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Articulo de referencia

Densidad tensorial

En geometría diferencial , una densidad tensorial o tensor relativo es una generalización del concepto de campo tensorial . Una densidad tensorial se transforma como un campo te...

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En geometría diferencial , una densidad tensorial o tensor relativo es una generalización del concepto de campo tensorial . Una densidad tensorial se transforma como un campo tensorial al pasar de un sistema de coordenadas a otro (véase campo tensorial ), con la salvedad de que además se multiplica o pondera por una potencia.W{\displaystyle W}del determinante jacobiano de la función de transición de coordenadas o su valor absoluto. Una densidad tensorial con un solo índice se denomina densidad vectorial . Se distingue entre densidades tensoriales (auténticas), densidades pseudotensoriales, densidades tensoriales pares y densidades tensoriales impares. A veces, las densidades tensoriales con un peso negativoW{\displaystyle W}se denominan capacidad tensorial. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] Una densidad tensorial también puede considerarse como una sección del producto tensorial de un fibrado tensorial con un fibrado de densidad .

Motivación

En física y campos relacionados, a menudo es útil trabajar con los componentes de un objeto algebraico en lugar del objeto en sí. Un ejemplo sería descomponer un vector en una suma de vectores base ponderados por algunos coeficientes como v→=do1mi→1+do2mi→2+do3mi→3{\displaystyle {\vec {v}}=c_{1}{\vec {e}}_{1}+c_{2}{\vec {e}}_{2}+c_{3}{\vec {e}}_{3}} dóndev→{\displaystyle {\vec {v}}}es un vector en el espacio euclidiano tridimensional ,doi∈R1 y mi→i{\displaystyle c_{i}\in \mathbb {R} ^{1}{\text{ y }}{\vec {e}}_{i}}son los vectores base estándar habituales en el espacio euclidiano. Esto suele ser necesario para fines computacionales y a menudo puede resultar esclarecedor cuando los objetos algebraicos representan abstracciones complejas, pero sus componentes tienen interpretaciones concretas. Sin embargo, con esta identificación, hay que tener cuidado de seguir los cambios de la base subyacente en la que se expande la cantidad; en el transcurso de un cálculo puede ser conveniente cambiar la base mientras el vectorv→{\displaystyle {\vec {v}}}permanece fijo en el espacio físico. De manera más general, si un objeto algebraico representa un objeto geométrico, pero se expresa en términos de una base particular, entonces es necesario, cuando se cambia la base, cambiar también la representación. Los físicos a menudo llaman tensor a esta representación de un objeto geométrico si se transforma bajo una secuencia de transformaciones lineales dada una transformación lineal de la base (aunque, de forma confusa, otros llaman "tensor" al objeto geométrico subyacente que no ha cambiado bajo la transformación de coordenadas, una convención que este artículo evita estrictamente). En general, existen representaciones que se transforman de maneras arbitrarias dependiendo de cómo se reconstruye el invariante geométrico a partir de la representación. En ciertos casos especiales, es conveniente usar representaciones que se transforman casi como tensores, pero con un factor no lineal adicional en la transformación. Un ejemplo prototípico es una matriz que representa el producto vectorial (área del paralelogramo generado) enR2.{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.} La representación viene dada por en la base estándar por tú→×v→=[tú1tú2][01−10][v1v2]=tú1v2−tú2v1{\displaystyle {\vec {u}}\times {\vec {v}}={\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}=u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1}}

Si ahora intentamos expresar esta misma expresión en una base distinta a la base estándar, entonces los componentes de los vectores cambiarán, digamos de acuerdo con[tú1′tú2′]T=A[tú1tú2]T{\textstyle {\begin{bmatrix}u'_{1}&u'_{2}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}=A{\begin{bmatrix}u_{1}&u_{2}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}}dóndeA{\displaystyle A}es una matriz de números reales de 2x2. Dado que el área del paralelogramo generado es un invariante geométrico, no puede haber cambiado con el cambio de base, por lo que la nueva representación de esta matriz debe ser: (A−1)T[01−10]A−1{\displaystyle \left(A^{-1}\right)^{\textsf {T}}{\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}A^{-1}} que, al expandirse, es simplemente la expresión original pero multiplicada por el determinante deA−1,{\displaystyle A^{-1},}que también es1detA.{\textstyle {\frac {1}{\det A}}.} De hecho, esta representación podría considerarse como una transformación tensorial de dos índices, pero en cambio, es computacionalmente más fácil pensar en la regla de transformación tensorial como una multiplicación por1detA,{\textstyle {\frac {1}{\det A}},}en lugar de como 2 multiplicaciones de matrices (De hecho, en dimensiones superiores, la extensión natural de esto esnorte,norte×norte{\displaystyle n,n\times n}multiplicaciones de matrices, que para grandesnorte{\displaystyle n}es completamente inviable). Los objetos que se transforman de esta manera se denominan densidades tensoriales porque surgen de forma natural al considerar problemas relacionados con áreas y volúmenes, y por lo tanto se utilizan con frecuencia en la integración.

