Intersección residual

La fórmula en el contexto topológico se debe a Quillen (1971) .

Ahora bien, supongamos que tenemos Y ″ → Y ' y supongamos que i ' : X ' = X × _Y Y ' → Y ' es regular de codimensión d ' de modo que se puede definir i ' ^! como antes. Sea F el fibrado de exceso de i e i ^' ; es decir, es el retroceso a X ″ del cociente de N por el fibrado normal de i ' . Sea e ( F ) la clase de Euler ( clase de Chern superior ) de F , que consideramos como un homomorfismo de A _{k − d '}  ( X ″ ) a A _{k − d} ( X ″ ). Entonces

donde i ^! está determinado por el morfismo Y ″ → Y ' → Y .

Finalmente, es posible generalizar la construcción y fórmula anteriores a morfismos de intersección completos ; esta extensión se discute en el § 6.6, así como en el Cap. 17 de loc. cit.

Demostración : Se puede deducir la fórmula de intersección a partir de la forma bastante explícita de un homomorfismo de Gysin. Sea E un fibrado vectorial sobre X de rango r y q : P ( E ⊕ 1) → X el fibrado proyectivo (aquí 1 significa el fibrado lineal trivial). Como es habitual, identificamos P ( E ⊕ 1) como una unión disjunta de P ( E ) y E . Entonces existe la sucesión exacta tautológica

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}(-1)\to q^{*}E\oplus 1\to \xi \to 0}$

en P ( E ⊕ 1). Afirmamos que el homomorfismo de Gysin viene dado como

${\displaystyle A_{k}(E)\to A_{kr}(X),\,x\mapsto q_{*}(e(\xi ){\overline {x}})}$

donde e ( ξ ) = c _r ( ξ ) es la clase de Euler de ξ y${\displaystyle {\overline {x}}}$es un elemento de A _k ( P ( E ⊕ 1)) que se restringe a x . Dado que la inyección q ^* : A _{k − r} ( X ) → A _k ( P ( E ⊕ 1)) se divide, podemos escribir

${\displaystyle {\overline {x}}=q^{*}y+z}$

donde z es una clase de un ciclo soportado en P ( E ). Por la fórmula de suma de Whitney, tenemos: c ( q ^* E ) = (1  − c ₁ ( O (1))) c ( ξ ) y así 

${\displaystyle e(\xi )=\sum _{0}^{r}c_{1}({\mathcal {O}}(1))^{i}c_{ri}(q^{*}E).}$

Entonces obtenemos:

${\displaystyle q_{*}(e(\xi )q^{*}y)=\sum _{i=0}^{r}s_{ir}(E\oplus 1)c_{ri}(E)y}$

donde s _I ( E ⊕ 1) es la i - ésima clase de Segre . Dado que el término cero de una clase de Segre es la identidad y sus términos negativos son cero, la expresión anterior es igual a y . A continuación, dado que la restricción de ξ a P ( E ) tiene una sección que no se anula en ningún punto y z es una clase de un ciclo soportado en P ( E ), se deduce que e (ξ) z = 0. Por lo tanto, escribiendo π para la proyección de E y j para la inclusión de E en P ( E ⊕1 ), obtenemos:

${\displaystyle \pi ^{*}q_{*}(e(\xi ){\overline {x}})=\pi ^{*}(y)=j^{*}q^{*}y=j^{*}({\overline {x}}-z)=j^{*}({\overline {x}})=x}$

donde la penúltima igualdad se debe al mismo criterio de soporte que antes. Esto completa la demostración de la forma explícita del homomorfismo de Gysin.

El resto es formal y directo. Usamos la secuencia exacta.

${\displaystyle 0\to \xi '\to \xi \to r^{*}F\to 0}$

donde r es el mapa de proyección para . Escribiendo P para el cierre de la especialización de V , mediante la fórmula de suma de Whitney y la fórmula de proyección, tenemos:

${\displaystyle i^{!}(V)=r_{*}(e(\xi )P)=r_{*}(e(r^{*}F)e(\xi ')P)=e(F)r_{*}(e(\xi ')P)=e(F){i'}^{!}(V).}$

${\displaystyle \square }$

Un caso especial de la fórmula es la fórmula de autointersección , que dice: dada una incrustación regular i : X → Y con fibrado normal N ,

${\displaystyle i^{*}i_{*}=e(N).}$

(Para obtener esto, tome Y ' = Y ″ = X .) Por ejemplo, a partir de esto y la fórmula de proyección , cuando X e Y son suaves, se puede deducir la fórmula:

${\displaystyle i_{*}(x)i_{*}(y)=i_{*}(e(N)xy).}$

en el anillo Chow de Y.

