equivalencia de ingresos

La equivalencia de ingresos es un concepto de la teoría de subastas que establece que, dadas ciertas condiciones, cualquier mecanismo que dé como resultado los mismos resultados (es decir, que asigne artículos a los mismos postores) también tendrá los mismos ingresos esperados.

Notación

Hay un conjunto $X$ de posibles resultados.

Hay $n$ agentes que tienen diferentes valoraciones para cada resultado. La valoración del agente $i$ (también llamado su "tipo") se representa como una función:

v_{i}:X\longrightarrow R_{\geq 0}

que expresa el valor que tiene para cada alternativa, en términos monetarios.

Los agentes tienen funciones de utilidad cuasilineales ; esto significa que, si el resultado es $x$ y además el agente recibe un pago $p_{i}$ (positivo o negativo), entonces la utilidad total del agente $i$ es:

u_{i}:=v_{i}(x)+p_{i}

El vector de todas las funciones de valor se denota por $v$ .

Por cada agente $i$ , el vector de todas las funciones de valor de los demás agentes se denota por $v_{-i}$ . Entonces ${\ Displaystyle v \ equiv (v_ {i}, v_ {-i})}$ .

Un mecanismo es un par de funciones:

Un $Resultado$ función que toma como entrada el vector de valores $v$ y devuelve un resultado $x\in X$ (también se la denomina función de elección social );
A $Pago$ función que toma como entrada el vector de valores $v$ y devuelve un vector de pagos, $(p_{1},\dots ,p_{n})$ , determinando cuánto debe recibir cada jugador (un pago negativo significa que el jugador debe pagar una cantidad positiva).

Los tipos de los agentes son variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas . Por lo tanto, un mecanismo induce un juego bayesiano en el que la estrategia de un jugador es su tipo declarado en función de su tipo verdadero. Se dice que un mecanismo es compatible con el sistema de incentivos bayesiano-Nash si existe un equilibrio de Nash bayesiano en el que todos los jugadores declaran su tipo verdadero.

Declaración

Bajo estos supuestos, el teorema de equivalencia de ingresos establece lo siguiente: ^{[ 1 ]}^{: 236–237}

Para cualesquiera dos mecanismos compatibles con el incentivo bayesiano-nash, si:

El $Resultado$ La función es la misma en ambos mecanismos, y:
Para algún tipo $v_{i}^{0}$ , el pago esperado del jugador $i$ (promediado en función de los tipos de los otros jugadores) es el mismo en ambos mecanismos;
La valoración de cada jugador se obtiene de un conjunto conectado por caminos ,

entonces:

Los pagos esperados de todo tipo son los mismos en ambos mecanismos y, por lo tanto:
Los ingresos previstos (- suma de los pagos) son los mismos en ambos mecanismos.

Ejemplo

Un ejemplo clásico es el par de mecanismos de subasta: subasta de primer precio y subasta de segundo precio . La subasta de primer precio tiene una variante compatible con el incentivo bayesiano de Nash; la subasta de segundo precio es compatible con el incentivo de estrategia dominante, que es incluso más fuerte que la compatibilidad con el incentivo bayesiano de Nash. Los dos mecanismos cumplen las condiciones del teorema porque:

El $Resultado$ La función es la misma en ambos mecanismos: el mejor postor gana el artículo; y:
Un jugador que valora el artículo como 0 siempre paga 0 en ambos mecanismos.

En efecto, el pago previsto para cada jugador es el mismo en ambas subastas, y los ingresos del subastador también son los mismos; consulte la página sobre subastas a sobre cerrado al primer precio para obtener más detalles.

Equivalencia de los mecanismos de subasta en subastas de artículos individuales

De hecho, podemos usar la equivalencia de ingresos para demostrar que muchos tipos de subastas son equivalentes en términos de ingresos. Por ejemplo, la subasta de primer precio, la subasta de segundo precio y la subasta de pago total son equivalentes en términos de ingresos cuando los postores son simétricos (es decir, sus valoraciones son independientes e idénticamente distribuidas).

Subasta de segundo precio

Consideremos la subasta de segundo precio de un solo artículo , en la que el jugador con la puja más alta paga la segunda puja más alta. Es óptimo para cada jugador. $i$ para ofertar su propio valor $b_{i}=v_{i}$ .

Suponer $i$ gana la subasta y paga la segunda oferta más alta, o $\max _{j\neq i}b_{j}$ Los ingresos de esta subasta son simplemente $\max _{j\neq i}b_{j}$ .

Subasta de primer precio

En la subasta de primer precio , donde el jugador con la oferta más alta simplemente paga su oferta, si todos los jugadores pujan utilizando una función de puja $b(v)=E(\max _{j\neq i}v_{j}~|~v_{j}\leq v~\forall ~j),$ Este es un equilibrio de Nash.

En otras palabras, si cada jugador puja de tal manera que puja el valor esperado de la segunda puja más alta, suponiendo que la suya fue la más alta, entonces ningún jugador tiene incentivos para desviarse. Si esto fuera cierto, entonces es fácil ver que los ingresos esperados de esta subasta también son $\max _{j\neq i}b_{j}$ si $i$ gana la subasta.

