Ecuaciones de onda relativistas

El fracaso de la mecánica clásica aplicada a sistemas moleculares , atómicos y nucleares , y más pequeños, indujo la necesidad de una nueva mecánica: la mecánica cuántica . La formulación matemática fue liderada por De Broglie , Bohr , Schrödinger , Pauli y Heisenberg , y otros, alrededor de mediados de la década de 1920, y en ese momento era análoga a la de la mecánica clásica. La ecuación de Schrödinger y la imagen de Heisenberg se asemejan a las ecuaciones clásicas del movimiento en el límite de grandes números cuánticos (niveles de energía más altos) y cuando la constante de Planck reducida ħ (el cuanto de acción ) tiende a cero. Este es el principio de correspondencia . En este punto, la relatividad especial no estaba completamente combinada con la mecánica cuántica, por lo que las formulaciones de Schrödinger y Heisenberg, tal como se propusieron originalmente, no podían utilizarse en situaciones en las que las partículas viajan cerca de la velocidad de la luz , o cuando cambia el número de cada tipo de partícula (esto ocurre en las interacciones reales de partículas ; las numerosas formas de desintegración de partículas , aniquilación , creación de materia , producción de pares , etc.).

Muchos físicos teóricos, desde finales de la década de 1920 hasta mediados de la década de 1940, buscaron una descripción de los sistemas mecánicos cuánticos que pudiera explicar los efectos relativistas . ^{[ 2 ]} La primera base para la mecánica cuántica relativista , es decir, la relatividad especial aplicada junto con la mecánica cuántica, fue hallada por todos aquellos que descubrieron lo que frecuentemente se denomina la ecuación de Klein-Gordon :

insertando el operador de energía y el operador de momento en la relación energía-momento relativista :

Las soluciones de ( 1 ) son campos escalares . La ecuación de KG es indeseable debido a su predicción de energías y probabilidades negativas , como resultado de la naturaleza cuadrática de ( 2 ), inevitable en una teoría relativista. Esta ecuación fue propuesta inicialmente por Schrödinger, quien la descartó por tales razones, para luego darse cuenta , meses después, de que su límite no relativista (lo que ahora se denomina ecuación de Schrödinger ) seguía siendo importante. Sin embargo, ( 1 ) es aplicable a bosones de espín 0. ^{[ 3 ]}

Ni las ecuaciones no relativistas ni las relativistas halladas por Schrödinger pudieron predecir la estructura fina en la serie espectral del hidrógeno . La misteriosa propiedad subyacente era el espín . Las primeras matrices de espín bidimensionales (más conocidas como matrices de Pauli ) fueron introducidas por Pauli en la ecuación de Pauli ; la ecuación de Schrödinger con un hamiltoniano no relativista que incluía un término extra para partículas en campos magnéticos , pero esto era fenomenológico . Weyl halló una ecuación relativista en términos de las matrices de Pauli; la ecuación de Weyl , para fermiones sin masa de espín 1/2. El problema fue resuelto por Dirac a finales de la década de 1920, cuando amplió la aplicación de la ecuación ( 2 ) al electrón ; mediante diversas manipulaciones, factorizó la ecuación en la forma

y uno de estos factores es la ecuación de Dirac (véase más abajo), al insertar los operadores de energía y momento. Por primera vez, esto introdujo nuevas matrices de espín de cuatro dimensiones α y β en una ecuación de onda relativista, y explicó la estructura fina del hidrógeno. Las soluciones de ( 3A ) son campos espinoriales multicomponentes , y cada componente satisface ( 1 ). Un resultado notable de las soluciones espinoriales es que la mitad de los componentes describen una partícula mientras que la otra mitad describe una antipartícula ; en este caso el electrón y el positrón . Ahora se sabe que la ecuación de Dirac se aplica a todos los fermiones masivos de espín 1/2 . En el límite no relativista, se recupera la ecuación de Pauli, mientras que el caso sin masa resulta en la ecuación de Weyl.

Aunque constituye un hito en la teoría cuántica, la ecuación de Dirac solo es válida para fermiones de espín 1/2 y aún predice soluciones de energía negativa, lo que causó controversia en su momento (en particular, no todos los físicos se sentían cómodos con el " mar de Dirac " de estados de energía negativa).