Dejar${\displaystyle f:{\widetilde {Y}}\to Y}$sea ​​la explosión a lo largo de un subesquema cerrado X ,${\displaystyle {\widetilde {X}}}$el divisor excepcional y${\displaystyle g:{\widetilde {g}}:{\widetilde {X}}\to X}$la restricción de f . Supongamos que f puede escribirse como una inmersión cerrada seguida de un morfismo suave (por ejemplo, Y es cuasiproyectivo). Entonces, a partir de${\displaystyle f^{*}i_{*}=i^{!}g^{*}}$, uno obtiene:

Dejar${\displaystyle C_{1}=Z(x_{0}x_{1})}$y${\displaystyle C_{2}=Z(x_{0}x_{2})}$sean dos curvas planas en${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$. Teóricamente, su intersección

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{1}\cap C_{2}&=Z(x_{1},x_{2})\cup Z(x_{0})\\&=[1:0:0]\cup \{[0:a:b]\in \mathbb {P} ^{2}\}\\&=Z_{1}\cup Z_{2}\end{aligned}}}$

es la unión de un punto y un elemento incrustado${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$Según el teorema de Bézout , se espera que esta intersección contenga${\displaystyle 4}$puntos ya que es la intersección de dos cónicas, por lo que interpretar esta intersección requiere una intersección residual. Entonces

${\displaystyle (C_{1}\cap C_{2})^{Z_{1}}=\left\{{\frac {c(N_{C_{1}/\mathbb {P} ^{2}})c(N_{C_{2}/\mathbb {P} ^{2}})}{c(N_{Z_{1}/\mathbb {P} ^{2}})}}\right\}_{0}\in A_{0}(Z_{1})}$${\displaystyle (C_{1}\cap C_{2})^{Z_{2}}=\left\{{\frac {c(N_{C_{1}/\mathbb {P} ^{2}})c(N_{C_{2}/\mathbb {P} ^{2}})}{c(N_{Z_{2}/\mathbb {P} ^{2}})}}\right\}_{1}\in A_{1}(Z_{2})}$

Desde${\displaystyle C_{1},C_{2}}$ambos son grado${\displaystyle 2}$hipersuperficies, su haz normal es el retroceso de${\displaystyle {\mathcal {O}}(2)}$, por lo tanto, el numerador de los dos componentes residuales es

${\displaystyle {\begin{aligned}c({\mathcal {O}}(2))c({\mathcal {O}}(2))&=(1+2[H])(1+2[H])\\&=1+4[H]+4[H]^{2}\end{aligned}}}$

Porque${\displaystyle Z_{1}}$está dado por el lugar de desaparición${\displaystyle Z(x_{1},x_{2})}$su paquete normal es${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)\oplus {\mathcal {O}}(1)}$, por eso

${\displaystyle {\begin{aligned}c(N_{Z_{1}/\mathbb {P} ^{2}})&=c({\mathcal {O}}(1)\oplus {\mathcal {O}}(1))\\&=(1+[H])(1+[H])\\&=1+2[H]+[H]^{2}\\&=1\end{aligned}}}$

desde${\displaystyle Z_{1}}$es dimensión${\displaystyle 0}$. De manera similar, el numerador también es${\displaystyle 1}$, por lo tanto, la intersección residual es de grado${\displaystyle 1}$, como se esperaba ya que${\displaystyle Z_{1}}$es la intersección completa dada por el lugar de fuga${\displaystyle Z(x_{1},x_{2})}$. Además, el paquete normal de${\displaystyle Z_{2}}$es${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$puesto que viene dado por el lugar de fuga${\displaystyle Z(x_{0})}$, entonces

${\displaystyle c(N_{Z_{2}}/X)=1+[H]}$

Invertir${\displaystyle c(N_{Z_{2}}/X)}$le da a la serie

${\displaystyle {\frac {1}{1+[H]}}=1-[H]+[H]^{2}}$

por eso

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {c(N_{C_{1}/\mathbb {P} ^{2}})c(N_{C_{2}/\mathbb {P} ^{2}})}{c(N_{Z_{2}/\mathbb {P} ^{2}})}}=&(1+4[H]+4[H]^{2})(1-[H]+[H]^{2})\\=&(1-[H]+[H]^{2})+(4[H]-4[H]^{2})+4[H]^{2}\\=&1+3[H]+[H]^{2}\\=&1+3[H]\end{aligned}}}$

dando la intersección residual de${\displaystyle 3[H]}$para${\displaystyle Z_{2}}$. Impulsar estas dos clases da${\displaystyle 4[H]^{2}}$en${\displaystyle A^{*}(\mathbb {P} ^{2})}$, según se desee.

Dejar${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3}\subset \mathbb {P} ^{3}}$Sean tres superficies. Supongamos que la intersección esquemática teórica${\displaystyle \bigcap X_{i}}$es la unión disjunta de una curva suave C y un esquema cero-dimensional S. Uno puede preguntarse: ¿cuál es el grado de S ? Esto se puede responder mediante #fórmula .