Prueba

Para demostrar esto, supongamos que un jugador 1 realiza una oferta $b(z)$ dónde $z<v$ , efectivamente fanfarroneando que su valor es $z$ en vez de $v$ Queremos encontrar un valor de $z$ de manera que se maximice la ganancia esperada del jugador.

La probabilidad de ganar es entonces $Pr(\max _ {i>1}v_ {i}<z)$ El costo previsto de esta oferta es $E(\max _{i>1}v_{i}~|~v_{i}<z~\forall ~i)$ Entonces, la recompensa esperada de un jugador es

Pr(\max _{i>1}v_{i}<z)(vE(\max _{i>1}v_{i}~|~v_{i}<z~\forall ~i))

Dejar $X=\max _{i>1}v_{i}$ , una variable aleatoria. Entonces podemos reescribir lo anterior como

Pr(X<z)(vE(X~|X\leq z))

.

Utilizando el hecho general de que $E(X~|~X\leq z)\cdot Pr(X<z)=\int _{0}^{z}Pr(X<z)-Pr(X<y)dy$ , podemos reescribir lo anterior como

Pr(X<z)\cdot v-Pr(X<z)\cdot z+\int _{0}^{z}Pr(X<y)dy

.

Tomar derivadas con respecto a $z$ , obtenemos

Pr(X<z)'(vz)=0\Rightarrow v=z

.

Por lo tanto, puja con tu valor. $v$ maximiza la recompensa esperada del jugador. Dado que $Pr(X<z)$ es monótona creciente, verificamos que este es efectivamente un punto máximo.

Subasta inglesa

En la subasta abierta de precio ascendente (también conocida como subasta inglesa ), la estrategia dominante del comprador consiste en permanecer en la subasta hasta que el precio de venta sea igual a su valor. Si es el último en participar, gana y paga la segunda oferta más alta.

Consideremos el caso de dos compradores, cada uno con un valor que es una extracción independiente de una distribución con soporte [0,1], función de distribución acumulativa F(v) y función de densidad de probabilidad f(v). Si los compradores se comportan de acuerdo con sus estrategias dominantes, entonces un comprador con valor v gana si el valor x de su oponente es menor. Por lo tanto, su probabilidad de ganar es

w=\Pr\{x<v\}\equiv F(v)

y su pago esperado es

C(v)=\int \limits _{0}^{v}{}xf(x)dx

El pago esperado condicionado a ganar es, por lo tanto,

e(v)={\frac {C(v)}{F(v)}}={\frac {\int \limits _{0}^{v}{}xf(x)dx}{F(v)}}

Multiplicando ambos lados por F(v) y derivando por v se obtiene la siguiente ecuación diferencial para e(v).

{e}'(v)F(v)+e(v)f(v)=vf(v)

.

Reorganizando esta ecuación,

{e}'(v)={\frac {f(v)}{F(v)}}(ve(v))

Sea B(v) la función de oferta de equilibrio en la subasta sellada de primer precio. Demostramos la equivalencia de ingresos al mostrar que B(v)=e(v), es decir, que el pago de equilibrio del ganador en una subasta es igual al pago esperado de equilibrio del ganador en la otra.

Supongamos que un comprador tiene un valor v y puja b. Su oponente puja según la estrategia de puja de equilibrio. El soporte de la distribución de pujas del oponente es [0, B(1)]. Por lo tanto, cualquier puja de al menos B(1) gana con probabilidad 1. En consecuencia, la mejor puja b se encuentra en el intervalo [0, B(1)] y podemos escribir esta puja como b = B(x), donde x se encuentra en [0, 1]. Si el oponente tiene un valor y, puja B(y). Por lo tanto, la probabilidad de ganar es

w=\Pr\{b<B(y)\}=\Pr\{B(x)<B(y)\}=\Pr\{x<y\}=F(v)

.

La ganancia esperada del comprador es su probabilidad de ganar multiplicada por su ganancia neta si gana, es decir,

U=w(v-B(x))=F(x)(v-B(x))

.

Derivando, la condición necesaria para un máximo es

{U}'(x)=f(x)(v-B(x))-F(x){B}'(x)=F(x)\left({\frac {f(x)}{F(x)}}(v-B(x))-{B}'(x)\right)=0

.

Es decir, si B(x) es la mejor respuesta del comprador, debe satisfacer esta condición de primer orden. Finalmente, observamos que para que B(v) sea la función de oferta de equilibrio, la mejor respuesta del comprador debe ser B(v). Por lo tanto, x=v. Sustituyendo x en la condición necesaria,

{\frac {f(v)}{F(v)}}(v-B(v))-{B}'(v)=0

.

Nótese que esta ecuación diferencial es idéntica a la de e(v). Dado que e(0)=B(0)=0, se deduce que $B(v)=e(v)$ .

