Teoría de capas representativas

El concepto de capa representativa surgió a través del trabajo de Donald Dahm, con la ayuda de Kevin Dahm y Karl Norris, para describir las propiedades espectroscópicas de muestras de partículas, especialmente en su aplicación a la espectroscopia de infrarrojo cercano . ^{[1] [2]} Una capa representativa tiene la misma fracción de vacío que la muestra que representa y cada tipo de partícula en la muestra tiene la misma fracción de volumen y fracción de área de superficie que la muestra en su conjunto. Las propiedades espectroscópicas de una capa representativa se pueden derivar de las propiedades espectroscópicas de las partículas, que se pueden determinar de una amplia variedad de formas. ^[3] Si bien una capa representativa podría usarse en cualquier teoría que se base en las matemáticas de capas paralelas planas, existe un conjunto de definiciones y matemáticas, algunas antiguas y otras nuevas, que se han convertido en parte de la teoría de la capa representativa .

La teoría de capas representativas se puede utilizar para determinar las propiedades espectroscópicas de un conjunto de partículas a partir de las de las partículas individuales del conjunto. ^[4] La muestra se modela como una serie de capas, cada una de las cuales es paralela entre sí y perpendicular al haz incidente. A continuación, se utilizan las matemáticas de capas paralelas planas para extraer las propiedades deseadas de los datos, en particular las del coeficiente de absorción lineal , que se comporta de la misma manera que el coeficiente de la ley de Beer. La teoría de capas representativas ofrece una forma de realizar los cálculos para las nuevas propiedades de la muestra modificando las propiedades de una sola capa de partículas, lo que no requiere volver a realizar las matemáticas para una muestra en su conjunto.

El primer intento de explicar la transmisión y reflexión de un material estratificado lo llevó a cabo George G. Stokes alrededor de 1860 ^[5] y condujo a algunas relaciones muy útiles. John W. Strutt (Lord Rayleigh) ^[6] y Gustav Mie ^[7] desarrollaron la teoría de la dispersión simple en un alto grado, pero Aurthur Schuster ^[8] fue el primero en considerar la dispersión múltiple. Se ocupó de las atmósferas nubladas de las estrellas y desarrolló un modelo de capas plano-paralelas en el que el campo de radiación se dividió en componentes hacia adelante y hacia atrás. Este mismo modelo fue utilizado mucho más tarde por Paul Kubelka y Franz Munk , cuyos nombres suelen asociarse a él los espectroscopistas.

Después de la Segunda Guerra Mundial, el campo de la espectroscopia de reflectancia fue objeto de una intensa investigación, tanto teórica como experimental. La función de remisión, , siguiendo la teoría de Kubelka-Munk, fue la principal candidata como métrica de absorción análoga a la función de absorbancia en la espectroscopia de absorción de transmisión.  ${\textstyle F(R_{\infty })}$

La forma original de la solución KM era: , pero algunos autores la reescribieron en términos de coeficientes lineales, convirtiéndose en , tomando y como equivalentes a los coeficientes de absorción y dispersión lineales tal como aparecen en la ley de Bouguer-Lambert, aunque las fuentes que derivaron las ecuaciones prefirieron el simbolismo y usualmente enfatizaron que y era un parámetro de remisión o retrodispersión, que para el caso de dispersión difusa debería tomarse apropiadamente como una integral. ^[9]${\textstyle F(R_{\infty })\equiv {\frac {(1-R_{\infty })^{2}}{2R_{\infty }}}={\frac {a_{0}}{r_{0}}}}$${\textstyle F(R_{\infty })\equiv {\frac {(1-R_{\infty })^{2}}{2R_{\infty }}}={\frac {k}{s}}}$${\estilo de visualización k}$${\estilo de visualización s}$${\textstyle {\frac {K}{S}}}$${\textstyle K=2k}$${\estilo de visualización S}$