Definición

En este artículo, algunos autores clasifican las densidades tensoriales en dos tipos: densidades tensoriales (auténticas) y densidades pseudotensoriales. Otros autores las clasifican de forma diferente, en densidades tensoriales pares y densidades tensoriales impares. Cuando el peso de una densidad tensorial es un número entero, existe una equivalencia entre estos enfoques que depende de si el número entero es par o impar.

Cabe señalar que estas clasificaciones aclaran las diferentes maneras en que las densidades tensoriales pueden transformarse de forma anómala bajo transformaciones de coordenadas que invierten la orientación. Independientemente de su clasificación en estos tipos, solo existe una forma en que las densidades tensoriales se transforman bajo transformaciones de coordenadas que preservan la orientación .

En este artículo hemos elegido la convención que asigna un peso de +2 agramo=det(gramoρσ){\displaystyle g=\det \left(g_{\rho \sigma }\right)}, el determinante del tensor métrico expresado con índices covariantes . Con esta elección, las densidades clásicas, como la densidad de carga, se representarán mediante densidades tensoriales de peso +1. Algunos autores utilizan una convención de signos para los pesos que es la negación de la presentada aquí. [ 4 ]

A diferencia del significado utilizado en este artículo, en la relatividad general " pseudotensor " a veces significa un objeto que no se transforma como un tensor o tensor relativo de ningún peso.

Densidades tensoriales y pseudotensoriales

Por ejemplo, una densidad tensorial mixta de rango dos (auténtica) de pesoW{\displaystyle W}se transforma como: [ 5 ] [ 6 ]

Tβα=(det[∂incógnita¯yo∂incógnitaγ])W∂incógnitaα∂incógnita¯δ∂incógnita¯ϵ∂incógnitaβT¯ϵδ,{\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }=\left(\det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right)^{W}\,{\frac {\partial {x}^{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\delta }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\epsilon }}{\partial {x}^{\beta }}}\,{\bar {\mathfrak {T}}}_{\epsilon }^{\delta }\,,}    ((auténtica) densidad tensorial de peso (entero)W{\displaystyle W})

dóndeT¯{\displaystyle {\bar {\mathfrak {T}}}}es la densidad tensorial de rango dos en elincógnita¯{\displaystyle {\bar {x}}}sistema de coordenadas,T{\displaystyle {\mathfrak {T}}}es la densidad tensorial transformada en elincógnita{\displaystyle {x}}sistema de coordenadas; y utilizamos el determinante jacobiano . Debido a que el determinante puede ser negativo, como ocurre en una transformación de coordenadas que invierte la orientación, esta fórmula solo es aplicable cuandoW{\displaystyle W}es un número entero. (Sin embargo, consulte las densidades tensoriales pares e impares a continuación).

Decimos que una densidad tensorial es una densidad pseudotensorial cuando hay un cambio de signo adicional bajo una transformación de coordenadas que invierte la orientación. Una densidad pseudotensorial mixta de rango dos de pesoW{\displaystyle W}se transforma como

Tβα=sgn⁡(det[∂incógnita¯yo∂incógnitaγ])(det[∂incógnita¯yo∂incógnitaγ])W∂incógnitaα∂incógnita¯δ∂incógnita¯ϵ∂incógnitaβT¯ϵδ,{\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }=\operatorname {sgn} \left(\det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right)\left(\det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right)^{W}\,{\frac {\partial {x}^{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\delta }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\epsilon }}{\partial {x}^{\beta }}}\,{\bar {\mathfrak {T}}}_{\epsilon }^{\delta }\,,}    (densidad pseudotensorial de peso (entero)W{\displaystyle W})

donde sgn (⋅{\displaystyle \cdot }) es una función que devuelve +1 cuando su argumento es positivo o −1 cuando su argumento es negativo.

