Hispanopedia Wiki
Articulo de referencia

Teorema de los residuos

En análisis complejo , el teorema de los residuos , también conocido como teorema de los residuos de Cauchy , es una herramienta poderosa para evaluar integrales de línea de fun...

Hispanopedia WikiContenido en espanolLectura gratuita

En análisis complejo , el teorema de los residuos , también conocido como teorema de los residuos de Cauchy , es una herramienta poderosa para evaluar integrales de línea de funciones analíticas sobre curvas cerradas; a menudo se utiliza también para calcular integrales reales y series infinitas . Generaliza el teorema integral de Cauchy y su fórmula integral . El teorema de los residuos no debe confundirse con casos particulares del teorema generalizado de Stokes ; sin embargo, este último puede utilizarse como parte de su demostración.

Enunciado del teorema de los residuos de Cauchy

La declaración es la siguiente:

Ilustración del escenario

Teorema de los residuos : SeaU{\displaystyle U}Sea un subconjunto abierto simplemente conexo del plano complejo que contiene una lista finita de puntos .a1,…,anorte{\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}},​​U0=U∖{a1,…,anorte}{\displaystyle U_{0}=U\smallsetminus \{a_{1},\ldots ,a_{n}\}}y una funciónF{\displaystyle f}holomorfo en ⁠U0{\displaystyle U_{0}}Alquiler​γ{\displaystyle \gamma }ser una curva rectificable cerrada enU0{\displaystyle U_{0}}⁠ , y denotando el residuo deF{\displaystyle f}en cada puntoak{\displaystyle a_{k}}porRes⁡(F,ak){\displaystyle \operatorname {Res} (f,a_{k})}y el número de vueltas deγ{\displaystyle \gamma }alrededorak{\displaystyle a_{k}}por​I⁡(γ,ak){\displaystyle \operatorname {I} (\gamma ,a_{k})}⁠ , la integral de línea deF{\displaystyle f}alrededorγ{\displaystyle \gamma }es igual a2πi{\displaystyle 2\pi i}veces la suma de los residuos, cada uno contado tantas veces comoγ{\displaystyle \gamma }vientos alrededor del punto correspondiente: ∮γF(z)dz=2πi∑k=1norteI⁡(γ,ak)Res⁡(F,ak).{\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {I} (\gamma ,a_{k})\operatorname {Res} (f,a_{k}).}

Siγ{\displaystyle \gamma }es una curva cerrada simple orientada positivamente ,I⁡(γ,ak){\displaystyle \operatorname {I} (\gamma ,a_{k})}es1{\displaystyle 1}siak{\displaystyle a_{k}}está en el interior deγ{\displaystyle \gamma }y0{\displaystyle 0}si no, por lo tanto ∮γF(z)dz=2πi∑Res⁡(F,ak){\displaystyle \oint _{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum \operatorname {Res} (f,a_{k})} con la suma sobre esosak{\displaystyle a_{k}}dentro​γ{\displaystyle \gamma }⁠ . [ 1 ]

