Modelo de la ecuación de tensiones de Reynolds

El modelo de ecuaciones de tensión de Reynolds ( RSM ), también conocido como cierre de segundo momento, es el modelo de turbulencia clásico más completo . En estos modelos, se evita la hipótesis de viscosidad turbulenta y se calculan directamente los componentes individuales del tensor de tensión de Reynolds. Estos modelos utilizan la ecuación exacta de transporte de tensión de Reynolds para su formulación. Consideran los efectos direccionales de las tensiones de Reynolds y las interacciones complejas en flujos turbulentos. Los modelos de tensión de Reynolds ofrecen una precisión significativamente mayor que los modelos de turbulencia basados ​​en viscosidad turbulenta, a la vez que son computacionalmente más económicos que las simulaciones numéricas directas (DNS) y las simulaciones de grandes remolinos (LED) .

Modelos basados ​​en la viscosidad de remolino como el${\displaystyle k-\epsilon }$y el${\displaystyle k-\omega }$Los modelos presentan deficiencias significativas en flujos turbulentos complejos y reales. Por ejemplo, en flujos con curvatura de las líneas de corriente, separación del flujo , zonas de recirculación o influenciados por efectos rotacionales medios, el rendimiento de estos modelos es insatisfactorio.

Los cierres basados ​​en una o dos ecuaciones no pueden explicar el retorno a la isotropía de la turbulencia, ^{[ 1 ]} observado en flujos turbulentos en descomposición. Los modelos basados ​​en la viscosidad de remolino no pueden replicar el comportamiento de los flujos turbulentos en el límite de distorsión rápida, ^{[ 2 ]} donde el flujo turbulento se comporta esencialmente como un medio elástico (en lugar de viscoso).

Los modelos de la ecuación de tensión de Reynolds se basan en la ecuación de transporte de tensión de Reynolds. La ecuación para el transporte de tensión cinemática de Reynolds${\displaystyle R_{ij}=\langle u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }\rangle =-\tau _{ij}/\rho }$ es ^{[ 3 ]}

${\displaystyle {\frac {DR_{ij}}{Dt}}=D_{ij}+P_{ij}+\Pi _{ij}+\Omega _{ij}-\varepsilon _{ij}}$

Tasa de cambio de${\displaystyle R_{ij}}$+ Transporte de${\displaystyle R_{ij}}$por convección = Transporte de${\displaystyle R_{ij}}$por difusión + Tasa de producción de${\displaystyle R_{ij}}$+ Transporte de${\displaystyle R_{ij}}$debido a interacciones turbulentas de presión-deformación + Transporte de${\displaystyle R_{ij}}$debido a la rotación + Tasa de disipación de${\displaystyle R_{ij}}$.

Las seis ecuaciones diferenciales parciales anteriores representan seis tensiones de Reynolds independientes . Mientras que el término de producción (${\displaystyle P_{ij}}$) está cerrado y no requiere modelado, los otros términos, como la correlación de deformación por presión (${\displaystyle \Pi _{ij}}$) y disipación (${\displaystyle \varepsilon _ {ij}}$), no están cerrados y requieren modelos de cierre.

El término de producción que se utiliza en los cálculos de CFD con ecuaciones de transporte de esfuerzos de Reynolds es

${\displaystyle P_{ij}=-\left(R_{im}{\frac {\partial U_{j}}{\partial x_{m}}}+R_{jm}{\frac {\partial U_{i}}{\partial x_{m}}}\right)}$

Físicamente, el término de producción representa la acción de los gradientes de velocidad media que se oponen a las tensiones de Reynolds. Esto explica la transferencia de energía cinética del flujo medio al campo de velocidad fluctuante. Es responsable de mantener la turbulencia en el flujo mediante esta transferencia de energía desde los movimientos medios a gran escala a los movimientos fluctuantes a pequeña escala.

Este es el único término cerrado en las ecuaciones de transporte de esfuerzos de Reynolds. No requiere modelos para su evaluación directa. Todos los demás términos en las ecuaciones de transporte de esfuerzos de Reynolds no están cerrados y requieren modelos de cierre para su evaluación.

El término de correlación rápida presión-deformación redistribuye la energía entre los componentes de las tensiones de Reynolds. Esto depende del gradiente de velocidad media y de la rotación de los ejes de coordenadas. Físicamente, esto surge debido a la interacción entre el campo de velocidad fluctuante y el campo del gradiente de velocidad media. La forma lineal más simple de la expresión del modelo es

${\displaystyle {\frac {\Pi _{ij}^{R}}{k}}=C_{2}S_{ij}+C_{3}\left(b_{ik}S_{jk}+b_{jk}S_{ik}-{\frac {2}{3}}b_{mn}S_{mn}\delta _{ij}\right)+C_{4}\left(b_{ik}W_{jk}+b_{jk}W_{ik}\right)}$