Densidades tensoriales pares e impares

Las transformaciones para densidades tensoriales pares e impares tienen la ventaja de estar bien definidas incluso cuandoW{\displaystyle W}no es un número entero. Por lo tanto, se puede hablar, por ejemplo, de una densidad tensorial impar de peso +2 o de una densidad tensorial par de peso −1/2.

Una densidad tensorial par se transforma de la siguiente manera. Si bien la fórmula funciona para cualquier peso real W , el nombre surge porque la transformación es equivalente a la transformación de una densidad tensorial (auténtica) cuando su peso es par.

Tβα=|det[∂incógnita¯yo∂incógnitaγ]|W∂incógnitaα∂incógnita¯δ∂incógnita¯ϵ∂incógnitaβT¯ϵδ.{\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }=\left\vert \det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right\vert ^{W}\,{\frac {\partial {x}^{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\delta }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\epsilon }}{\partial {x}^{\beta }}}\,{\bar {\mathfrak {T}}}_{\epsilon }^{\delta }\,.}    (densidad tensorial uniforme del pesoW{\displaystyle W})

De forma similar, una densidad tensorial impar se transforma como sigue. Aunque la fórmula funciona para cualquier peso real W , el nombre surge porque la transformación es equivalente a la transformación de una densidad tensorial (auténtica) cuando su peso es impar.

Tβα=sgn⁡(det[∂incógnita¯yo∂incógnitaγ])|det[∂incógnita¯yo∂incógnitaγ]|W∂incógnitaα∂incógnita¯δ∂incógnita¯ϵ∂incógnitaβT¯ϵδ.{\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\beta }^{\alpha }=\operatorname {sgn} \left(\det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right)\left\vert \det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right\vert ^{W}\,{\frac {\partial {x}^{\alpha }}{\partial {\bar {x}}^{\delta }}}\,{\frac {\partial {\bar {x}}^{\epsilon }}{\partial {x}^{\beta }}}\,{\bar {\mathfrak {T}}}_{\epsilon }^{\delta }\,.}    (densidad tensorial impar de pesoW{\displaystyle W})

Pesos de cero y uno

Una densidad tensorial de cualquier tipo que tenga peso cero también se denomina tensor absoluto . Una densidad tensorial auténtica de peso cero, que también es una densidad tensorial par de peso cero, también se denomina tensor ordinario .

Si no se especifica un peso, pero se utiliza la palabra "relativo" o "densidad" en un contexto donde se necesita un peso específico, generalmente se asume que el peso es +1 .

Propiedades algebraicas

  1. Una combinación lineal (también conocida como suma ponderada ) de densidades tensoriales del mismo tipo y peso.W{\displaystyle W}es de nuevo una densidad tensorial de ese tipo y peso.
  2. Un producto de dos densidades tensoriales de cualquier tipo, y con pesosW1{\displaystyle W_{1}}yW2{\displaystyle W_{2}}es una densidad tensorial de pesoW1+W2.{\displaystyle W_{1}+W_{2}.}Además, el producto de densidades tensoriales auténticas y densidades pseudotensoriales será una densidad tensorial auténtica cuando un número par de factores sean densidades pseudotensoriales; será una densidad pseudotensorial cuando un número impar de factores sean densidades pseudotensoriales. De manera similar, el producto de densidades tensoriales pares e impares será una densidad tensorial par cuando un número par de factores sean densidades tensoriales impares; será una densidad tensorial impar cuando un número impar de factores sean densidades tensoriales impares.
  3. La contracción de índices en una densidad tensorial con pesoW{\displaystyle W}nuevamente produce una densidad tensorial de pesoW.{\displaystyle W.}[ 7 ]
  4. Al elevar y bajar índices usando el tensor métrico (que es auténtico, par y de peso 0) el peso permanece sin cambios, [ 8 ] como se puede probar combinando (2) y (3).

Inversión de matrices y determinante de matrices de densidades tensoriales

SiTαβ{\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\alpha \beta }}es una matriz no singular y una densidad tensorial de rango dos de pesoW{\displaystyle W}con índices covariantes entonces su matriz inversa será una densidad tensorial de rango dos de peso−W{\displaystyle -W}con índices contravariantes. Se aplican afirmaciones similares cuando los dos índices son contravariantes o son una mezcla de covariantes y contravariantes.

SiTαβ{\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\alpha \beta }}es una densidad tensorial de rango dos de pesoW{\displaystyle W}con índices covariantes entonces el determinante de la matrizdetTαβ{\displaystyle \det {\mathfrak {T}}_{\alpha \beta }}tendrá pesonorteW+2,{\displaystyle NW+2,}dóndenorte{\displaystyle N}es el número de dimensiones espacio-temporales. SiTαβ{\displaystyle {\mathfrak {T}}^{\alpha \beta }}es una densidad tensorial de rango dos de pesoW{\displaystyle W}con índices contravariantes entonces el determinante de la matrizdetTαβ{\displaystyle \det {\mathfrak {T}}^{\alpha \beta }}tendrá pesonorteW−2.{\displaystyle NW-2.} El determinante de la matrizdetT βα{\displaystyle \det {\mathfrak {T}}_{~\beta }^{\alpha }}tendrá pesonorteW.{\displaystyle NW.}

relatividad general

Relación entre el determinante jacobiano y el tensor métrico

Cualquier tensor ordinario no singularTμν{\displaystyle T_{\mu \nu }}se transforma como Tμν=∂incógnita¯κ∂incógnitaμT¯κλ∂incógnita¯λ∂incógnitaν,{\displaystyle T_{\mu \nu }={\frac {\partial {\bar {x}}^{\kappa }}{\partial {x}^{\mu }}}{\bar {T}}_{\kappa \lambda }{\frac {\partial {\bar {x}}^{\lambda }}{\partial {x}^{\nu }}}\,,}

donde el lado derecho puede verse como el producto de tres matrices. Tomando el determinante de ambos lados de la ecuación (usando que el determinante de un producto matricial es el producto de los determinantes), dividiendo ambos lados pordet(T¯κλ),{\displaystyle \det \left({\bar {T}}_{\kappa \lambda }\right),}y al tomar su raíz cuadrada se obtiene |det[∂incógnita¯yo∂incógnitaγ]|=det(Tμν)det(T¯κλ).{\displaystyle \left\vert \det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right\vert ={\sqrt {\frac {\det({T}_{\mu \nu })}{\det \left({\bar {T}}_{\kappa \lambda }\right)}}}\,.}

Cuando el tensorT{\displaystyle T}es el tensor métrico ,gramoκλ,{\displaystyle {g}_{\kappa \lambda },}yincógnita¯yo{\displaystyle {\bar {x}}^{\iota }}es un sistema de coordenadas localmente inercial dondegramo¯κλ=ηκλ={\displaystyle {\bar {g}}_{\kappa \lambda }=\eta _{\kappa \lambda }=} diag(−1,+1,+1,+1), la métrica de Minkowski , entoncesdet(gramo¯κλ)=det(ηκλ)={\displaystyle \det \left({\bar {g}}_{\kappa \lambda }\right)=\det(\eta _{\kappa \lambda })=} −1 y así |det[∂incógnita¯yo∂incógnitaγ]|=−gramo,{\displaystyle \left\vert \det {\left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\iota }}{\partial {x}^{\gamma }}}\right]}\right\vert ={\sqrt {-{g}}}\,,}

dóndegramo=det(gramoμν){\displaystyle {g}=\det \left({g}_{\mu \nu }\right)}es el determinante del tensor métricogramoμν.{\displaystyle {g}_{\mu \nu }.}

Uso del tensor métrico para manipular densidades tensoriales.

En consecuencia, una densidad tensorial par,Tν…μ…,{\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots },}de pesoW{\displaystyle W}, se puede escribir en la forma Tν…μ…=−gramoWTν…μ…,{\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }={\sqrt {-g}}\;^{W}T_{\nu \dots }^{\mu \dots }\,,}

dóndeTν…μ…{\displaystyle T_{\nu \dots }^{\mu \dots }\,}es un tensor ordinario. En un sistema de coordenadas localmente inercial, dondegramoκλ=ηκλ,{\displaystyle g_{\kappa \lambda }=\eta _{\kappa \lambda },}será el caso queTν…μ…{\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }}yTν…μ…{\displaystyle T_{\nu \dots }^{\mu \dots }\,}estarán representados con los mismos números.

Al utilizar la conexión métrica ( conexión Levi-Civita ), la derivada covariante de una densidad tensorial par se define como Tν…;αμ…=−gramoWTν…;αμ…=−gramoW(−gramo−WTν…μ…);α.{\displaystyle {\mathfrak {T}}_{\nu \dots ;\alpha }^{\mu \dots }={\sqrt {-g}}\;^{W}T_{\nu \dots  ;\alpha }^{\mu \dots }={\sqrt {-g}}\;^{W}\left({\sqrt {-g}}\;^{-W}{\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }\right)_{;\alpha }\,.}

Para una conexión arbitraria, la derivada covariante se define agregando un término adicional, a saber: −WΓ δαδTν…μ…{\displaystyle -W\,\Gamma _{~\delta \alpha }^{\delta }\,{\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }} a la expresión que sería apropiada para la derivada covariante de un tensor ordinario.

De forma equivalente, se cumple la regla del producto. (Tν…μ…Sτ…σ…);α=(Tν…;αμ…)Sτ…σ…+Tν…μ…(Sτ…;ασ…),{\displaystyle \left({\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }{\mathfrak {S}}_{\tau \dots }^{\sigma \dots }\right)_{;\alpha }=\left({\mathfrak {T}}_{\nu \dots ;\alpha }^{\mu \dots }\right){\mathfrak {S}}_{\tau \dots }^{\sigma \dots }+{\mathfrak {T}}_{\nu \dots }^{\mu \dots }\left({\mathfrak {S}}_{\tau \dots  ;\alpha }^{\sigma \dots }\right)\,,}

donde, para la conexión métrica, la derivada covariante de cualquier función degramoκλ{\displaystyle g_{\kappa \lambda }}siempre es cero, gramoκλ;α=0(−gramoW);α=(−gramoW),α−WΓ δαδ−gramoW=W2gramoκλgramoκλ,α−gramoW−WΓ δαδ−gramoW=0.{\displaystyle {\begin{aligned}g_{\kappa \lambda ;\alpha }&=0\\\left({\sqrt {-g}}\;^{W}\right)_{;\alpha }&=\left({\sqrt {-g}}\;^{W}\right)_{,\alpha }-W\Gamma _{~\delta \alpha }^{\delta }{\sqrt {-g}}\;^{W}={\frac {W}{2}}g^{\kappa \lambda }g_{\kappa \lambda ,\alpha }{\sqrt {-g}}\;^{W}-W\Gamma _{~\delta \alpha }^{\delta }{\sqrt {-g}}\;^{W}=0\,.\end{aligned}}}

Ejemplos

La expresión−gramo{\displaystyle {\sqrt {-g}}}es una densidad escalar. Según la convención de este artículo, tiene un peso de +1.

La densidad de corriente eléctricaJμ{\displaystyle {\mathfrak {J}}^{\mu }}(Por ejemplo,J2{\displaystyle {\mathfrak {J}}^{2}}es la cantidad de carga eléctrica que atraviesa el elemento de 3 volúmenesdincógnita3dincógnita4dincógnita1{\displaystyle dx^{3}\,dx^{4}\,dx^{1}}dividido por ese elemento (no utilice la métrica en este cálculo) es una densidad vectorial contravariante de peso +1. A menudo se escribe comoJμ=Jμ−gramo{\displaystyle {\mathfrak {J}}^{\mu }=J^{\mu }{\sqrt {-g}}}oJμ=εμαβγJαβγ/3¡,{\displaystyle {\mathfrak {J}}^{\mu }=\varepsilon ^{\mu \alpha \beta \gamma }{\mathcal {J}}_{\alpha \beta \gamma }/3!,}dóndeJμ{\displaystyle J^{\mu }\,}y la forma diferencialJαβγ{\displaystyle {\mathcal {J}}_{\alpha \beta \gamma }}son tensores absolutos y dondeεμαβγ{\displaystyle \varepsilon ^{\mu \alpha \beta \gamma }}es el símbolo de Levi-Civita ; véase más abajo.

La densidad de la fuerza de LorentzFμ{\displaystyle {\mathfrak {f}}_{\mu }}(es decir, el momento lineal transferido del campo electromagnético a la materia dentro de un elemento de 4 volúmenes)dincógnita1dincógnita2dincógnita3dincógnita4{\displaystyle dx^{1}\,dx^{2}\,dx^{3}\,dx^{4}}dividido por ese elemento (no utilice la métrica en este cálculo) es una densidad vectorial covariante de peso +1.