En 1966, en un libro titulado Reflectance Spectroscopy, Harry Hecht había señalado que la formulación condujo a , que permitió trazar "contra la longitud de onda o el número de onda para una muestra particular" dando una curva correspondiente "a la absorción real determinada por mediciones de transmisión, excepto por un desplazamiento de en la dirección de ordenadas". Sin embargo, en los datos presentados, "la marcada desviación en la función de remisión ... en la región de gran extinción es obvia". Enumeró varias razones dadas por otros autores para este "fracaso ... para seguir siendo válido en materiales fuertemente absorbentes", incluyendo: "difusión incompleta en el proceso de dispersión"; no utilizar "iluminación difusa"; "mayor proporción de reflexión regular"; pero concluyó que "a pesar de las dificultades mencionadas anteriormente, ... la función de remisión debería ser una función lineal de la concentración en una longitud de onda dada para un tamaño de partícula constante" aunque afirmó que "esta discusión se ha restringido completamente a la reflectancia de capas de polvo homogéneas" aunque "los sistemas de ecuaciones para la combinación de capas no homogéneas no se pueden resolver para las propiedades de dispersión y absorción incluso en el caso simple de una combinación dual de subcapas. ... Esto significa que la teoría (de Kubelka-Munk) no incluye, de manera explícita, ninguna dependencia de la reflexión en el tamaño o la forma de la partícula o el índice de refracción". ^[10]${\textstyle F(R_{\infty })={\frac {k}{s}}}$${\textstyle \log F(R_{\infty })=\log k-\log s}$${\textstyle F(R_{\infty })}$${\textstyle -\log s}$

El campo de la espectroscopia de infrarrojo cercano (NIR) comenzó en 1968, cuando Karl Norris y sus colaboradores del Laboratorio de Investigación de Instrumentación del Departamento de Agricultura de los Estados Unidos aplicaron por primera vez la tecnología a los productos agrícolas. ^[11] El USDA descubrió cómo utilizar NIR de forma empírica, basándose en las fuentes disponibles, las rejillas y los materiales de los detectores. Incluso el rango de longitud de onda de NIR se estableció empíricamente en función del rango operativo de un detector de PbS. En consecuencia, no se consideraba una ciencia rigurosa: no había evolucionado de la forma habitual, desde las instituciones de investigación hasta el uso general. ^[12] Aunque la teoría de Kubelka-Munk proporcionó una función de remisión que podría haberse utilizado como métrica de absorción, Norris la seleccionó por conveniencia. ^[13] Creía que el problema de la no linealidad entre la métrica y la concentración se debía al tamaño de las partículas (una preocupación teórica) y a la luz parásita (un efecto instrumental). En términos cualitativos, explicaría las diferencias en los espectros de diferentes tamaños de partículas como cambios en la longitud de trayectoria efectiva que recorre la luz a través de la muestra. ^[14]${\textstyle \log(1/R_{\infty })}$

En 1976, Hecht ^[15] publicó una evaluación exhaustiva de las diversas teorías que se consideraban bastante generales. En ella, presentó su derivación de la fórmula de diferencias finitas de Hecht reemplazando las ecuaciones diferenciales fundamentales de la teoría de Kubelka-Munk por las ecuaciones de diferencias finitas, y obtuvo: . Señaló que "es bien sabido que una gráfica de frente a se desvía de la linealidad para valores altos de , y parece que (esta ecuación) puede usarse para explicar las desviaciones en parte", y "representa una mejora en el rango de validez y muestra la necesidad de considerar la naturaleza particulada de los medios de dispersión al desarrollar una teoría más precisa mediante la cual se puedan determinar las absortividades absolutas". ${\textstyle F(R_{\infty })=a{\biggl (}{\frac {1}{r}}-1{\biggr )}-{\frac {a^{2}}{2r}}}$${\textstyle F(R_{\infty })}$${\estilo de visualización K}$${\estilo de visualización K}$

En 1982, Gerry Birth convocó una reunión de expertos en varias áreas que impactaban en la espectroscopia NIR , con énfasis en la espectroscopia de reflectancia difusa, sin importar qué porción del espectro electromagnético pudiera usarse. Este fue el comienzo de la Conferencia Internacional de Reflectancia Difusa. En esta reunión estuvo Harry Hecht, quien puede haber sido en ese momento la persona más conocedora del mundo en la teoría de la reflectancia difusa. El propio Gerry tomó muchas fotografías que ilustraban varios aspectos de la reflectancia difusa, muchas de las cuales no eran explicables con las mejores teorías disponibles. En 1987, Birth y Hecht escribieron un artículo conjunto en un nuevo manual, ^[16] que señaló una dirección para el trabajo teórico futuro.