La relación entre el teorema de los residuos y el teorema de Stokes viene dada por el teorema de la curva de Jordan . La curva plana general γ debe reducirse primero a un conjunto de curvas cerradas simples.{γi}{\displaystyle \{\gamma _{i}\}}cuyo total es equivalente aγ{\displaystyle \gamma }para fines de integración; esto reduce el problema a encontrar la integral deFdz{\displaystyle f\,dz}a lo largo de una curva de Jordanγi{\displaystyle \gamma _{i}}con interiorV{\displaystyle V}⁠ . El requisito de queF{\displaystyle f}ser holomorfo enU0=U∖{ak}{\displaystyle U_{0}=U\smallsetminus \{a_{k}\}}es equivalente a la afirmación de que la derivada exteriord(Fdz)=0{\displaystyle d(f\,dz)=0}en​U0{\displaystyle U_{0}}⁠ . Por lo tanto, si dos regiones planasV{\displaystyle V}yW{\displaystyle W}deU{\displaystyle U}encerrar el mismo subconjunto{aj}{\displaystyle \{a_{j}\}}de​{ak}{\displaystyle \{a_{k}\}}⁠ , las regionesV∖W{\displaystyle V\smallsetminus W}yW∖V{\displaystyle W\smallsetminus V}yacen completamente enU0{\displaystyle U_{0}}⁠ , por lo tanto ∫V∖Wd(Fdz)−∫W∖Vd(Fdz){\displaystyle \int _{V\smallsetminus W}d(f\,dz)-\int _{W\smallsetminus V}d(f\,dz)} está bien definida y es igual a cero. En consecuencia, la integral de contorno deFdz{\displaystyle f\,dz}a lo largo deγj=∂V{\displaystyle \gamma _{j}=\partial V}es igual a la suma de un conjunto de integrales a lo largo de trayectorias ⁠γj{\displaystyle \gamma _{j}}⁠ , cada uno encerrando una región arbitrariamente pequeña alrededor de un únicoaj{\displaystyle a_{j}}— los residuos deF{\displaystyle f}(hasta el factor convencional)2πi{\displaystyle 2\pi i}en​{aj}{\displaystyle \{a_{j}\}}⁠ . Sumando sobre ⁠{γj}{\displaystyle \{\gamma _{j}\}}, recuperamos la expresión final de la integral de contorno en términos de los números de vueltas .{I⁡(γ,ak)}{\displaystyle \{\operatorname {I} (\gamma ,a_{k})\}}⁠ .

Para evaluar integrales reales, se utiliza el teorema de los residuos de la siguiente manera: se extiende la integral al plano complejo y se calculan sus residuos (lo cual suele ser sencillo). Posteriormente, se extiende una parte del eje real a una curva cerrada añadiendo un semicírculo en el semiplano superior o inferior, formando así un semicírculo. La integral sobre esta curva se puede calcular mediante el teorema de los residuos. A menudo, la parte del semicírculo de la integral tiende a cero a medida que aumenta su radio, quedando solo la parte del eje real, la que nos interesaba inicialmente.

Cálculo de residuos

Supongamos que un disco perforadoD={z:0<|z−do|<R}{\displaystyle D=\{z:0<\vert zc\vert <R\}}En el plano complejo se da yF{\displaystyle f}⁠ es una función holomorfa definida (al menos) en ⁠D{\displaystyle D}⁠ . El residuo ⁠Res⁡(F,do){\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)}de​​F{\displaystyle f}en​​do{\displaystyle c}es el coeficientea−1{\displaystyle a_{-1}}de​​(z−do)−1{\displaystyle (zc)^{-1}}⁠ en laexpansión de la serie Laurent de ⁠F{\displaystyle f}alrededor​​do{\displaystyle c}Existen diversos métodos para calcular este valor, y la elección del método a utilizar depende de la función en cuestión y de la naturaleza de la singularidad .

Según el teorema de los residuos, tenemos:

Res⁡(F,do)=12πi∮γF(z)dz{\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={1 \over 2\pi i}\oint _{\gamma }f(z)\,dz}

donde​γ{\displaystyle \gamma }⁠ traza un círculo alrededor ⁠do{\displaystyle c}⁠ en sentido contrario a las agujas del reloj y no pasa ni contiene otras singularidades en su interior. Podemos elegir el camino ⁠γ{\displaystyle \gamma }ser un círculo de radioε{\displaystyle \varepsilon }alrededor​​do{\displaystyle c}⁠ . Dado que ⁠ε{\displaystyle \varepsilon }⁠ puede ser tan pequeño como deseemos, puede hacerse para contener únicamente la singularidad de ⁠do{\displaystyle c}Debido a la naturaleza de las singularidades aisladas, esto puede utilizarse para el cálculo en casos donde la integral se puede calcular directamente, pero generalmente se utilizan residuos para simplificar el cálculo de integrales, y no al revés.

