Configuración de Reye

En geometría , la configuración de Reye , introducida por Theodor Reye ( 1882 ) , es una configuración de 12 puntos y 16 rectas . Cada punto de la configuración pertenece a cuatro rectas, y cada recta contiene tres puntos. Por lo tanto, en la notación de configuraciones, la configuración de Reye se escribe como 12 ₄ 16 _3. Es simétrica (tanto los puntos como las rectas son transitivos) y tiene 576 automorfismos. 

La configuración de Reye se puede realizar en el espacio proyectivo tridimensional tomando como líneas las 12 aristas y las cuatro diagonales largas de un cubo , y como puntos los ocho vértices del cubo, su centro y los tres puntos donde grupos de cuatro aristas paralelas del cubo se encuentran con el plano en el infinito. Dos tetraedros regulares pueden inscribirse dentro de un cubo, formando una stella octangula ; estos dos tetraedros son figuras en perspectiva entre sí de cuatro maneras diferentes, y los otros cuatro puntos de la configuración son sus centros de perspectiva. Estos dos tetraedros, junto con el tetraedro de los 4 puntos restantes, forman un sistema désmico de tres tetraedros.

Dos esferas disjuntas cualesquiera en el espacio tridimensional, con radios diferentes, tienen dos conos dobles bitangentes , cuyos vértices se denominan centros de similitud. Si se dan tres esferas con centros no colineales, sus seis centros de similitud forman los seis puntos de un cuadrilátero completo , cuyas cuatro líneas se denominan ejes de similitud. Y si se dan cuatro esferas con centros no coplanares, determinan 12 centros de similitud y 16 ejes de similitud, que en conjunto forman una instancia de la configuración de Reye. ^{[ 1 ]}

La configuración de Reye también puede realizarse mediante puntos y líneas en el plano euclidiano , dibujando la configuración tridimensional en perspectiva de tres puntos . Una configuración 8 ₃ 12 ₂ de ocho puntos en el plano proyectivo real y 12 líneas que los conectan, con el patrón de conexión de un cubo, puede extenderse para formar la configuración de Reye si y solo si los ocho puntos son una proyección en perspectiva de un paralelepípedo . ^{[ 2 ]}

Las 24 permutaciones de los puntos${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,0,0)}$ forman los vértices de una celda de 24 lados centrada en el origen del espacio euclidiano de cuatro dimensiones. Estos 24 puntos también forman las 24 raíces del sistema radicular.${\displaystyle D_{4}}$Se pueden agrupar en pares de puntos opuestos entre sí en una línea que pasa por el origen. Las 12 líneas de los ejes se pueden agrupar en 16 tríos que se encuentran en el mismo plano central de la celda de 24 lados. Cada plano central interseca 6 vértices formando un hexágono regular. Cuatro hexágonos se intersecan en cada vértice de la celda de 24 lados. Las 12 líneas de los ejes y los 16 planos hexagonales de la celda de 24 lados corresponden a los 12 puntos y 16 líneas de la configuración de Reye. ^{[ 3 ]}

Las líneas y planos que pasan por el origen del espacio euclidiano de cuatro dimensiones tienen la geometría de los puntos y líneas del espacio proyectivo tridimensional , y en este espacio proyectivo tridimensional las líneas que pasan por pares opuestos de estos 24 puntos y los planos centrales que pasan por estos puntos se convierten en los puntos y líneas de la configuración de Reye. ^{[ 4 ]} Las permutaciones de${\displaystyle (\pm 1,\pm 1,0,0)}$forme las coordenadas homogéneas de los 12 puntos en esta configuración.

Aravind (2000) señaló que la configuración de Reye subyace a algunas de las demostraciones del teorema de Bell-Kochen-Specker sobre la no existencia de variables ocultas en mecánica cuántica. ^{[ 3 ]}

La configuración de Pappus puede formarse a partir de dos triángulos que son figuras en perspectiva entre sí de tres maneras diferentes, de forma análoga a la interpretación de la configuración de Reye que involucra tetraedros désmicos.

Si la configuración de Reye se forma a partir de un cubo en el espacio tridimensional, entonces hay 12 planos que contienen cuatro líneas cada uno: los seis planos de las caras del cubo y los seis planos que pasan por pares de aristas opuestas del cubo. La intersección de estos 12 planos y 16 líneas con otro plano en posición general produce una configuración 16 ₃ 12 ₄ , la dual de la configuración de Reye. La configuración original de Reye y su dual juntas forman una configuración 28 ₄ 28 _4. ^{[ 5 ]}

Hay 574 configuraciones distintas del tipo 12 ₄ 16 ₃ . ^{[ 6 ]}

• Aravind, PK (2000), "Cómo la configuración de Reye ayuda a demostrar el teorema de Bell-Kochen-Specker: un curioso relato geométrico" (PDF) , Foundations of Physics Letters , 13 (6): 499–519 , doi : 10.1023/A:1007863413622 , MR 1814009 
• Berger, Marcel (2010), Geometría revelada , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-540-70997-8 , ISBN 978-3-540-70996-1, MR 2724440 
• Betten, Anton; Betten, Dieter (2005), "Más sobre espacios lineales regulares" (PDF) , Journal of Combinatorial Designs , 13 (6): 441–461 , doi : 10.1002/jcd.20055 , MR 2221852 .
• Grünbaum, Branko ; Rigby, JF (1990), "La configuración real (21 ₄ )", Journal of the London Mathematical Society , Segunda Serie, 41 (2): 336– 346, doi : 10.1112/jlms/s2-41.2.336 , MR 1067273 .
• Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan ( 1952), "22. La configuración de Reye", Geometría y la imaginación (2.ª  ed.), Nueva York: Chelsea, págs. 134–143 Véase también las páginas  154-157.
• Manivel, L. (2006), "Configuraciones de líneas y modelos de álgebras de Lie", Journal of Algebra , 304 (1): 457– 486, arXiv : math/0507118 , doi : 10.1016/j.jalgebra.2006.04.029 , MR 2256401 Véase en particular la sección 2.1, "La configuración de Reye y la trialidad", págs.  460-461.
• Reye, Th. (1882), "Das Problem der Configurationen", Acta Mathematica (en alemán), 1 (1): 93– 96, doi : 10.1007/BF02391837 , MR 1554576 .
• Servacio, Brigitte ; Servatius, Herman (2010), "La configuración generalizada de Reye", Ars Mathematica Contemporanea , 3 (1): 21– 27, doi : 10.26493/1855-3974.108.423 , MR 2592512 .