En 1994, Donald y Kevin Dahm comenzaron a utilizar técnicas numéricas para calcular la remisión y la transmisión de muestras de cantidades variables de capas paralelas planas a partir de las fracciones de absorción y remisión para una sola capa. Utilizando este enfoque totalmente independiente, encontraron una función que era independiente de la cantidad de capas de la muestra. Esta función, llamada función de absorción/remisión y apodada función ART, se define como: ^[17] . Además de las relaciones que se muestran aquí, las fórmulas obtenidas para el caso general son totalmente consistentes con las fórmulas de Stokes , las ecuaciones de Benford y la fórmula de diferencias finitas de Hecht . Para los casos especiales de partículas infinitesimales o infinitamente diluidas, da resultados consistentes con la ecuación de Schuster para dispersión isotrópica y la ecuación de Kubelka-Munk . Todas estas ecuaciones son para capas paralelas planas que utilizan dos corrientes de luz. Esta matemática acumulativa se probó en datos recopilados utilizando radiación dirigida sobre láminas de plástico, un sistema que coincide exactamente con el modelo físico de una serie de capas paralelas planas, y se encontró que se ajusta. ^[2] Las matemáticas proporcionaron: 1) un método para utilizar matemáticas paralelas planas para separar los coeficientes de absorción y remisión de una muestra; 2) una función de absorción/remisión que es constante para todos los espesores de muestra; y 3) ecuaciones que relacionan la absorción y remisión de un espesor de muestra con el de cualquier otro espesor. ${\textstyle A(R,T)\equiv {\frac {(1-R_{n})^{2}-T_{n}^{2}}{R_{n}}}={\frac {(2-a-2r)a}{r}}={\frac {a(1+tr)}{r}}=2F(R_{\infty })={\frac {2a_{0}}{r_{0}}}}$

Utilizando supuestos simplificadores, los parámetros espectroscópicos (fracciones de absorción, remisión y transmisión) de una capa plana paralela pueden construirse a partir del índice de refracción del material que compone la capa, el coeficiente de absorción lineal (poder de absorción) del material y el espesor de la capa. Si bien se podrían hacer otros supuestos, los que se utilizan con más frecuencia son los de incidencia normal de un haz de luz dirigido, siendo la reflexión interna y externa de la superficie la misma.

Para el caso especial en que la radiación incidente es normal (perpendicular) a una superficie y la absorción es despreciable, la intensidad de los rayos reflejados y transmitidos se puede calcular a partir de los índices de refracción η ₁ y η ₂ de los dos medios, donde r es la fracción de la luz incidente reflejada y t es la fracción de la luz transmitida:

${\displaystyle r={\frac {(\eta _ {2}-\eta _ {1})^{2}}{(\eta _ {2}+\eta _ {1})^{2}} }}$, , tomándose la fracción absorbida como cero ( = 0 ). ${\displaystyle t={\frac {4\eta _{1}\eta _{2}}{(\eta _{2}+\eta _{1})^{2}}}}$${\estilo de visualización a}$

Para un haz de luz que viaja en el aire con un índice de refracción aproximado de 1,0 y que encuentra la superficie de un material que tiene un índice de refracción de 1,5:

${\displaystyle r={\frac {(\eta _ {2}-\eta _ {1})^{2}}{(\eta _ {2}+\eta _ {1})^{2}} }={\frac {0,5^{2}}{2,5^{2}}}=0,04}$, ${\displaystyle t={\frac {4\eta _ {1}\eta _ {2}}{(\eta _ {2}+\eta _ {1})^{2}}}={\frac { (4)(1)(1,5)}{2,5^{2}}}=0,96}$

Existe un caso especial simplificado para los parámetros espectroscópicos de una lámina. Esta lámina consta de tres capas paralelas planas (1: superficie frontal, 2: interior, 3: superficie posterior) en las que ambas superficies tienen la misma fracción de remisión cuando se iluminan desde cualquier dirección, independientemente de los índices de refracción relativos de los dos medios a cada lado de la superficie. Para el caso de absorción cero en el interior, la remisión y transmisión totales de la capa se pueden determinar a partir de la serie infinita, donde es la remisión desde la superficie: $estilo de visualización r_{0}$