El problema natural se hizo evidente: generalizar la ecuación de Dirac a partículas con cualquier espín ; tanto fermiones como bosones, y en las mismas ecuaciones sus antipartículas (posible gracias al formalismo espinorial introducido por Dirac en su ecuación, y a los desarrollos recientes en el cálculo espinorial de van der Waerden en 1929), e idealmente con soluciones de energía positiva. ^{[ 2 ]}

Esto fue introducido y resuelto por Majorana en 1932, mediante un enfoque desviado al de Dirac. Majorana consideró una "raíz" de ( 3A ):

donde ψ es un campo espinorial, ahora con infinitas componentes, irreducible a un número finito de tensores o espinores, para eliminar la indeterminación en el signo. Las matrices α y β son matrices de dimensión infinita, relacionadas con transformaciones infinitesimales de Lorentz . No exigió que cada componente de 3B satisficiera la ecuación ( 2 ); en su lugar, regeneró la ecuación utilizando una acción invariante de Lorentz , mediante el principio de mínima acción y la aplicación de la teoría de grupos de Lorentz. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

Majorana realizó otras contribuciones importantes que no fueron publicadas, incluyendo ecuaciones de onda de diversas dimensiones (5, 6 y 16). Estas fueron anticipadas posteriormente (de una manera más compleja) por de Broglie (1934), y Duffin, Kemmer y Petiau (alrededor de 1938-1939) véase el álgebra de Duffin-Kemmer-Petiau . El formalismo de Dirac-Fierz-Pauli era más sofisticado que el de Majorana, ya que los espinores eran nuevas herramientas matemáticas a principios del siglo XX, aunque el artículo de Majorana de 1932 fue difícil de comprender completamente; a Pauli y Wigner les llevó algún tiempo entenderlo, alrededor de 1940. ^{[ 2 ]}

Dirac en 1936, y Fierz y Pauli en 1939, construyeron ecuaciones a partir de espinores irreducibles A y B , simétricos en todos los índices, para una partícula masiva de espín n + 1/2 para n entero (véase la notación de Van der Waerden para el significado de los índices con puntos):

donde p es el momento como un operador espinorial covariante. Para n = 0 , las ecuaciones se reducen a las ecuaciones de Dirac acopladas, y A y B juntas se transforman como el espinor de Dirac original . Eliminando A o B se muestra que A y B cumplen cada una ( 1 ). ^{[ 2 ]} La derivación directa de las ecuaciones de Dirac-Pauli-Fierz usando los operadores de Bargmann-Wigner es dada por Isaev y Podoinitsyn. ^{[ 6 ]}

En 1941, Rarita y Schwinger se centraron en partículas de espín 3/2 y derivaron la ecuación de Rarita-Schwinger , incluyendo un lagrangiano para generarla, y posteriormente generalizaron las ecuaciones análogas al espín n + 1/2 para n entero . En 1945, Pauli sugirió el artículo de Majorana de 1932 a Bhabha , quien retomó las ideas generales introducidas por Majorana en 1932. Bhabha y Lubanski propusieron un conjunto de ecuaciones completamente general reemplazando los términos de masa en ( 3A ) y ( 3B ) por una constante arbitraria, sujeta a un conjunto de condiciones que deben cumplir las funciones de onda. ^{[ 7 ]}

Finalmente, en el año 1948 (el mismo año en que se formuló la integral de trayectoria de Feynman ), Bargmann y Wigner formularon la ecuación general para partículas masivas que podían tener cualquier espín, considerando la ecuación de Dirac con un espinor de componente finita totalmente simétrico y utilizando la teoría del grupo de Lorentz (como lo hizo Majorana): las ecuaciones de Bargmann-Wigner . ^{[ 2 ] [ 8 ]} A principios de la década de 1960, H. Joos y Steven Weinberg hicieron una reformulación de las ecuaciones de Bargmann-Wigner , la ecuación de Joos-Weinberg . Varios teóricos en ese momento realizaron más investigaciones en hamiltonianos relativistas para partículas de espín superior. ^{[ 1 ] [ 9 ] [ 10 ]}

La descripción relativista de las partículas de espín ha sido un problema difícil en la teoría cuántica. Sigue siendo un área de investigación actual porque el problema solo está parcialmente resuelto; incluir interacciones en las ecuaciones es problemático y aún se presentan predicciones paradójicas (incluso de la ecuación de Dirac). ^{[ 5 ]}

La ecuación de Duffin-Kemmer-Petiau es una ecuación alternativa para partículas de espín 0 y espín 1: $${\displaystyle (i\hbar \beta ^{a}\partial _{a}-mc)\psi =0}$$

Comience con los cuadrivectores estándar de la relatividad especial (RE).

• 4 posiciones${\displaystyle X^{\mu }=\mathbf {X} =(ct,{\vec {\mathbf {x} }})}$
• 4 velocidades${\displaystyle U^{\mu }=\mathbf {U} =\gamma (c,{\vec {\mathbf {u} }})}$
• 4-momento${\displaystyle P^{\mu }=\mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},{\vec {\mathbf {p} }}\right)}$
• 4-vector de onda${\displaystyle K^{\mu }=\mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {\mathbf {k} }}\right)}$
• 4 gradientes${\displaystyle \partial ^{\mu }=\mathbf {\partial } =\left({\frac {\partial _{t}}{c}},-{\vec {\mathbf {\nabla } }}\right)}$

Nótese que cada 4-vector está relacionado con otro mediante un escalar de Lorentz :

