Relación energía-momento

Para un objeto masivo que se mueve a velocidad v en el sistema de referencia del laboratorio ^{[ 1 ]} , la energía total E del objeto viene dada en el sistema de referencia del laboratorio como $${\displaystyle E=\gamma mc^{2}\,.}$$El momento relativista tridimensional p del objeto en el sistema de referencia del laboratorio tiene la siguiente magnitud p : $${\displaystyle p=\gamma mv\,.}$$ Estas cantidades incluyen el factor de Lorentz γ : $${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}\,.}$$ Elevando al cuadrado la magnitud del momento ternario se obtiene $${\displaystyle p^{2}={\frac {m^{2}v^{2}}{1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}\,.}$$ Despejando v ² y sustituyéndolo en el factor de Lorentz, se obtiene su forma alternativa en términos de momento y masa tridimensionales, en lugar de velocidad tridimensional: $${\displaystyle \gamma ={\sqrt {1+\left({\frac {p}{mc}}\right)^{2}}}\,.}$$ Al insertar esta forma del factor de Lorentz en la ecuación de energía se obtiene $${\displaystyle E=mc^{2}{\sqrt {1+\left({\frac {p}{mc}}\right)^{2}}}\,.}$$ Elevando al cuadrado ambos lados y reordenando se obtiene la forma estándar ( 1 ).

Este enfoque no es aplicable a partículas sin masa debido a problemas detallados en §  Partículas sin masa .

Para un cuerpo en su sistema de referencia en reposo, el momento es cero, por lo que la relación energía-momento ( 1 ) se reduce a $${\displaystyle E=E_{0}=mc^{2}\,,}$$ donde E ₀ denota la energía en reposo del cuerpo.

Si el objeto tiene masa m = 0 , como es el caso de un fotón , entonces la relación energía-momento ( 1 ) se reduce a $${\displaystyle E=pc\,.}$$

Las partículas sin masa también tienen una velocidad constante v = c . Esto tiene consecuencias para el factor de Lorentz γ . $${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}={\frac {1}{0}}\,,}$$ lo cual, a su vez, da formas indeterminadas a algunas fórmulas que involucran este factor:

$${\displaystyle {\begin{aligned}E=\gamma mc^{2}&={\frac {0}{0}}\,,\quad {\text{and}}\\[1ex]p=\gamma mv&={\frac {0}{0}}\,.\end{aligned}}}$$

La solución para estas formas indeterminadas de energía y momento reside en las relaciones de De Broglie , discutidas en §  Fotones .

Reescritura de la relación energía-momento ( 1 ) para partículas masivas $${\displaystyle E=mc^{2}{\sqrt {1+\left({\frac {p}{mc}}\right)^{2}}}\,,}$$ y expandiéndose en series de potencias mediante el teorema del binomio (o una serie de Taylor ) alrededor de${\displaystyle \left({\frac {p}{mc}}\right)^{2}=0}$, $${\displaystyle E=mc^{2}\left[1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {p}{mc}}\right)^{2}-{\frac {1}{8}}\left({\frac {p}{mc}}\right)^{4}+\cdots \right]\,.}$$ En el límite que v ≪ c , tenemos γ ≈ 1 , por lo que el momento tiene la forma clásica p ≈ mv . Entonces, al primer orden en${\displaystyle \left({\frac {p}{mc}}\right)^{2}}$tenemos $${\displaystyle {\begin{aligned}E&\approx mc^{2}\left[1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {mv}{mc}}\right)^{2}\right]\,,\quad {\text{or}}\\[1ex]E&\approx mc^{2}+{\frac {1}{2}}mv^{2}\,,\end{aligned}}}$$ donde el primer término es la energía en reposo E ₀ y el segundo término es la energía cinética clásica .

Esta aproximación no es válida para partículas sin masa, ya que la expansión requiere la división del momento entre la masa. Cabe mencionar que en la mecánica clásica no existen partículas sin masa .

Las partículas de materia ordinaria deben tener masa positiva m > 0 y velocidad sublumínica v < c , lo que da lugar a la relación energía-momento relativista habitual ( 1 ). Las partículas sin masa constituyen un caso límite donde m = 0 y v = c , lo que requiere un tratamiento especial que se analiza en la sección «  Partículas sin masa» . Sin embargo, podemos plantear hipótesis sobre formas de materia que superan estas restricciones de masa y velocidad de otras maneras.

Los taquiones hipotéticos son partículas que se moverían exclusivamente a velocidades superlumínicas v > c , y cuya relación energía-momento sería ^{[ 9 ].}$${\displaystyle E^{2}=(pc)^{2}-\left(mc^{2}\right)^{2}\,.}$$

Las hipotéticas partículas de materia exótica tendrían una masa negativa m < 0 , ^{[ 10 ]} lo que daría como resultado otra forma de la relación energía-momento: $${\displaystyle E^{2}=-(pc)^{2}+\left(mc^{2}\right)^{2}\,.}$$

Consideremos un sistema de muchas partículas con momentos relativistas p _n y energía E _n medidas en un sistema de referencia particular, donde n simplemente identifica las partículas n = 1, 2, ... hasta el número total de partículas. Los cuadrimomentos en este sistema de referencia se pueden sumar: $${\displaystyle \sum _{n}\mathbf {P} _{n}=\sum _{n}\left({\frac {E_{n}}{c}},\mathbf {p} _{n}\right)=\left(\sum _{n}{\frac {E_{n}}{c}},\sum _{n}\mathbf {p} _{n}\right)\,.}$$ Tomando la norma se obtiene la relación energía-momento para todo el sistema: $${\displaystyle \left|\left(\sum _{n}\mathbf {P} _{n}\right)\right|^{2}=\left(\sum _{n}{\frac {E_{n}}{c}}\right)^{2}-\left(\sum _{n}\mathbf {p} _{n}\right)^{2}=\left(Mc\right)^{2}\,.}$$ Aquí M es la masa total del sistema, y ​​no es igual a la suma de las masas individuales de las partículas a menos que todas las partículas estén en reposo (véase Masa en la relatividad especial §  La masa de los sistemas compuestos para más detalles). Sustituyendo y reordenando se obtiene la generalización de ( 1 );

Las energías y los momentos en la ecuación dependen del sistema de referencia, mientras que M es independiente del sistema de referencia.

En el sistema de referencia del centro de momento , por definición tenemos $${\displaystyle \sum _{n}\mathbf {p} _{n}={\boldsymbol {0}}\,,}$$ con la implicación de ( 2 ) de que la energía total del marco del centro de momento es la masa total M multiplicada por c ² : $${\displaystyle \left(\sum _{n}E_{n}\right)^{2}=\left(Mc^{2}\right)^{2}\Rightarrow \sum _{n}E_{\mathrm {COM} \,n}=E_{\mathrm {COM} }=Mc^{2}\,.}$$ Esto es cierto en todos los sistemas de referencia, ya que M es invariante.

Las energías E _{COM n} son aquellas en el sistema de referencia del centro de momento, no en el sistema de referencia del laboratorio. Sin embargo, para muchos sistemas ligados conocidos, el sistema de referencia del centro de momento es el del laboratorio: si el sistema en sí no está en movimiento, la suma de los momentos individuales debe ser cero. Por ejemplo, al colocar un recipiente con gas sobre una balanza, existe energía interna en la vibración de los átomos en las paredes del recipiente y en el movimiento cinético de las moléculas de gas. Dado que el recipiente está en reposo con respecto a la balanza, todas estas energías se leen como masa.

Las energías o los momentos de las partículas, medidos en algún sistema de referencia, pueden eliminarse utilizando la relación energía-momento para cada partícula. $${\displaystyle E_{n}^{2}-\left(\mathbf {p} _{n}c\right)^{2}=\left(m_{n}c^{2}\right)^{2}\,,}$$ permitiendo que la masa total M se exprese en términos de energías y masas individuales, o de momentos y masas individuales. En un marco particular, los cuadrados de las sumas se pueden reescribir como sumas de cuadrados (y productos): $${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\sum _{n}E_{n}\right)^{2}&=\left(\sum _{n}E_{n}\right)\left(\sum _{k}E_{k}\right)\\[1ex]&=\sum _{n,k}E_{n}E_{k}=2\sum _{n<k}E_{n}E_{k}+\sum _{n}E_{n}^{2}\,,\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\sum _{n}\mathbf {p} _{n}\right)^{2}&=\left(\sum _{n}\mathbf {p} _{n}\right)\cdot \left(\sum _{k}\mathbf {p} _{k}\right)\\[1ex]&=\sum _{n,k}\mathbf {p} _{n}\cdot \mathbf {p} _{k}=2\sum _{n<k}\mathbf {p} _{n}\cdot \mathbf {p} _{k}+\sum _{n}\mathbf {p} _{n}^{2}\,,\end{aligned}}}$$ Así, sustituyendo las sumas, podemos introducir las masas individuales m _n en ( 2 ): $${\displaystyle \sum _{n}\left(m_{n}c^{2}\right)^{2}+2\sum _{n<k}\left(E_{n}E_{k}-c^{2}\mathbf {p} _{n}\cdot \mathbf {p} _{k}\right)=\left(Mc^{2}\right)^{2}\,.}$$

Las energías se pueden eliminar sustituyendo E _n y E _k usando $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{n}&={\sqrt {\left(\mathbf {p} _{n}c\right)^{2}+\left(m_{n}c^{2}\right)^{2}}}\,\quad {\text{and}}\\[1.5ex]E_{k}&={\sqrt {\left(\mathbf {p} _{k}c\right)^{2}+\left(m_{k}c^{2}\right)^{2}}}\,.\end{aligned}}}$$ Alternativamente, los momentos pueden eliminarse sustituyendo p _n · p _k usando $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} _{n}\cdot \mathbf {p} _{k}&=\left|\mathbf {p} _{n}\right|\left|\mathbf {p} _{k}\right|\cos \theta _{nk}\,,\\[1.5ex]\left|\mathbf {p} _{n}\right|&={\frac {1}{c}}{\sqrt {E_{n}^{2}-\left(m_{n}c^{2}\right)^{2}}}\,\quad {\text{and}}\\[1.5ex]\left|\mathbf {p} _{k}\right|&={\frac {1}{c}}{\sqrt {E_{k}^{2}-\left(m_{k}c^{2}\right)^{2}}}\,,\end{aligned}}}$$ donde θ _nk es el ángulo entre los vectores de momento p _n y p _k .

Reorganizando: $${\displaystyle \left(Mc^{2}\right)^{2}-\sum _{n}\left(m_{n}c^{2}\right)^{2}=2\sum _{n<k}\left(E_{n}E_{k}-c^{2}\mathbf {p} _{n}\cdot \mathbf {p} _{k}\right)\,.}$$

Dado que la masa total M del sistema y las masas individuales m _n de las partículas son todas invariantes, el lado derecho también es un invariante, aunque las energías y los momentos se midan en un sistema de referencia particular.

La relación energía-momento ( 1 ) puede expresarse en términos de cantidades de onda: $${\displaystyle \left(\hbar \omega \right)^{2}=\left(\hbar ck\right)^{2}+\left(mc^{2}\right)^{2}\,.}$$ Dividiendo por ( ħc ) ² en todo momento,

Esto también puede derivarse de la magnitud del cuadrivector de onda.$${\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},\mathbf {k} \right)\,,}$$ de forma similar al cuadrimomento en §  Norma del cuadrimomento .

Como se menciona en el apartado  Partículas sin masa , los fotones tienen masa m = 0 y una relación energía-momento simplificada E = pc . Sustituyendo el momento de De Broglie $${\displaystyle p={\frac {h}{\lambda }}=\hbar k\,,}$$ obtenemos $${\displaystyle E={\frac {hc}{\lambda }}=\hbar ck\,.}$$ La energía de De Broglie también se aplica directamente: $${\displaystyle E=h\nu =\hbar \omega \,.}$$ Las mismas relaciones se aplicarían a cualquier otra partícula sin masa.

En la historia de la mecánica cuántica relativista , la relación energía-momento ( 1 ) fue la base para la construcción de ecuaciones de onda relativistas , lo que finalmente condujo al desarrollo de la ecuación de Dirac , que incorpora los conceptos de antimateria y espín . En la teoría cuántica de campos , la relación energía-momento relativista se aplica a todas las partículas y campos. ^{[ 11 ]}

En unidades naturales donde c = 1 , la relación energía-momento ( 1 ) se reduce a $${\displaystyle E^{2}=p^{2}+m^{2}\,.}$$ Una forma de conceptualizar este sistema es mediante unidades de distancia como el año luz o el segundo luz .

Elegir unidades naturales donde ħ = c = 1 simplifica la relación del número de onda ( 3 ) a $${\displaystyle \omega ^{2}=k^{2}+m^{2}\,.}$$

Las fórmulas resultantes, aunque aparentemente más sencillas, solo funcionan con esta elección particular de unidades. Tras muchas manipulaciones, puede resultar complicado reinsertar las constantes adecuadas para volver a una forma universal.

En física de partículas , la energía se suele dar en unidades de electronvoltios (eV), los momentos se expresan en eV/ c y las masas en eV ^/ c² .

En contextos informales, la masa a veces se confunde con la energía en reposo y se expresa en eV (posiblemente implicando alguna versión de unidades naturales). Por ejemplo, si se dice que un protón tiene una "masa" de 938 MeV, en este contexto esto significa MeV / c² ^.

La energía también puede expresarse en unidades equivalentes a masa, como gramos (estrictamente hablando, gramos· ^c² ) , lo que ilustra el defecto de masa en liberaciones de energía especialmente potentes. Por ejemplo, la primera bomba atómica liberó aproximadamente 1  gramo de calor , y las bombas termonucleares más grandes han generado un kilogramo o más de calor.

Esto no debe confundirse con unidades equivalentes de TNT como kilotones o megatones: esas unidades se refieren a la energía liberada al detonar una masa específica del explosivo TNT , en lugar de que la energía misma se escale a unidades de masa por un factor de 1 / c2 ^.