${\displaystyle A=0,\qcuadrado}$ ${\displaystyle R=r_{0}+(1-r_{0})^{2}\sum _{n=1}^{\infty }r_{0}^{(2n-1)},\qquad }$ ${\displaystyle T=(1-r_{0})^{2}\sum _{n=0}^{\infty }r_{0}^{2n}.}$

Estas fórmulas se pueden modificar para tener en cuenta la absorción. ^{[15] [18]} Alternativamente, los parámetros espectroscópicos de una lámina (o placa) se pueden construir a partir de los parámetros espectroscópicos de las piezas individuales que componen la capa: superficie, interior, superficie. Esto se puede hacer utilizando un enfoque desarrollado por Kubelka para el tratamiento de capas no homogéneas . Utilizando el ejemplo de la sección anterior: { A ₁ = 0 , R ₁ = 0.04 , T ₁ = 0.96 } { A ₃ = 0 , R ₃ = 0.04 , T ₃ = 0.96 }.

Supondremos que el interior de la lámina está compuesto de un material que tiene un coeficiente de absorción neperiano k de 0,5 cm ⁻¹ , y la lámina tiene un espesor de 1 mm ( d = 1 mm ). Para este caso, en un solo viaje a través del interior, de acuerdo con la ley de Bouguer-Lambert, , que según nuestras suposiciones da y . Por lo tanto { A ₂ = 0,05 , R ₂ = 0 , T ₂ = 0,95 }. ${\textstyle T=\exp(-kd)}$${\textstyle T=\exp(-0.5\ {\text{cm}}^{-1}\cdot 0.1\ {\text{cm}})=0.95}$${\textstyle A=0.05}$

Luego se puede aplicar una de las ecuaciones de Benford ^{[19] . Si se conocen} A _x , R _x y T _x para la capa x y A _y R _y y T _y para la capa y , las fracciones ART para una muestra compuesta por la capa x y la capa y son:

${\displaystyle T_{x+y}={\frac {T_{x}T_{y}}{1-R_{(-x)}R_{y}}},\qquad }$ ${\displaystyle R_{x+y}=R_{x}+{\frac {T_{x}^{2}R_{y}}{1-R_{(-x)}R_{y}}},\qquad }$ ${\displaystyle A_{x+y}=1-T_{x+y}-R_{x+y}}$

(El símbolo significa la reflectancia de la capa cuando la dirección de la iluminación es antiparalela a la del haz incidente. La diferencia de dirección es importante cuando se trata de capas no homogéneas . Esta consideración fue añadida por Paul Kubelka en 1954. ^[20] También señaló que la transmisión era independiente de la dirección de la iluminación, pero la absorción y la remisión no lo eran).${\displaystyle R_{(-x)}}$${\displaystyle x}$

Paso 1: Tomamos la capa 1 como x y la capa 2 como y. Según nuestras suposiciones en este caso, { }.${\displaystyle R_{1}=R_{(-1)}=0.04,R_{2}=0,T_{1}=0.96,T_{2}=0.95}$${\displaystyle T_{x+y}={\frac {T_{x}T_{y}}{1-R_{(-x)}R_{y}}}={\frac {(0.96)(0.95)}{1-(0.04)0}}=0.912\quad }$ ${\displaystyle R_{x+y}=R_{x}+{\frac {T_{x}^{2}R_{y}}{1-R_{(-x)}R_{y}}}=0.04+{\frac {(0.96^{2})0}{1-(0.04)0}}=0.04\quad }$ ${\displaystyle R_{y+x}=R_{y}+{\frac {T_{y}^{2}R_{x}}{1-R_{(-y)}R_{x}}}=0+{\frac {(0.95^{2})(0.04)}{1-0(0.04)}}=0.0361}$

Paso 2: Tomamos el resultado del paso 1 como el valor para el nuevo x [ x es el antiguo x+y; (-x) es el antiguo y+x ], y el valor para la capa 3 como el nuevo y.