Singularidades removibles

Si la funciónF{\displaystyle f}⁠ se puede continuar con una función holomorfa en todo el disco ⁠|y−do|<R{\displaystyle \vert yc\vert <R}⁠ , entonces ⁠Res⁡(F,do)=0{\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)=0}Lo contrario no es cierto en general .

postes simples

Si​do{\displaystyle c}es un polo simple deF{\displaystyle f}⁠ , el residuo de ⁠F{\displaystyle f}⁠ viene dado por:

Res⁡(F,do)=límitez→do(z−do)F(z).{\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\to c}(z-c)f(z).}

Si ese límite no existe, entoncesF{\displaystyle f}⁠ en cambio tiene una singularidad esencial en ⁠do{\displaystyle c}⁠ . Si el límite es ⁠0{\displaystyle 0}⁠ , entonces ⁠F{\displaystyle f}es analítico endo{\displaystyle c}o tiene una singularidad removible allí. Si el límite es igual a infinito, entonces el orden del polo es mayor que1{\displaystyle 1}⁠ .

Puede ser que la funciónF{\displaystyle f}⁠ puede expresarse como un cociente de dos funciones, ⁠F(z)=gramo(z)/h(z){\displaystyle f(z)={g(z)}/{h(z)}}, donde​gramo{\displaystyle g}y​​h{\displaystyle h}son funciones holomorfas en un entorno dedo{\displaystyle c}⁠ , con ⁠h(do)=0{\displaystyle h(c)=0}y​​ h′(do)≠0{\displaystyle h'(c)\neq 0}En tal caso, la regla de L'Hôpital se puede utilizar para simplificar la fórmula anterior a:

Res⁡(F,do)=límitez→do(z−do)F(z)=límitez→dozgramo(z)−dogramo(z)h(z)=límitez→dogramo(z)+zgramo′(z)−dogramo′(z)h′(z)=gramo(do)h′(do).{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Res} (f,c)&=\lim _{z\to c}(z-c)f(z)=\lim _{z\to c}{\frac {zg(z)-cg(z)}{h(z)}}\\[4pt]&=\lim _{z\to c}{\frac {g(z)+zg'(z)-cg'(z)}{h'(z)}}={\frac {g(c)}{h'(c)}}.\end{aligned}}}

Fórmula límite para polos de orden superior

En términos más generales, sido{\displaystyle c}es un polo de ordenpag{\displaystyle p}⁠ , entonces el residuo de ⁠F{\displaystyle f}alrededor​​z=do{\displaystyle z=c}Se puede encontrar mediante la fórmula:

Res⁡(F,do)=1(pag−1)¡límitez→dodpag−1dzpag−1((z−do)pagF(z)).{\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)={\frac {1}{(p-1)!}}\lim _{z\to c}{\frac {d^{p-1}}{dz^{p-1}}}\left((z-c)^{p}f(z)\right).}

Esta fórmula puede ser muy útil para determinar los residuos de polos de orden bajo. Para polos de orden superior, los cálculos pueden volverse inmanejables, y el desarrollo en serie suele ser más sencillo. Para singularidades esenciales , no existe una fórmula tan simple, y los residuos generalmente deben obtenerse directamente del desarrollo en serie.

Residuo en el infinito

En general, el residuo en el infinito se define como:

Res⁡(F(z),∞)=−Res(1z2F(1z),0).{\displaystyle \operatorname {Res} (f(z),\infty )=-{\operatorname {Res} }\left({\frac {1}{z^{2}}}f\left({\frac {1}{z}}\right),0\right).}

Si se cumple la siguiente condición:

límite|z|→∞F(z)=0,{\displaystyle \lim _{|z|\to \infty }f(z)=0,}

Entonces, el residuo en el infinito se puede calcular utilizando la siguiente fórmula:

Res⁡(F,∞)=−límite|z|→∞zF(z).{\displaystyle \operatorname {Res} (f,\infty )=-\lim _{|z|\to \infty }zf(z).}