Las cónicas planas están parametrizadas por${\displaystyle \mathbb {P} ^{{\binom {2+2}{2}}-1}=\mathbb {P} ^{5}}$Dados cinco términos generales${\displaystyle \ell _{1},\ldots ,\ell _{5}\subset \mathbb {P} ^{2}}$, dejar${\displaystyle H_{\ell _{i}}\subset \mathbb {P} ^{5}}$sean las hipersuperficies de cónicas tangentes a${\displaystyle \ell _{i}}$; se puede demostrar que estas hipersuperficies tienen grado dos.

La intersección${\displaystyle \bigcap _{i}H_{\ell _{i}}}$contiene la superficie veronesa${\displaystyle Z\simeq \mathbb {P} ^{2}}$que consta de líneas dobles; es un componente conectado de la teoría de esquemas${\displaystyle \bigcap _{i}H_{\ell _{i}}}$. Dejar${\displaystyle h=c_{1}({\mathcal {O}}_{Z}(1))}$ Sea la clase de hiperplano = la primera clase de Chern de O (1) en el anillo de Chow de Z. Ahora,${\displaystyle Z=\mathbb {P} ^{2}\hookrightarrow \mathbb {P} ^{5}}$de tal manera que${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{5}}(1)}$retrocede a${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{2}}(2)}$y por lo tanto el paquete normal a${\displaystyle H_{\ell _{i}}}$restringido a Z es

${\displaystyle N_{H_{\ell _{i}}/\mathbb {P} ^{5}}|_{Z}={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{5}}(H_{\ell _{i}})|_{Z}={\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{5}}(2)|_{Z}={\mathcal {O}}_{Z}(4).}$

Entonces, la clase Chern total de ello es

${\displaystyle c(N_{H_{\ell _{i}}/\mathbb {P} ^{5}}|_{Z})=1+4h.}$

De manera similar, utilizando ese paquete normal a uno regular${\displaystyle X\hookrightarrow Y}$es${\displaystyle T_{Y}|_{X}/T_{X}}$así como la sucesión de Euler , obtenemos que la clase de Chern total del fibrado normal a${\displaystyle Z\hookrightarrow \mathbb {P} ^{5}}$es

${\displaystyle c(N_{Z/\mathbb {P} ^{5}})=c(T_{\mathbb {P} ^{5}}|_{Z})/c(T_{Z})=c({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{5}}(1)^{\oplus 6}|_{Z})/c({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{2}}(1)^{\oplus 3})=(1+2h)^{6}/(1+h)^{3}.}$

Así, la clase Segre de${\displaystyle Z\hookrightarrow \mathbb {P} ^{5}}$es

${\displaystyle s(Z,\mathbb {P} ^{5})=c(N_{Z/\mathbb {P} ^{5}})^{-1}=1-9h+51h^{2}.}$

Por lo tanto, la equivalencia de Z es

${\displaystyle \deg((1+4h)^{5}(1-9h+51h^{2}))=160-180+51=31.}$

Según el teorema de Bézout , el grado de${\displaystyle \bigcap _{i}H_{\ell _{i}}}$es${\displaystyle 2^{5}=32}$y por lo tanto el conjunto residual consiste en un único punto que corresponde a una única tangente cónica a las cinco líneas dadas.

Alternativamente, la equivalencia de Z se puede calcular mediante #fórmula? ; ya que${\displaystyle \deg(c_{1}(T_{\mathbb {P} ^{2}}))=\deg(c_{2}(T_{\mathbb {P} ^{2}}))=3}$y${\displaystyle \deg(Z)=4}$, es:

${\displaystyle 3+4(3)+(40-10(6)+21)\deg(Z)=31.}$

Supongamos que se nos dan cinco cónicas planas.${\displaystyle C_{1},\ldots ,C_{5}\subset \mathbb {P} ^{2}}$en posiciones generales. Se puede proceder exactamente como en el ejemplo anterior. Así pues, sea${\displaystyle H_{C_{i}}\subset \mathbb {P} ^{5}}$sea ​​la hipersuperficie de cónicas tangentes a${\displaystyle C_{i}}$; se puede demostrar que tiene grado  6. La intersección${\displaystyle \bigcap _{i}H_{C_{i}}}$Contiene la superficie veronesa Z de líneas dobles.

La fuctorialidad es a lo que se refiere el título de la sección: dados dos incrustaciones regulares${\displaystyle X{\overset {i}{\hookrightarrow }}Y{\overset {j}{\hookrightarrow }}Z}$,

${\displaystyle (j\circ i)^{!}=j^{!}\circ i^{!}}$

donde la igualdad tiene el siguiente sentido: