Extensión de conjunto responsiva

La extensión RS original ^{[ 2 ] : 44–48} se construye de la siguiente manera. Para cada paquete${\displaystyle X\subsetequ O}$, cada artículo${\displaystyle x\in X}$y cada artículo${\displaystyle y\notin X}$Consideremos las siguientes relaciones:

• ${\displaystyle X\setminus \{x\}\prec ^{RS}X}$(- Añadir un artículo mejora el paquete)
• Si${\displaystyle x\preceq y}$entonces${\displaystyle X\preceq ^{RS}(X\setminus \{x\})\cup \{y\}}$(- Reemplazar un artículo por otro mejor mejora el paquete).

La extensión RS es el cierre transitivo de estas relaciones.

La extensión PD se basa en el emparejamiento de los elementos de un paquete con los elementos del otro paquete.

Formalmente,${\displaystyle X\preceq ^{PD}Y}$si y solo si existe una función inyectiva${\displaystyle f}$de${\displaystyle X}$a${\displaystyle Y}$de tal manera que, para cada${\displaystyle x\in X}$,${\displaystyle x\preceq f(x)}$.

La extensión SD (llamada así por la dominancia estocástica ) se define no solo para cestas discretas, sino también para cestas fraccionarias (cestas que contienen fracciones de elementos). De manera informal, una cesta Y es SD preferida a una cesta X si, para cada elemento z, la cesta Y contiene al menos tantos objetos, que son al menos tan buenos como z, como la cesta X.

Formalmente,${\displaystyle X\preceq ^{SD}Y}$si y solo si, para cada artículo${\displaystyle z}$:

${\displaystyle \sum _{x\succeq z}X[x]\leq \sum _{y\succeq z}Y[y]}$

dónde${\displaystyle X[x]}$es la fracción del artículo${\displaystyle x}$en el paquete${\displaystyle X}$.

Si los conjuntos son discretos, la definición tiene una forma más sencilla.${\displaystyle X\preceq ^{SD}Y}$si y solo si, para cada artículo${\displaystyle z}$:

${\displaystyle |\{x\in X|x\succeq z\}|\leq |\{y\in Y|y\succeq z\}|}$

La extensión AU se basa en la noción de una función de utilidad aditiva .

Muchas funciones de utilidad diferentes son compatibles con un ordenamiento dado. Por ejemplo, el ordenamiento${\displaystyle w\prec x\prec y\prec z}$Es compatible con las siguientes funciones de utilidad:

${\displaystyle u_{1}(w)=0,u_{1}(x)=2,u_{1}(y)=4,u_{1}(z)=7}$

${\displaystyle u_{2}(w)=0,u_{2}(x)=2,u_{2}(y)=4,u_{2}(z)=5}$

Suponiendo que los artículos son independientes, la función de utilidad en los conjuntos es aditiva, por lo que la utilidad de un conjunto es la suma de las utilidades de sus artículos, por ejemplo:

${\displaystyle u_{1}(\{w,x\})=2,u_{1}(\{w,z\})=7,u_{1}(\{x,y\})=6}$

${\displaystyle u_{2}(\{w,x\})=2,u_{2}(\{w,z\})=5,u_{2}(\{x,y\})=6}$

El paquete${\displaystyle \{w,x\}}$tiene menos utilidad que${\displaystyle \{w.z\}}$según ambas funciones de utilidad. Además, para cada función de utilidad${\displaystyle u}$Compatible con la clasificación anterior:

${\displaystyle u(\{w,x\})<u(\{w,z\})}$.

En contraste, la utilidad del paquete${\displaystyle \{w,z\}}$puede ser menor o mayor que la utilidad de${\displaystyle \{x,y\}}$.

Esto motiva la siguiente definición:

${\displaystyle X\preceq ^{AU}Y}$si y solo si, para cada función de utilidad aditiva${\displaystyle u}$compatible con${\displaystyle \preceq }$:

${\displaystyle u(X)\leq u(Y)}$

• ${\displaystyle X\preceq ^{SD}Y}$implica${\displaystyle X\preceq ^{RS}Y}$. ^{[ 1 ]}
• ${\displaystyle X\preceq ^{RS}Y}$y${\displaystyle X\preceq ^{PD}Y}$son equivalentes. ^{[ 1 ]}
• ${\displaystyle X\preceq ^{PD}Y}$implica${\displaystyle X\preceq ^{AU}Y}$Prueba : Si${\displaystyle X\preceq ^{PD}Y}$Luego hay una inyección${\displaystyle f:X\to Y}$de tal manera que, para todos${\displaystyle x\in X}$,${\displaystyle x\preceq f(x)}$Por lo tanto, para cada función de utilidad${\displaystyle u}$compatible con${\displaystyle \preceq }$,${\displaystyle u(x)\leq u(f(x))}$. Por lo tanto, si${\displaystyle u}$es aditivo, entonces${\displaystyle u(X)\leq u(Y)}$. ^{[ 1 ]}
• Se sabe que${\displaystyle \preceq ^{AU}}$y${\displaystyle \preceq ^{SD}}$son equivalentes, véase por ejemplo ^{[ 3 ]}

Por lo tanto, las cuatro extensiones${\displaystyle \preceq ^{RS}}$y${\displaystyle \preceq ^{PD}}$y${\displaystyle \preceq ^{SD}}$y${\displaystyle \preceq ^{AU}}$son todos equivalentes.