El péndulo de Kater

La primera persona en descubrir que la gravedad variaba sobre la superficie de la Tierra fue el científico francés Jean Richer , quien en 1671 fue enviado en una expedición a Cayena , Guayana Francesa , por la Academia de Ciencias de Francia , con la tarea de realizar mediciones con un reloj de péndulo . A través de las observaciones que realizó al año siguiente, Richer determinó que el reloj estaba 2 + 1 1/2 minutos por día más lento que en París, o equivalentemente la longitud de un péndulo con una oscilación de un segundo allí era 1 + 1/4 líneas de París , o 2,6 mm , más corta que en París. ^{[ 4 ] [ 5 ]} Los científicos de la época se dieron cuenta, y Isaac Newton lo demostró en 1687, de que esto se debía a que la Tierra no era una esfera perfecta sino ligeramente achatada ; era más gruesa en el ecuador debido a la rotación de la Tierra . Dado que la superficie de Cayena se encontraba más alejada del centro de la Tierra que la de París, la gravedad era menor allí. Tras este descubrimiento, se empezaron a utilizar péndulos oscilantes como gravímetros de precisión , que se llevaban en viajes a diferentes partes del mundo para medir la aceleración gravitatoria local. La acumulación de datos geográficos sobre la gravedad dio como resultado modelos cada vez más precisos de la forma general de la Tierra. 

Los péndulos se usaban tan universalmente para medir la gravedad que, en la época de Kater, la intensidad local de la gravedad no se expresaba generalmente mediante el valor de la aceleración g que se usa ahora, sino mediante la longitud en ese punto del péndulo de segundos , un péndulo con un período de dos segundos, de modo que cada oscilación dura un segundo. Se puede ver en la ecuación (1) que, para un péndulo de segundos, la longitud es simplemente proporcional a g :

${\displaystyle g=\pi ^{2}L\,}$

En la época de Kater, el periodo T de los péndulos podía medirse con gran precisión cronometrándolos con relojes de precisión ajustados al paso de las estrellas. Antes del descubrimiento de Kater, la exactitud de las mediciones de g estaba limitada por la dificultad de medir con precisión el otro factor L , la longitud del péndulo. L en la ecuación (1) anterior era la longitud de un péndulo matemático ideal, un «péndulo simple» que consiste en una masa puntual que oscila en el extremo de una cuerda sin masa. Sin embargo, la «longitud» de un péndulo real, un cuerpo rígido oscilante, conocido en mecánica como péndulo compuesto , es más difícil de definir. En 1673, el científico holandés Christiaan Huygens, en su análisis matemático de péndulos, Horologium Oscillatorium , demostró que un péndulo real tenía el mismo período que un péndulo simple, con una longitud igual a la distancia entre el punto de pivote y un punto llamado centro de oscilación , que se ubica bajo el centro de gravedad del péndulo y depende de la distribución de masa a lo largo de su longitud. El problema radicaba en que no existía una forma precisa de determinar la ubicación del centro de oscilación en un péndulo real. Teóricamente, podría calcularse a partir de la forma del péndulo si las partes metálicas tuvieran una densidad uniforme, pero la calidad metalúrgica y las capacidades matemáticas de la época no permitían realizar el cálculo con exactitud.

Para sortear este problema, la mayoría de los primeros investigadores de la gravedad, como Jean Picard (1669), Charles Marie de la Condamine (1735) y Jean-Charles de Borda (1792), aproximaron un péndulo simple utilizando una esfera metálica suspendida por un hilo fino. Si el hilo tenía una masa despreciable, el centro de oscilación se encontraba cerca del centro de gravedad de la esfera. Sin embargo, incluso determinar con precisión el centro de gravedad de la esfera resultaba difícil. Además, este tipo de péndulo carecía intrínsecamente de precisión. La esfera y el hilo no oscilaban como una unidad rígida, ya que la esfera adquiría un ligero momento angular durante cada oscilación. Asimismo, el hilo se estiraba elásticamente durante la oscilación del péndulo, modificando ligeramente la longitud L durante el ciclo.