Si en cambio

límite|z|→∞F(z)=do≠0,{\displaystyle \lim _{|z|\to \infty }f(z)=c\neq 0,}

entonces el residuo en el infinito es

Res⁡(F,∞)=límite|z|→∞z2F′(z).{\displaystyle \operatorname {Res} (f,\infty )=\lim _{|z|\to \infty }z^{2}f'(z).}

Para funciones que son meromorfas en todo el plano complejo con un número finito de singularidades, la suma de los residuos en las singularidades (necesariamente) aisladas más el residuo en el infinito es cero, lo que da como resultado:

Res⁡(F(z),∞)=−∑kRes⁡(F(z),ak).{\displaystyle \operatorname {Res} (f(z),\infty )=-\sum _{k}\operatorname {Res} (f(z),a_{k}).}

Métodos en serie

Si partes o la totalidad de una función se pueden expandir en una serie de Taylor o una serie de Laurent , lo cual puede ser posible si las partes o la totalidad de la función tienen una expansión en serie estándar, entonces calcular el residuo es significativamente más simple que con otros métodos. El residuo de la función viene dado simplemente por el coeficiente de ⁠(z−do)−1{\displaystyle (z-c)^{-1}}⁠ en la expansión de la función de la serie Laurent .

Ejemplos

Una integral a lo largo del eje real

El integral ∫−∞∞miitincógnitaincógnita2+1dincógnita{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}}{x^{2}+1}}\,dx}

El contorno C

Surge en la teoría de la probabilidad al calcular la función característica de la distribución de Cauchy . Se resiste a las técnicas del cálculo elemental , pero puede evaluarse expresándola como un límite de integrales de contorno .

Supongamos que t > 0 y definamos el contorno C que va a lo largo de la recta real desde − a hasta a y luego en sentido antihorario a lo largo de un semicírculo centrado en 0 desde a hasta − a . Tomemos a mayor que 1, de modo que la unidad imaginaria i esté encerrada dentro de la curva. Ahora consideremos la integral de contorno. ∫doF(z)dz=∫domiitzz2+1dz.{\displaystyle \int _{C}{f(z)}\,dz=\int _{C}{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz.}

Dado que e itz es una función entera (sin singularidades en ningún punto del plano complejo), esta función tiene singularidades solo donde el denominador z 2 + 1 es cero. Como z 2 + 1 = ( z + i )( z − i ) , eso ocurre solo donde z = i o z = − i . Solo uno de esos puntos está en la región delimitada por este contorno. Porque f ( z ) es miitzz2+1=miitz2i(1z−i−1z+i)=miitz2i(z−i)−miitz2i(z+i),{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}&={\frac {e^{itz}}{2i}}\left({\frac {1}{z-i}}-{\frac {1}{z+i}}\right)\\&={\frac {e^{itz}}{2i(z-i)}}-{\frac {e^{itz}}{2i(z+i)}},\end{aligned}}} El residuo de f ( z ) en z = i es Resz=i⁡F(z)=mi−t2i.{\displaystyle \operatorname {Res} _{z=i}f(z)={\frac {e^{-t}}{2i}}.}

Según el teorema de los residuos, entonces tenemos ∫doF(z)dz=2πi⋅Resz=i⁡F(z)=2πimi−t2i=πmi−t.{\displaystyle \int _{C}f(z)\,dz=2\pi i\cdot \operatorname {Res} \limits _{z=i}f(z)=2\pi i{\frac {e^{-t}}{2i}}=\pi e^{-t}.}

El contorno C puede dividirse en una parte recta y un arco curvo, de modo que ∫straigramohtF(z)dz+∫ardoF(z)dz=πmi−t{\displaystyle \int _{\mathrm {straight} }f(z)\,dz+\int _{\mathrm {arc} }f(z)\,dz=\pi e^{-t}} y por lo tanto ∫−aaF(z)dz=πmi−t−∫ardoF(z)dz.{\displaystyle \int _{-a}^{a}f(z)\,dz=\pi e^{-t}-\int _{\mathrm {arc} }f(z)\,dz.}