Ennorte{\displaystyle N}-espacio-tiempo dimensional, el símbolo de Levi-Civita puede considerarse como un rango-norte{\displaystyle N}densidad tensorial auténtica contravariante (impar) de peso +1 (ϵα1⋯ϵαnorte{\displaystyle \epsilon ^{\alpha _{1}\cdots \epsilon _{\alpha _{N}}}}) o un rango-norte{\displaystyle N}densidad tensorial auténtica covariante (impar) de peso −1 (ϵα1⋯ϵαnorte{\displaystyle \epsilon _{\alpha _{1}\cdots \epsilon _{\alpha _{N}}}}) : ϵα1⋯ϵαnorte=ϵ¯β1⋯ϵβnorte∂incógnitaα1∂incógnita¯β1⋯∂incógnitaαnorte∂incógnita¯βnorte(det[∂incógnita¯β∂incógnitaα])+1{\displaystyle \epsilon ^{\alpha _{1}\cdots \epsilon _{\alpha _{N}}}={\bar {\epsilon }}^{\beta _{1}\cdots \epsilon _{\beta _{N}}}{\frac {\partial x^{\alpha _{1}}}{\partial {\bar {x}}^{\beta _{1}}}}\cdots {\frac {\partial x^{\alpha _{N}}}{\partial {\bar {x}}^{\beta _{N}}}}\left(\det \left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\alpha }}}\right]\right)^{+1}}ϵα1⋯ϵαnorte=ϵ¯β1⋯ϵβnorte∂incógnita¯β1∂incógnitaα1⋯∂incógnita¯βnorte∂incógnitaαnorte(det[∂incógnita¯β∂incógnitaα])−1.{\displaystyle \epsilon _{\alpha _{1}\cdots \epsilon _{\alpha _{N}}}={\bar {\epsilon }}_{\beta _{1}\cdots \epsilon _{\beta _{N}}}{\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta _{1}}}{\partial x^{\alpha _{1}}}}\cdots {\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta _{N}}}{\partial x^{\alpha _{N}}}}\left(\det \left[{\frac {\partial {\bar {x}}^{\beta }}{\partial x^{\alpha }}}\right]\right)^{-1}\,.} Nótese que el símbolo de Levi-Civita (así considerado) no obedece la convención habitual para subir o bajar índices con el tensor métrico. Es decir, es cierto que εαβγδgramoακgramoβλgramoγμgramoδν=εκλμνgramo,{\displaystyle \varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\,g_{\alpha \kappa }\,g_{\beta \lambda }\,g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }\,=\,\varepsilon _{\kappa \lambda \mu \nu }\,g\,,} pero en la relatividad general, dondegramo=det(gramoρσ){\displaystyle g=\det \left(g_{\rho \sigma }\right)}siempre es negativo, esto nunca es igual aεκλμν.{\displaystyle \varepsilon _{\kappa \lambda \mu \nu }.}

El determinante del tensor métrico, gramo=det(gramoρσ)=14¡εαβγδεκλμνgramoακgramoβλgramoγμgramoδν,{\displaystyle g=\det \left(g_{\rho \sigma }\right)={\frac {1}{4!}}\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon ^{\kappa \lambda \mu \nu }g_{\alpha \kappa }g_{\beta \lambda }g_{\gamma \mu }g_{\delta \nu }\,,} es una densidad escalar auténtica (par) de peso +2, siendo la contracción del producto de 2 densidades tensoriales auténticas (impares) de peso +1 y cuatro densidades tensoriales auténticas (pares) de peso 0.

Véase también

Notas

  1. ↑ Weinreich, Gabriel (6 de julio de 1998). Vectores geométricos . University of Chicago Press. págs.  112, 115. ISBN 978-0226890487.
  2. ↑ Papastavridis, John G. (18 de diciembre de 1998). Cálculo tensorial y dinámica analítica . CRC Press . ISBN 978-0849385148.
  3. ↑ Ruiz-Tolosa, Juan R.; Castillo, Enrique (30 de marzo de 2006). De vectores a tensores . Springer Science & Business Media. ISBN 978-3540228875.
  4. ↑ Por ejemplo, Weinberg 1972 pp 98. La convención elegida implica en las fórmulas siguientes el determinante jacobiano de la transición inversa x → x , mientras que la convención opuesta considera la transición directa x → x que resulta en un cambio de signo del peso.
  5. ↑ MR Spiegel; S. Lipcshutz; D. Spellman (2009). Análisis vectorial (2.ª ed.). Nueva York: Schaum's Outline Series. pág. 198. ISBN   978-0-07-161545-7.
  6. ↑ CB Parker (1994). Enciclopedia de Física de McGraw Hill (2.ª ed.). McGraw-Hill. pág . 1417. ISBN   0-07-051400-3.
  7. ↑ Weinberg 1972 pág. 100.
  8. ↑ Weinberg 1972 pág. 100.

Referencias