Utilizar la equivalencia de ingresos para predecir las funciones de licitación

Podemos utilizar la equivalencia de ingresos para predecir la función de puja de un jugador en un juego. Consideremos la versión de dos jugadores de la subasta de segundo precio y la subasta de primer precio, donde el valor de cada jugador se extrae uniformemente de $[0,1]$ .

Subasta de segundo precio

El pago esperado del primer jugador en la segunda subasta de precios se puede calcular de la siguiente manera:

E({\text{Payment}}~|~{\text{Player 1 wins}})P({\text{Player 1 wins}})+E({\text{Payment}}~|~{\text{Player 1 loses}})P({\text{Player 1 loses}})

Dado que los jugadores pujan con sinceridad en una subasta de segundo precio, podemos reemplazar todos los precios con los valores de los jugadores. Si el jugador 1 gana, paga lo que puja el jugador 2, o $p_{2}=v_{2}$ . El jugador 1 mismo realiza la oferta $p_{1}=v_{1}$ . Dado que el pago es cero cuando el jugador 1 pierde, lo anterior es

E(v_{2}~|~v_{2}<v_{1})P(v_{2}<v_{1})+0

Desde $v_{1},v_{2}$ provienen de una distribución uniforme, podemos simplificar esto a

{\frac {v_{1}}{2}}\cdot v_{1}={\frac {v_{1}^{2}}{2}}

Subasta de primer precio

Podemos utilizar la equivalencia de ingresos para generar la función de puja simétrica correcta en la subasta de primer precio. Supongamos que en la subasta de primer precio, cada jugador tiene la función de puja $b(v)$ , donde esta función es desconocida en este punto.

El pago esperado del jugador 1 en este juego es entonces

E({\text{Payment}}~|~{\text{Player 1 wins}})P({\text{Player 1 wins}})+E({\text{Payment}}~|~{\text{Player 1 loses}})P({\text{Player 1 loses}})

(como se indicó anteriormente)

Ahora, un jugador simplemente paga lo que el otro jugador puja, y supongamos que los jugadores con valores más altos aún ganan, de modo que la probabilidad de ganar es simplemente el valor de un jugador, como en la subasta de segundo precio. Más adelante demostraremos que esta suposición era correcta. Nuevamente, un jugador no paga nada si pierde la subasta. Entonces obtenemos

b(v_{1})\cdot v_{1}+0

Según el principio de equivalencia de ingresos, podemos igualar esta expresión a los ingresos de la subasta de segundo precio que calculamos anteriormente:

b(v_{1})\cdot v_{1}={\frac {v_{1}^{2}}{2}}

A partir de esto, podemos inferir la función de puja:

b(v_{1})={\frac {v_{1}}{2}}

Nótese que, con esta función de puja, el jugador con la puja más alta sigue ganando. Podemos demostrar que esta es la función de puja de equilibrio correcta de otra manera, analizando cómo un jugador debería maximizar su puja dado que todos los demás jugadores están pujando utilizando esta función. Véase la página sobre subastas selladas de primer precio .

Subastas de pago único

De manera similar, sabemos que el pago esperado del jugador 1 en la subasta de segundo precio es ${\frac {v_{1}^{2}}{2}}$ y esto debe ser igual al pago esperado en la subasta de pago total , es decir

{\frac {v_{1}^{2}}{2}}=b(v_{1})

Por lo tanto, la función de puja para cada jugador en la subasta de pago total es ${\frac {v^{2}}{2}}$

Trascendencia

Una implicación importante del teorema es que cualquier subasta de un solo artículo que se adjudique incondicionalmente al mejor postor tendrá los mismos ingresos esperados. Esto significa que, si queremos aumentar los ingresos del subastador, debemos modificar la función de resultados. Una forma de hacerlo es establecer un precio de reserva para el artículo. Esto cambia la función de resultados, ya que ahora el artículo no siempre se adjudica al mejor postor. Al seleccionar cuidadosamente el precio de reserva, un subastador puede obtener ingresos esperados sustancialmente mayores. ^{[ 1 ]}^{: 237}

Limitaciones

El teorema de equivalencia de ingresos se rompe en algunos casos importantes: ^{[ 1 ]}^{: 238–239}

Cuando los jugadores son reacios al riesgo en lugar de neutrales al riesgo, como se supuso anteriormente. En este caso, se sabe que las subastas de primer precio generan más ingresos que las de segundo precio.
Cuando las valoraciones de los jugadores son interdependientes, por ejemplo, si dependen de algún estado del mundo que los postores solo conocen parcialmente (esto se relaciona con la maldición del ganador ), la subasta inglesa genera más ingresos que la subasta de segundo precio, ya que permite a los postores obtener información de las ofertas de los demás jugadores.

Referencias

^ Vazirani , Vijay V .; Nisán, Noam ; Jardín áspero, Tim ; Tardos, Éva (2007). Teoría algorítmica de juegos (PDF) . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 0-521-87282-0.

Hartline, Jason, Aproximación en el diseño económico (PDF).

[agt07-1] Vazirani , Vijay V .; Nisán, Noam ; Jardín áspero, Tim ; Tardos, Éva (2007). Teoría algorítmica de juegos (PDF) . Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 0-521-87282-0.

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