largas en sistemas dispersivos no lineales", Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Serie A, Ciencias matemáticas y físicas , 272 (1220): 47–78 , Bibcode : 1972RSPTA.272...47B , doi : 10.1098/rsta.1972.0032 , ISSN 0962-8428 , JSTOR 74079 , S2CID 120673596   
• Bona, JL ; Pritchard, WG; Scott, LR (1980), "Interacción de ondas solitarias", Physics of Fluids , 23 (3): 438– 441, Bibcode : 1980PhFl...23..438B , doi : 10.1063/1.863011
• Goldstein, JA ; Wichnoski, BJ (1980), "Sobre la ecuación de Benjamin-Bona-Mahony en dimensiones superiores", Nonlinear Analysis , 4 (4): 665–675 , doi : 10.1016/0362-546X(80)90067-X
• Olver, PJ (1979), "Operadores de Euler y leyes de conservación de la ecuación BBM", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 85 (1): 143–160 , Bibcode : 1979MPCPS..85..143O , doi : 10.1017/S0305004100055572 , S2CID 10840014 
• Peregrine, DH (1966), "Cálculos del desarrollo de un orificio ondulatorio", Journal of Fluid Mechanics , 25 (2): 321– 330, Bibcode : 1966JFM....25..321P , doi : 10.1017/S0022112066001678 , S2CID 122299686 
• Zwillinger, D. (1998), Manual de ecuaciones diferenciales (3.ª  ed.), Boston, MA: Academic Press, pp.  174 y 176, ISBN 978-0-12-784396-4, MR 0977062 (Advertencia: En la página  174, Zwillinger formula erróneamente la ecuación de Benjamin-Bona-Mahony, confundiéndola con la ecuación de KdV, que es similar).
• Olver, PJ (1980), "Sobre la estructura hamiltoniana de las ecuaciones de evolución", Actas Matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge , 88 (1): 71– 88, Bibcode : 1980MPCPS..88...71O , doi : 10.1017/S0305004100057364 , S2CID 10607644