Sin embargo, en Horologium Oscillatorium , Huygens también demostró que el punto de pivote y el centro de oscilación eran intercambiables. Es decir, si un péndulo se suspende boca abajo de su centro de oscilación, conserva el mismo periodo de oscilación, y el nuevo centro de oscilación es el antiguo punto de pivote. La distancia entre estos dos puntos conjugados es igual a la longitud de un péndulo simple con el mismo periodo.

Como parte de un comité designado por la Royal Society en 1816 para reformar las medidas británicas, Kater había sido contratado por la Cámara de los Comunes para determinar con precisión la longitud del péndulo de segundos en Londres. ^{[ 6 ]} Se dio cuenta de que el principio de Huygens podía usarse para encontrar el centro de oscilación y, por lo tanto, la longitud L , de un péndulo rígido (compuesto). Si un péndulo se colgara boca abajo de un segundo punto de pivote que pudiera ajustarse hacia arriba y hacia abajo en la varilla del péndulo, y el segundo pivote se ajustara hasta que el péndulo tuviera el mismo período que cuando oscilaba en posición normal desde el primer pivote, el segundo pivote estaría en el centro de oscilación y la distancia entre los dos puntos de pivote sería L .

Kater no fue el primero en tener esta idea. ^{[ 7 ] [ 8 ]} El matemático francés Gaspard de Prony propuso por primera vez un péndulo reversible en 1800, pero su trabajo no se publicó hasta 1889. En 1811 Friedrich Bohnenberger lo descubrió nuevamente, pero Kater lo inventó de forma independiente y fue el primero en ponerlo en práctica.

Kater construyó un péndulo que consistía en una varilla de latón de aproximadamente 2 metros de largo, 1 1/2 pulgadas de ancho y un octavo de pulgada de grosor, con un peso (d) en un extremo . ^{[ 1 ] [ 9 ]} Para un pivote de baja fricción, utilizó un par de cortas hojas triangulares de «cuchillo» unidas a la varilla. En su uso, el péndulo se colgaba de un soporte en la pared, sostenido por los bordes de las hojas de cuchillo que descansaban sobre placas planas de ágata. El péndulo tenía dos de estos pivotes de hojas de cuchillo (a) , enfrentados entre sí, a aproximadamente un metro (40 pulgadas) de distancia, de modo que una oscilación del péndulo duraba aproximadamente un segundo cuando se colgaba de cada pivote. 

Kater descubrió que hacer ajustable uno de los pivotes provocaba imprecisiones, dificultando mantener el eje de ambos pivotes perfectamente paralelo. En su lugar, fijó permanentemente las cuchillas a la varilla y ajustó los periodos del péndulo mediante un pequeño peso móvil (b,c) en el eje. Dado que la gravedad solo varía un máximo del 0,5 % en la Tierra, y en la mayoría de los lugares mucho menos, el peso solo debía ajustarse ligeramente. Al mover el peso hacia uno de los pivotes, el periodo disminuía al colgar de ese pivote y aumentaba al colgar del otro. Esto también tenía la ventaja de que la medición precisa de la separación entre los pivotes solo debía realizarse una vez.

Para su uso, el péndulo se colgó de un soporte en la pared, con los pivotes de las hojas de la cuchilla apoyados en dos pequeñas placas horizontales de ágata, frente a un reloj de péndulo de precisión para medir el período. Primero se balanceó desde un pivote y se cronometró la oscilación; luego se giró y se balanceó desde el otro pivote, y se volvió a cronometrar la oscilación. El pequeño peso (b) se ajustó con el tornillo de ajuste, y el proceso se repitió hasta que el péndulo tuviera el mismo período al balancearse desde cada pivote. Al introducir el período medido T y la distancia medida entre las hojas del pivote L en la ecuación del período (1), se pudo calcular g con gran precisión.

