Conjetura de restricción

En análisis armónico , la conjetura de restricción , también conocida como conjetura de restricción de Fourier , es una conjetura sobre el comportamiento de la transformada de Fourier en hipersuperficies curvas. ^{[ 1 ] [ 2 ]} Fue planteada por primera vez por Elias Stein . ^{[ 3 ]} La conjetura afirma que dos condiciones necesarias para resolver un problema conocido como problema de restricción en ese escenario también son suficientes. ^{[ 2 ] [ 3 ]}

La conjetura de restricción está estrechamente relacionada con la conjetura de Kakeya , la conjetura de Bochner-Riesz y la conjetura de suavizado local . ^{[ 4 ] [ 5 ]}

La conjetura de restricción afirma que${\textstyle \|{\widehat {g\,d\sigma }}\|_{L^{q}(\mathbb {R} ^{n})}\lesssim \|g\|_{L^{p}(S^{n-1})}}$para ciertos q y n , donde${\textstyle \|f\|_{L^{p}}}$representa la norma L ^p , o${\textstyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)^{p}\,dx}$y${\textstyle f\lesssim g}$significa que${\textstyle f\leq Cg}$por alguna constante${\textstyle C}$. ^{[ 6 ]}

Los requisitos de q y n establecidos por la conjetura son que${\displaystyle {\frac {1}{q}}<{\frac {n-1}{2n}}}$y${\displaystyle {\frac {1}{q}}\leq {\frac {n-1}{n+1}}{\frac {1}{p}}}$. ^{[ 6 ]}

La conjetura de restricción ha sido probada para dimensión${\textstyle n=2}$a partir de 2021. ^{[ 6 ]}