Utilizando algunas estimaciones , tenemos |∫ardomiitzz2+1dz|≤πa⋅sorberarco|miitzz2+1|≤πa⋅sorberarco1|z2+1|≤πaa2−1,{\displaystyle \left|\int _{\mathrm {arc} }{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz\right|\leq \pi a\cdot \sup _{\text{arc}}\left|{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\right|\leq \pi a\cdot \sup _{\text{arc}}{\frac {1}{|z^{2}+1|}}\leq {\frac {\pi a}{a^{2}-1}},} y límitea→∞πaa2−1=0.{\displaystyle \lim _{a\to \infty }{\frac {\pi a}{a^{2}-1}}=0.}

La estimación del numerador se deduce ya que t > 0 y, para números complejos z a lo largo del arco (que se encuentra en el semiplano superior ), el argumento φ de z se encuentra entre 0 y π . Por lo tanto, |miitz|=|miit|z|(porque⁡φ+ipecado⁡φ)|=|mi−t|z|pecado⁡φ+it|z|porque⁡φ|=mi−t|z|pecado⁡φ≤1.{\displaystyle \left|e^{itz}\right|=\left|e^{it|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )}\right|=\left|e^{-t|z|\sin \varphi +it|z|\cos \varphi }\right|=e^{-t|z|\sin \varphi }\leq 1.}

Por lo tanto, ∫−∞∞miitzz2+1dz=πmi−t.{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz=\pi e^{-t}.}

Si t < 0, entonces un argumento similar con un arco C ′ que se enrolla alrededor de − i en lugar de i muestra que

El contorno C ′

∫−∞∞miitzz2+1dz=πmit,{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz=\pi e^{t},} y finalmente tenemos ∫−∞∞miitzz2+1dz=πmi−|t|.{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz=\pi e^{-\left|t\right|}.}

(Si t = 0 , la integral se reduce inmediatamente a métodos de cálculo elemental y su valor es π .)

Evaluación de funciones zeta

El hecho de que π cot( πz ) tenga polos simples con residuo 1 en cada entero se puede utilizar para calcular la suma ∑norte=−∞∞F(norte).{\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }f(n).}

Consideremos, por ejemplo, f ( z ) = z −2 . Sea Γ N el rectángulo que es el límite de [− N − ⁠ 1 / 2 ⁠ , N + ⁠ 1 / 2 ⁠ ] 2 con orientación positiva, con un entero N . Por la fórmula de los residuos, 12πi∫ΓnorteF(z)πcuna⁡(πz)dz=Resz=0+∑norte=−nortenorte≠0nortenorte−2.{\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\Gamma _{N}}f(z)\pi \cot(\pi z)\,dz=\operatorname {Res} \limits _{z=0}+\sum _{n=-N \atop n\neq 0}^{N}n^{-2}.}

El lado izquierdo tiende a cero cuando N → ∞ ya que|cuna⁡(πz)|{\displaystyle |\cot(\pi z)|}está uniformemente delimitado en el contorno, gracias al usoincógnita=±(12+norte){\displaystyle x=\pm \left({\frac {1}{2}}+N\right)}en el lado izquierdo y derecho del contorno, y por lo tanto el integrando tiene ordenO(norte−2){\displaystyle O(N^{-2})}sobre todo el contorno. Por otro lado, [ 2 ]z2cuna⁡(z2)=1−B2z22¡+⋯{\displaystyle {\frac {z}{2}}\cot \left({\frac {z}{2}}\right)=1-B_{2}{\frac {z^{2}}{2!}}+\cdots }donde el número de BernoulliB2=16{\displaystyle B_{2}={\frac {1}{6}}}⁠ .

(De hecho, ⁠ z / 2 ⁠ cot( ⁠ z / 2 ⁠ ) = ⁠ iz / 1 − e − iz ⁠ − ⁠ iz / 2 ⁠ .) Por lo tanto, el residuo Res z =0 es − ⁠ π 2 / 3 ⁠ . Concluimos: ∑norte=1∞1norte2=π26{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}} lo cual es una prueba del problema de Basilea .