Kater realizó 12 ensayos. ^{[ 1 ]} Midió el período de su péndulo con gran precisión utilizando el péndulo de un reloj mediante el método de coincidencias ; cronometrando el intervalo entre las coincidencias cuando los dos péndulos oscilaban en sincronismo. Midió la distancia entre las palas del pivote con un comparador de microscopio, con una precisión de 10 ⁻⁴ in. (2,5 μm). Al igual que con otras mediciones de gravedad de péndulos, tuvo que aplicar pequeñas correcciones al resultado debido a una serie de factores variables:

• la amplitud no nula de la oscilación del péndulo, lo que aumentó el período
• temperatura, lo que provocó que la longitud de la varilla variara debido a la dilatación térmica.
• presión atmosférica , que redujo la masa efectiva del péndulo por la flotabilidad del aire desplazado, aumentando el período
• altitud, que reduce la fuerza gravitatoria con la distancia al centro de la Tierra. Las mediciones de gravedad siempre se referencian al nivel del mar .

Dio su resultado como la longitud del péndulo de segundos . Tras las correcciones, halló que la longitud media del péndulo de segundos solares en Londres, a nivel del mar y a 17 °C (62 °F) , oscilando en el vacío, era de 39,1386 pulgadas. Esto equivale a una aceleración gravitatoria de 9,81158 m/s² ^. La mayor variación de sus resultados con respecto a la media fue de 7,1 μm (0,00028 pulgadas ) . Esto representó una precisión en la medición de la gravedad de 0,7 × 10⁻⁵ ⁽ 7 miligales ).     

En 1824, el Parlamento británico convirtió la medición del péndulo de segundos de Kater en el estándar oficial de reserva de longitud para definir la yarda en caso de que el prototipo de la yarda fuera destruido. ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]}

El notable aumento en la precisión de las mediciones de gravedad, posible gracias al péndulo de Kater, consolidó la gravimetría como una disciplina fundamental de la geodesia . Para que fuera útil, era necesario determinar la ubicación exacta (latitud y longitud) de la estación donde se realizaba la medición, por lo que las mediciones con péndulo se integraron en la topografía . Los péndulos de Kater se utilizaron en los grandes levantamientos geodésicos históricos de gran parte del mundo, realizados durante el siglo XIX. En particular, se emplearon en el Gran Levantamiento Trigonométrico de la India.

Los péndulos reversibles siguieron siendo el método estándar utilizado para las mediciones de gravedad absoluta hasta que fueron reemplazados por los gravímetros de caída libre en la década de 1950. ^{[ 14 ]}

Medir repetidamente cada período de un péndulo de Kater y ajustar las pesas hasta que fueran iguales era laborioso y propenso a errores. Friedrich Bessel demostró en 1826 que esto era innecesario. Siempre que los períodos medidos desde cada pivote, T ₁ y T ₂ , sean cercanos en valor, el período T del péndulo simple equivalente se puede calcular a partir de ellos: ^{[ 15 ]}

${\displaystyle T^{2}={\frac {T_{1}^{2}+T_{2}^{2}}{2}}+{\frac {T_{1}^{2}-T_{2}^{2}}{2}}\left({\frac {h_{1}+h_{2}}{h_{1}-h_{2}}}\right)\,\qquad \qquad \qquad (2)}$

Aquí${\displaystyle h_{1}\,}$y${\displaystyle h_{2}\,}$son las distancias de los dos pivotes desde el centro de gravedad del péndulo. La distancia entre los pivotes,${\displaystyle h_{1}+h_{2}\,}$, se puede medir con gran precisión. ${\displaystyle h_{1}\,}$y${\displaystyle h_{2}\,}$y por lo tanto su diferencia${\displaystyle h_{1}-h_{2}\,}$, no se pueden medir con una precisión comparable. Se encuentran equilibrando el péndulo sobre el filo de un cuchillo para hallar su centro de gravedad y midiendo las distancias de cada uno de los pivotes desde el centro de gravedad. Sin embargo, debido a${\displaystyle T_{1}^{2}-T_{2}^{2}\,}$es mucho más pequeño que${\displaystyle T_{1}^{2}+T_{2}^{2}\,}$, el segundo término de la derecha en la ecuación anterior es pequeño en comparación con el primero, por lo que${\displaystyle h_{1}-h_{2}\,}$No es necesario determinarlo con gran precisión, y el procedimiento de equilibrado descrito anteriormente es suficiente para obtener resultados exactos.