${\displaystyle T_{x+y}={\frac {T_{x}T_{y}}{1-R_{(-x)}R_{y}}}={\frac {(0.912)(0.96)}{1-(0.0361)(0.04)}}=0.877=T_{123}}$ ${\displaystyle R_{x+y}=R_{x}+{\frac {T_{x}^{2}R_{y}}{1-R_{(-x)}R_{y}}}=0.04+{\frac {(0.912^{2})(0.04)}{1-(0.0361)(0.04)}}=.0733=R_{123}}$

${\displaystyle A_{123}=1-R_{123}-T_{123}=1-0.877-.073=0.05}$

Dahm ha demostrado que para este caso especial, la cantidad total de luz absorbida por el interior de la lámina (considerando la remisión superficial) es la misma que la absorbida en un solo viaje (independientemente de la remisión superficial). ^[21] Esto está confirmado por los cálculos.

La absorbancia decádica ( ) de la lámina viene dada por: ${\displaystyle {\mathsf {\mathrm {A} b}}_{10}}$${\displaystyle {\mathsf {\mathrm {A} b}}_{10}=-log(1-A_{123})=0.0222}$

Las fórmulas de Stokes se pueden utilizar para calcular las fracciones de ART para cualquier número de capas. Alternativamente, se pueden calcular mediante la aplicación sucesiva de la ecuación de Benford para "una capa más".

Si se conocen A ₁ , R ₁ y T ₁ para la capa representativa de una muestra, y se conocen A _n , R _n y T _n para una capa compuesta de n capas representativas, las fracciones ART para una capa con un espesor de n + 1 son:

${\displaystyle T_{n+1}={\frac {T_{n}T_{1}}{1-R_{n}R_{1}}},\qquad }$ ${\displaystyle R_{n+1}=R_{n}+{\frac {T_{n}^{2}R_{1}}{1-R_{n}R_{1}}},\qquad }$ ${\displaystyle A_{n+1}=1-T_{n+1}-R_{n+1}}$

En el ejemplo anterior, { }. La tabla muestra los resultados de la aplicación repetida de las fórmulas anteriores. ${\displaystyle A_{1}=0.05,R_{1}=0.0733,T_{1}=0.877}$

En un medio homogéneo, como una solución, no hay dispersión. En este caso, la función es lineal tanto con la concentración de las especies absorbentes como con la longitud del recorrido. Además, las contribuciones de las especies absorbentes individuales son aditivas. En el caso de las muestras que dispersan la luz, la absorbancia se define como "el logaritmo negativo de uno menos la absorbancia (fracción de absorción: ) medida en una muestra uniforme". ^[22] En el caso de la absorbancia decádica , ^[23] esto se puede simbolizar como: . Aunque esta función de absorbancia es útil con muestras que dispersan la luz, la función no tiene las mismas características deseables que para las muestras que no dispersan la luz. Sin embargo, existe una propiedad llamada poder absorbente que se puede estimar para estas muestras. El poder absorbente de una sola unidad de espesor de material que compone una muestra que dispersa la luz es el mismo que la absorbancia del mismo espesor del material en ausencia de dispersión. ^[24]${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \mathrm {A} _{10}=-log_{10}(1-\alpha )}$

Supongamos que tenemos una muestra que consta de 14 láminas descritas anteriormente, cada una de las cuales tiene una absorbancia de 0,0222. Si podemos estimar el poder absorbente (la absorbancia de una muestra del mismo espesor, pero sin dispersión) de la muestra sin saber cuántas láminas hay en la muestra (como sería el caso general), tendría la propiedad deseable de ser proporcional al espesor. En este caso, sabemos que el poder absorbente (absorbancia corregida por dispersión) debería ser: {14 x la absorbancia de una sola lámina} . Este es el valor que deberíamos tener para la muestra si la absorbancia debe seguir la ley de Bouguer (a menudo denominada ley de Beer). ${\displaystyle =(14)(0.0222)=0.312}$

En la tabla siguiente, vemos que la muestra tiene los valores A,R,T para el caso de 14 láminas en la tabla anterior. Debido a la presencia de dispersión, la absorbancia medida de la muestra sería: . Luego calculamos esto para la mitad del espesor de la muestra utilizando otra de las ecuaciones de Benford. Si A _d , R _d y T _d son conocidos para una capa con espesor d , las fracciones ART para una capa con espesor de d /2 son: ${\displaystyle {\mathsf {\mathrm {A} b}}_{10}=-log(1-A_{S})=-log(0.466)=0.2728}$