El mismo argumento funciona para todos.F(incógnita)=incógnita−2norte{\displaystyle f(x)=x^{-2n}}dóndenorte{\displaystyle n}es un número entero positivo, lo que nos daζ(2norte)=(−1)norte+1B2norte(2π)2norte2(2norte)¡.{\displaystyle \zeta (2n)={\frac {(-1)^{n+1}B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}.}El truco no funciona cuandoF(incógnita)=incógnita−2norte−1{\displaystyle f(x)=x^{-2n-1}}⁠ , puesto que en este caso, el residuo en cero se anula y obtenemos la identidad inútil ⁠0+ζ(2norte+1)−ζ(2norte+1)=0{\displaystyle 0+\zeta (2n+1)-\zeta (2n+1)=0}⁠ .

Evaluación de la serie de Eisenstein

El mismo truco se puede utilizar para establecer la suma de la serie de Eisenstein :πcuna⁡(πz)=límitenorte→∞∑norte=−nortenorte(z−norte)−1.{\displaystyle \pi \cot(\pi z)=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}(z-n)^{-1}.}

Prueba

Elija uno arbitrariow∈do∖Z{\displaystyle w\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} }⁠ . Como se indicó anteriormente, defina gramo(z):=1w−zπcuna⁡(πz){\displaystyle g(z):={\frac {1}{w-z}}\pi \cot(\pi z)}

Por el teorema de los residuos de Cauchy, para todonorte{\displaystyle N}lo suficientemente grande como para queΓnorte{\displaystyle \Gamma _{N}}rodea​w{\displaystyle w}⁠ , 12πi∮Γnortegramo(z)dz=−πcuna⁡(πz)+∑norte=−nortenorte1z−norte{\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\Gamma _{N}}g(z)dz=-\pi \cot(\pi z)+\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{z-n}}}

Resta demostrar que la integral converge a cero. Dado queπcuna⁡(πz)/z{\displaystyle \pi \cot(\pi z)/z}es una función par, yΓnorte{\displaystyle \Gamma _{N}}es simétrico respecto al origen , tenemos∮Γnorteπcuna⁡(πz)/zdz=0{\displaystyle \oint _{\Gamma _{N}}\pi \cot(\pi z)/zdz=0}⁠ , y así ∮Γnortegramo(z)dz=∮Γnorte(1z+1w−z)πcuna⁡(πz)dz=−w∮Γnorte1z(z−w)πcuna⁡(πz)dz=O(1/norte){\displaystyle \oint _{\Gamma _{N}}g(z)dz=\oint _{\Gamma _{N}}\left({\frac {1}{z}}+{\frac {1}{w-z}}\right)\pi \cot(\pi z)dz=-w\oint _{\Gamma _{N}}{\frac {1}{z(z-w)}}\pi \cot(\pi z)dz=O(1/N)}

Véase también

Notas

  1. ↑ Whittaker y Watson 1920 , pág. 112, §6.1 . 
  2. ↑ Whittaker y Watson 1920 , pág. 125, §7.2 . Nótese que el número de Bernoulli B2norte{\displaystyle B_{2n}}se denota porBnorte{\displaystyle B_{n}}en el libro de Whittaker y Watson.

Referencias

  • Ahlfors, Lars (1979). Análisis complejo . McGraw Hill. ISBN 0-07-085008-9.
  • Lindelöf, Ernst L. (1905). Le calcul des résidus et ses apps à la théorie des fonctions (en francés). Ediciones Jacques Gabay (publicado en 1989). ISBN 2-87647-060-8.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )
  • Mitrinović, Dragoslav; Kečkić, Jovan (1984). El método de residuos de Cauchy: Teoría y aplicaciones . D. Reidel Publishing Company. ISBN 90-277-1623-4.
  • Whittaker, ET ; Watson, GN (1920). Un curso de análisis moderno (3.ª  ed.). Cambridge University Press.