Por lo tanto, el péndulo no tiene por qué ser ajustable; puede ser simplemente una varilla con dos pivotes. Siempre que cada pivote esté cerca del centro de oscilación del otro, de modo que los dos periodos sean similares, el periodo T del péndulo simple equivalente se puede calcular con la ecuación (2), y la gravedad se puede calcular a partir de T y L con la ecuación (1).

Además, Bessel demostró que si el péndulo tenía una forma simétrica, pero con un peso interno en un extremo, el error causado por la resistencia del aire se compensaría. Asimismo, otro error provocado por el radio distinto de cero de los filos de las cuchillas del pivote podía compensarse intercambiando dichos filos.

Bessel no construyó un péndulo de este tipo, pero en 1864 Adolf Repsold, contratado por la Comisión Geodésica Suiza, desarrolló un péndulo simétrico de 56  cm de longitud con hojas pivotantes intercambiables y un periodo de aproximadamente 3/4 de segundo. El péndulo de Repsold fue ampliamente utilizado por las agencias geodésicas suiza y rusa, así como en el Servicio Geodésico de la India . Otros péndulos de este diseño , de gran uso, fueron fabricados por Charles Peirce y C. Defforges.

La Conferencia de 1875 de la Medición de Arcos Europea trató sobre el mejor instrumento para la determinación de la gravedad. La asociación se decantó por el péndulo de reversión y se resolvió repetir en Berlín, en la estación donde Friedrich Wilhelm Bessel realizó sus famosas mediciones, la determinación de la gravedad mediante dispositivos de diversos tipos empleados en diferentes países, con el fin de compararlos y así obtener la ecuación de sus escalas, tras un debate en profundidad en el que participó el erudito estadounidense Charles Sanders Peirce . ^{[ 16 ]} De hecho, como la figura de la Tierra podía inferirse a partir de las variaciones de la longitud del péndulo de segundos , la dirección del Servicio Cartográfico de los Estados Unidos instruyó a Charles Sanders Peirce en la primavera de 1875 para que viajara a Europa con el propósito de realizar experimentos con péndulos en las principales estaciones iniciales para operaciones de este tipo, con el fin de poner en comunicación las determinaciones de las fuerzas de gravedad en América con las de otras partes del mundo; y también con el propósito de realizar un estudio cuidadoso de los métodos para llevar a cabo estas investigaciones en los diferentes países de Europa. ^{[ 17 ]}

La determinación de la gravedad mediante el péndulo reversible estaba sujeta a dos tipos de error. Por un lado, la resistencia del aire y, por otro, los movimientos que las oscilaciones del péndulo imprimían a su plano de suspensión. Estos movimientos eran particularmente importantes en el aparato diseñado por los hermanos Repsold según las indicaciones de Bessel, ya que el péndulo tenía una gran masa para contrarrestar el efecto de la viscosidad del aire. Mientras Émile Plantamour realizaba una serie de experimentos con este dispositivo, Adolph Hirsch encontró una manera de demostrar los movimientos del plano de suspensión del péndulo mediante un ingenioso proceso de amplificación óptica. Isaac-Charles Élisée Cellérier, matemático ginebrino, y Charles Sanders Peirce desarrollarían de forma independiente una fórmula de corrección que permitía utilizar las observaciones realizadas con este tipo de gravímetro. ^{[ 18 ] [ 19 ]}

Carlos Ibáñez Ibáñez de Ibero, presidente de la Comisión Permanente de Medición de Arcos Europeos de 1874 a 1886, se convirtió en el primer presidente de la Asociación Geodésica Internacional (1887-1891) tras la muerte de Johann Jacob Baeyer . Bajo la presidencia de Ibáñez, la Asociación Geodésica Internacional adquirió una dimensión global con la adhesión de Estados Unidos , México , Chile , Argentina y Japón . Como resultado del trabajo de la Asociación Geodésica Internacional, en 1901, Friedrich Robert Helmert halló, principalmente mediante gravimetría, parámetros del elipsoide notablemente cercanos a la realidad. ^{[ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]}