• ${\displaystyle \mathbf {U} ={\frac {d}{d\tau }}\mathbf {X} }$, dónde${\displaystyle \tau }$es el momento adecuado
• ${\displaystyle \mathbf {P} =m_{0}\mathbf {U} }$, dónde${\displaystyle m_{0}}$es la masa en reposo
• ${\displaystyle \mathbf {K} =(1/\hbar )\mathbf {P} }$, que es la versión de 4 vectores de la relación de Planck-Einstein y la relación de onda de materia de De Broglie.
• ${\displaystyle \mathbf {\partial } =-i\mathbf {K} }$, que es la versión de 4 gradientes de ondas planas de valor complejo

Ahora, simplemente aplique la regla estándar del producto escalar de Lorentz a cada uno:

• ${\displaystyle \mathbf {U} \cdot \mathbf {U} =(c)^{2}}$
• ${\displaystyle \mathbf {P} \cdot \mathbf {P} =(m_{0}c)^{2}}$
• ${\displaystyle \mathbf {K} \cdot \mathbf {K} =\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}}$
• ${\displaystyle \mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } =\left({\frac {-im_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}=-\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}}$

La última ecuación es una relación cuántica fundamental.

Cuando se aplica a un campo escalar de Lorentz${\displaystyle \psi }$Se obtiene la ecuación de Klein-Gordon, la más básica de las ecuaciones de onda relativistas cuánticas.

• ${\displaystyle \left[\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } +\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =0}$: en formato de 4 vectores
• ${\displaystyle \left[\partial _{\mu }\partial ^{\mu }+\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]\psi =0}$: en formato tensorial
• ${\displaystyle \left[(\hbar \partial _{\mu }+im_{0}c)(\hbar \partial ^{\mu }-im_{0}c)\right]\psi =0}$: en formato tensorial factorizado

La ecuación de Schrödinger es el caso límite de baja velocidad ( v ≪ c ) de la ecuación de Klein-Gordon.

Cuando la relación se aplica a un campo de cuatro vectores${\displaystyle A^{\mu }}$en lugar de un campo escalar de Lorentz${\displaystyle \psi }$, entonces se obtiene la ecuación de Proca (en calibre de Lorenz ): $${\displaystyle \left[\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } +\left({\frac {m_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\right]A^{\mu }=0}$$

Si el término de masa en reposo se establece en cero (partículas similares a la luz), entonces esto da la ecuación de Maxwell libre (en el calibre de Lorenz ). $${\displaystyle [\mathbf {\partial } \cdot \mathbf {\partial } ]A^{\mu }=0}$$

Bajo una transformación de Lorentz ortócrona propia x → Λ x en el espacio de Minkowski , todos los estados cuánticos de una partícula ψ ^j _σ de espín j con componente z de espín σ se transforman localmente bajo alguna representación D del grupo de Lorentz : ^{[ 12 ] [ 13 ]}$${\displaystyle \psi (x)\rightarrow D(\Lambda )\psi (\Lambda ^{-1}x)}$$ donde D (Λ) es una representación de dimensión finita, es decir, una matriz. Aquí, ψ se considera un vector columna que contiene componentes con los valores permitidos de σ . Los números cuánticos j y σ , así como otras etiquetas, continuas o discretas, que representan otros números cuánticos, se omiten. Un mismo valor de σ puede aparecer más de una vez, dependiendo de la representación. A continuación, se consideran representaciones con varios valores posibles para j .

Las representaciones irreducibles se etiquetan mediante un par de semienteros o enteros ( A , B ) . A partir de estas, se pueden construir todas las demás representaciones utilizando diversos métodos estándar, como productos tensoriales y sumas directas . En particular, el espacio-tiempo mismo constituye una representación de 4 vectores ( 1/2 , 1/2 ) de modo que Λ ∈ D ^{(1/2, 1/2)} . Para poner esto en contexto: los espinores de Dirac se transforman bajo la representación ( 1/2 , 0 ) ⊕ (0, 1/2 ) . En general, el espacio de representación (A, B) tiene subespacios que , bajo el subgrupo de rotaciones espaciales SO ( 3 ) , se transforman irreduciblemente como objetos de espín j , donde cada valor permitido: $${\displaystyle j=A+B,A+B-1,\dots ,|A-B|,}$$ ocurre exactamente una vez. ^{[ 14 ]} En general, los productos tensoriales de representaciones irreducibles son reducibles; se descomponen como sumas directas de representaciones irreducibles.

Las representaciones D ^{( j , 0)} y D ^{(0, j )} pueden representar por separado partículas de espín j . Un estado o campo cuántico en dicha representación no satisfaría ninguna ecuación de campo excepto la ecuación de Klein-Gordon.

• Ecuación de Yang-Mills : describe un campo de gauge no abeliano.
• Ecuaciones de Yang-Mills-Higgs : describen un campo de gauge no abeliano acoplado con una partícula masiva de espín 0.

• Ecuaciones de campo de Einstein : describen la interacción de la materia con el campo gravitatorio (campo de espín 2 sin masa):$${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }\,R+g_{\mu \nu }\Lambda ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }}$$La solución es un campo tensorial métrico , en lugar de una función de onda.