${\displaystyle R_{d/2}={\frac {R_{d}}{1+T_{d}}},\qquad }$ ${\displaystyle T_{d/2}={\sqrt {T_{d}(1-R_{d/2}^{2})}},\qquad }$ ${\displaystyle A_{d/2}=1-T_{d/2}-R_{d/2},}$

En la línea correspondiente a la mitad de la muestra [S/2], vemos los valores que son los mismos que los de las 7 capas en la tabla anterior, como esperábamos. Nótese que . Deseamos que la absorbancia sea lineal con el espesor de la muestra, pero descubrimos que cuando multiplicamos este valor por 2, obtenemos , lo que representa una desviación significativa de la estimación anterior para el poder de absorción. ${\displaystyle -log(1-A_{S/2})=-log(1-0.292)=0.150}$${\displaystyle (2)(0.150)=0.300}$

La siguiente iteración de la fórmula produce la estimación de A,R,T para una muestra de un cuarto: . Nótese que esta vez el cálculo corresponde a tres capas y media, un espesor de muestra que no puede existir físicamente. ${\displaystyle -log(1-0.162)\times 4=0.307}$

Continuando con las potencias de dos secuencialmente más altas, vemos una estimación que aumenta de manera monótona. Finalmente, los números comenzarán a saltar con un error de redondeo, pero uno puede detenerse al obtener un valor constante con una cantidad específica de cifras significativas. En este caso, nos volvemos constantes con 4 cifras significativas en 0,3105, que es nuestra estimación para el poder de absorción de la muestra. Esto corresponde a nuestro valor objetivo de 0,312 determinado anteriormente.

Si se quiere utilizar una teoría basada en capas paralelas planas, lo óptimo sería que las muestras se describieran como capas. Pero una muestra de partículas a menudo parece un laberinto desordenado de partículas de diversos tamaños y formas, que no muestra ningún patrón estructurado de ningún tipo y, ciertamente, no está dividida literalmente en capas distintas e idénticas. Aun así, un principio de la teoría de capas representativas es que, para fines espectroscópicos, podemos tratar la muestra compleja como si fuera una serie de capas, cada una de las cuales representa la muestra en su conjunto.

Para ser representativa, la capa debe cumplir los siguientes criterios: ^[25]

• La fracción de volumen de cada tipo de partícula es la misma en la capa representativa que en la muestra en su conjunto.

• La fracción de área superficial de cada tipo de partícula es la misma en la capa representativa que en la muestra en su conjunto.

• La fracción de vacíos de la capa representativa es la misma que en la muestra.

• La capa representativa no tiene más de una partícula de espesor. Nótese que esto significa que el “espesor” de la capa representativa no es uniforme. Este criterio se impone para que podamos suponer que un fotón de luz dado tiene solo una interacción con la capa. Puede ser transmitido, remitido o absorbido como resultado de esta interacción, pero se supone que no interactúa con una segunda partícula dentro de la misma capa.

En la discusión anterior, cuando hablamos de un “tipo” de partícula, debemos distinguir claramente entre partículas de diferente composición. Sin embargo, además, debemos distinguir entre partículas de diferentes tamaños. Recordemos que la dispersión se concibe como un fenómeno de superficie y la absorción se concibe como algo que ocurre a nivel molecular en toda la partícula. En consecuencia, nuestra expectativa es que la contribución de un “tipo” de partícula a la absorción será proporcional a la fracción de volumen de esa partícula en la muestra, y la contribución de un “tipo” de partícula a la dispersión será proporcional a la fracción de área de superficie de esa partícula en la muestra. Es por eso que nuestros criterios de “capa representativa” anteriores incorporan tanto la fracción de volumen como la fracción de área de superficie. Dado que las partículas pequeñas tienen mayores proporciones de área de superficie a volumen que las partículas grandes, es necesario distinguir entre ellas.

