Punto remoto

En topología general , un punto remoto es un punto${\displaystyle p}$que pertenece a la compactificación de Stone-Čech${\displaystyle \beta X}$de un espacio Tychonoff${\displaystyle X}$pero eso no pertenece al cierre topológico dentro${\displaystyle \beta X}$de cualquier subconjunto denso en ninguna parte de${\displaystyle X}$. ^{[ 1 ]}

Dejar${\displaystyle \mathbb {R} }$sea ​​la línea real con la topología estándar. En 1962, Nathan Fine y Leonard Gillman demostraron que, asumiendo la hipótesis del continuo :

Existe un punto${\displaystyle p}$en${\displaystyle \beta \mathbb {R} }$que no está en el cierre de ningún subconjunto discreto de${\displaystyle \mathbb {R} }$... ^{[ 2 ]}

Su demostración funciona para cualquier espacio de Tychonoff que sea separable y no pseudocompacto . ^{[ 1 ]}

Chae y Smith demostraron que la existencia de puntos remotos es independiente, en términos de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , de la hipótesis del continuo para una clase de espacios topológicos que incluye espacios métricos . ^{[ 3 ]} Se han demostrado varios otros teoremas matemáticos sobre puntos remotos. ^{[ 4 ] [ 5 ]}