Divisor de Cartier efectivo relativo

En geometría algebraica , un divisor de Cartier efectivo relativo es aproximadamente una familia de divisores de Cartier efectivos . Precisamente, un divisor de Cartier efectivo en un esquema X sobre un anillo R es un subesquema cerrado D de X que (1) es plano sobre R y (2) el haz ideal${\displaystyle I(D)}$de D es localmente libre de rango uno (es decir, haz invertible ). De forma equivalente, un subesquema cerrado D de X es un divisor de Cartier efectivo si existe una cobertura afín abierta.${\displaystyle U_{i}=\operatorname {Spec} A_{i}}$de X y divisores distintos de cero${\displaystyle f_{i}\in A_{i}}$de tal manera que la intersección${\displaystyle D\cap U_{i}}$viene dada por la ecuación${\displaystyle f_{i}=0}$(llamadas ecuaciones locales) y${\displaystyle A/f_{i}A}$es plano sobre R y de tal manera que sean compatibles.

Sea L un fibrado lineal sobre X y s una sección del mismo tal que${\displaystyle s:{\mathcal {O}}_{X}\hookrightarrow L}$(en otras palabras, s es un${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)}$- elemento regular para cualquier subconjunto abierto U. )

Elige alguna cubierta abierta${\displaystyle \{U_{i}\}}$de X tal que${\displaystyle L|_{U_{i}}\simeq {\mathcal {O}}_{X}|_{U_{i}}}$. Para cada i , a través de los isomorfismos, la restricción${\displaystyle s|_{U_{i}}}$corresponde a un divisor distinto de cero${\displaystyle f_{i}}$de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U_{i})}$Ahora, definamos el subesquema cerrado.${\displaystyle \{s=0\}}$de X (llamado el lugar geométrico cero de la sección s ) por

${\displaystyle \{s=0\}\cap U_{i}=\{f_{i}=0\},}$

donde el lado derecho significa el subesquema cerrado de${\displaystyle U_{i}}$dado por el haz ideal generado por${\displaystyle f_{i}}$Esto está bien definido (es decir, coinciden en las superposiciones) ya que${\displaystyle f_{i}/f_{j}|_{U_{i}\cap U_{j}}}$es un elemento unitario. Por la misma razón, el subesquema cerrado${\displaystyle \{s=0\}}$es independiente de la elección de trivializaciones locales.

De forma equivalente, el lugar geométrico cero de s puede construirse como una fibra de un morfismo; es decir, considerando L como su espacio total, la sección s es un X -morfismo de L : un morfismo${\displaystyle s:X\to L}$de tal manera que s seguido de${\displaystyle L\to X}$es la identidad. Entonces${\displaystyle \{s=0\}}$puede construirse como el producto fibrado de s y la incrustación de sección cero${\displaystyle s_{0}:X\to L}$.

Finalmente, cuando${\displaystyle \{s=0\}}$es plano sobre el esquema base S , es un divisor de Cartier efectivo en X sobre S. Además, esta construcción agota todos los divisores de Cartier efectivos en X de la siguiente manera. Sea D un divisor de Cartier efectivo y${\displaystyle I(D)}$denotemos el haz ideal de D. Debido a la libertad local, tomando${\displaystyle I(D)^{-1}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}-}$de${\displaystyle 0\to I(D)\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{D}\to 0}$da la secuencia exacta

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}\to I(D)^{-1}\to I(D)^{-1}\otimes {\mathcal {O}}_{D}\to 0}$

En particular, 1 en${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})}$se puede identificar con una sección en${\displaystyle \Gamma (X,I(D)^{-1})}$, que denotamos por${\displaystyle s_{D}}$.

Ahora podemos repetir el argumento inicial con${\displaystyle L=I(D)^{-1}}$Dado que D es un divisor de Cartier efectivo, D es localmente de la forma${\displaystyle \{f=0\}}$en${\displaystyle U=\operatorname {Spec} (A)}$para algún divisor no nulo f en A . La trivialización${\displaystyle L|_{U}=Af^{-1}{\overset {\sim }{\to }}A}$se obtiene mediante la multiplicación por f ; en particular, 1 corresponde a f . Por lo tanto, el lugar geométrico de ceros de${\displaystyle s_{D}}$es D.​

• Si D y D' son divisores de Cartier efectivos, entonces la suma${\displaystyle D+D'}$es el divisor de Cartier efectivo definido localmente como${\displaystyle fg=0}$Si f y g dan ecuaciones locales para D y D' .
• Si D es un divisor de Cartier efectivo y${\displaystyle R\to R'}$es un homomorfismo de anillos , entonces${\displaystyle D\times _{R}R'}$es un divisor Cartier efectivo en${\displaystyle X\times _{R}R'}$.
• Si D es un divisor de Cartier efectivo y${\displaystyle f:X'\to X}$un morfismo plano sobre R , entonces${\displaystyle D'=D\times _{X}X'}$es un divisor de Cartier efectivo en X' con el haz ideal${\displaystyle I(D')=f^{*}(I(D))}$.

Dado un divisor de Cartier efectivo D , existen dos formas equivalentes de asociar un divisor de Weil.${\displaystyle [D]}$lo.

• Katz, Nicholas M .; Mazur, Barry (1985). Módulos aritméticos de curvas elípticas . Princeton University Press . ISBN 0-691-08352-5.