Bajo estos criterios, podemos proponer un modelo para las fracciones de luz incidente que son absorbidas ( ), remitidas ( ) y transmitidas ( ) por una capa representativa. ^[26]${\displaystyle A_{1}}$${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle T_{1}}$

${\displaystyle A_{1}=\sum S_{j}(1-exp(-k_{j}d_{j}))}$, , ${\displaystyle R_{1}=\sum S_{j}b_{j}d_{j}}$${\displaystyle T_{1}=1-R_{1}-T_{1}}$

En el cual:

• es la fracción de la superficie de la sección transversal que está ocupada por partículas de tipo . ${\displaystyle S_{j}}$${\displaystyle j}$

• es el coeficiente de absorción efectivo para partículas de tipo . ${\displaystyle K_{j}}$${\displaystyle j}$

• es el coeficiente de remisión para partículas de tipo . ${\displaystyle b_{j}}$${\displaystyle j}$

• es el espesor de una partícula de tipo en la dirección del haz incidente. ${\displaystyle d_{j}}$${\displaystyle j}$

• La suma se realiza sobre todos los distintos “tipos” de partículas.

En efecto, representa la fracción de luz que interactuará con una partícula de tipo , y cuantifica la probabilidad de que esa interacción resulte en absorción y remisión, respectivamente. ${\displaystyle S_{j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle K_{j}}$${\displaystyle b_{j}}$

Las fracciones de área superficial y las fracciones de volumen para cada tipo de partícula se pueden definir de la siguiente manera:

${\displaystyle v_{i}={\frac {\frac {w_{i}}{\rho _{i}}}{\sum {\frac {w_{j}}{\rho _{j}}}}}}$ , , , ${\displaystyle s_{i}={\frac {\frac {w_{i}}{\rho _{i}d_{i}}}{\sum {\frac {w_{j}}{\rho _{j}d_{j}}}}}}$${\displaystyle V_{i}=(1-v_{0})v_{i}}$${\displaystyle S_{i}=(1-v_{0})s_{i}}$

En el cual:

• es la fracción de masa de partículas de tipo i en la muestra. ${\displaystyle w_{i}}$

• es la fracción del volumen ocupado compuesto por partículas del tipo i.${\displaystyle v_{i}}$

• es la fracción del área superficial de la partícula que está compuesta por partículas del tipo i. ${\displaystyle s_{i}}$

• es la fracción del volumen total compuesta por partículas del tipo i.${\displaystyle V_{i}}$

• es la fracción de la superficie transversal que está compuesta de partículas de tipo i. ${\displaystyle S_{i}}$

• es la densidad de partículas del tipo i. ${\displaystyle \rho _{i}}$

• es la fracción vacía de la muestra. ${\displaystyle v_{0}}$

Esta es una forma lógica de relacionar el comportamiento espectroscópico de una “capa representativa” con las propiedades de las partículas individuales que componen la capa. Los valores de los coeficientes de absorción y remisión representan un desafío en este enfoque de modelado. La absorción se calcula a partir de la fracción de luz que incide sobre cada tipo de partícula y un cálculo de tipo “ley de Beer” de la absorción por cada tipo de partícula, por lo que los valores de utilizados deberían modelar idealmente la capacidad de la partícula para absorber luz, independientemente de otros procesos (dispersión, remisión) que también ocurren. Nos referimos a esto como el poder de absorción en la sección anterior. ${\displaystyle K_{i}}$

Cuando una letra dada se utiliza tanto en mayúscula como en minúscula ( r , R y t , T ), la letra mayúscula se refiere al observable macroscópico y la letra minúscula a la variable correspondiente para una partícula o capa individual del material. Los símbolos griegos se utilizan para las propiedades de una sola partícula.

• ${\displaystyle a}$– fracción de absorción de una sola capa
• ${\displaystyle r}$– fracción de remisión de una sola capa
• ${\displaystyle t}$– fracción de transmisión de una sola capa
• A _n , R _n , T _n – Las fracciones de absorción, remisión y transmisión para una muestra compuesta de n capas
• α – fracción de absorción de una partícula
• β – retrodispersión de una partícula
• σ – dispersión isótropa de una partícula
• ${\displaystyle k}$– coeficiente de absorción definido como la fracción de luz incidente absorbida por una capa muy fina dividida por el espesor de esa capa
• ${\displaystyle s}$– coeficiente de dispersión definido como la fracción de luz incidente dispersada por una capa muy fina dividida por el espesor de esa capa