Aquí${\displaystyle b_{ij}={\frac {\overline {u_{i}u_{j}}}{2k}}-{\frac {\delta _{ij}}{3}}}$es el tensor de anisotropía de tensión de Reynolds,${\displaystyle S_{ij}}$es el término de tasa de deformación para el campo de velocidad media y${\displaystyle W_{ij}}$es el término de tasa de rotación para el campo de velocidad media. Por convención,${\ Displaystyle C_ {2}, C_ {3}, C_ {4}}$son los coeficientes del modelo de correlación de deformación por presión rápida. Existen muchos modelos diferentes para el término de correlación de deformación por presión rápida que se utilizan en simulaciones. Estos incluyen el modelo de Launder-Reece-Rodi, ^{[ 4 ]} el modelo de Speziale-Sarkar-Gatski, ^{[ 5 ]} el modelo de Hallback-Johanssen, ^{[ 6 ]} el modelo de Mishra-Girimaji, ^{[ 7 ]} el modelo no local, ^{[ 8 ]} y otros.

El término de correlación presión-deformación lenta redistribuye la energía entre las tensiones de Reynolds. Esto es responsable del retorno a la isotropía de la turbulencia en descomposición, donde redistribuye la energía para reducir la anisotropía en las tensiones de Reynolds. Físicamente, este término se debe a las autointeracciones entre el campo fluctuante. La expresión del modelo para este término se da como ^{[ 9 ].}

${\displaystyle \Pi _{ij}^{S}=-C_{1}{\frac {\varepsilon }{k}}\left(R_{ij}-{\frac {2}{3}}k\delta _{ij}\right)-C_{2}\left(P_{ij}-{\frac {2}{3}}P\delta _{ij}\right)}$

Existen muchos modelos diferentes para el término de correlación de deformación por presión lenta que se utilizan en simulaciones. Estos incluyen el modelo de Rotta ^{[ 10 ]} , el modelo de Speziale-Sarkar ^{[ 11 ]} , además de otros.

El modelado tradicional del tensor de tasa de disipación${\displaystyle \varepsilon _{\rm {ij}}}$Se supone que los pequeños vórtices disipativos son isotrópicos. En este modelo, la disipación solo afecta a las tensiones normales de Reynolds . ^{[ 12 ]}

${\displaystyle \varepsilon _{\rm {ij}}={\frac {2}{3}}\varepsilon \delta _{ij}}$o${\displaystyle e_{\rm {ij}}=0}$

dónde${\displaystyle \varepsilon }$es la tasa de disipación de la energía cinética turbulenta,${\displaystyle \delta _{ij}=1}$cuando i = j y 0 cuando i ≠ j y${\displaystyle e_{\rm {ij}}}$es la anisotropía de la tasa de disipación definida como${\displaystyle e_{ij}={\frac {\varepsilon _{ij}}{\varepsilon }}-{\frac {2\delta _{ij}}{3}}}$.

Sin embargo, como lo han demostrado, por ejemplo, Rogallo, ^{[ 13 ]} Schumann y Patterson, ^{[ 14 ]} Uberoi, ^{[ 15 ] [ 16 ]} Lee y Reynolds ^{[ 17 ]} y Groth, Hallbäck y Johansson ^{[ 18 ]} existen muchas situaciones en las que este modelo simple del tensor de tasa de disipación es insuficiente debido a que incluso los pequeños vórtices disipativos son anisotrópicos. Para tener en cuenta esta anisotropía en el tensor de tasa de disipación, Rotta ^{[ 19 ]} propuso un modelo lineal que relaciona la anisotropía del tensor de tensión de tasa de disipación con la anisotropía del tensor de tensión.

${\displaystyle \varepsilon _{\rm {ij}}={\frac {2}{3}}\varepsilon \delta _{ij}}$o${\displaystyle e_{\rm {ij}}=\sigma a_{ij}}$

dónde${\displaystyle a_{ij}={\frac {\overline {u_{i}u_{j}}}{k}}-{\frac {2\delta _{ij}}{3}}=2b_{ij}}$.

El parámetro${\displaystyle \sigma }$Se supone que es una función del número de Reynolds turbulento , la tasa de deformación media , etc. Las consideraciones físicas implican que${\displaystyle \sigma }$debería tender a cero cuando el número de Reynolds turbulento tiende a infinito y a la unidad cuando el número de Reynolds turbulento tiende a cero. Sin embargo, la condición de realizabilidad fuerte implica que${\displaystyle \sigma }$debe ser idénticamente igual a 1.

Basándose en extensos experimentos físicos y numéricos (DNS y EDQNM) en combinación con una fuerte adhesión a las limitaciones físicas y matemáticas fundamentales y las condiciones de contorno, Groth, Hallbäck y Johansson propusieron un modelo mejorado para el tensor de tasa de disipación. ^{[ 20 ]}

${\displaystyle e_{\rm {ij}}=\left[1+\alpha \left({\frac {II_{a}}{2}}-{\frac {2}{3}}\right)\right]a_{ij}-\alpha \left(a_{\rm {ik}}a_{\rm {kj}}-{\frac {1}{3}}II_{a}\delta _{\rm {ij}}\right)}$

dónde${\displaystyle II_{a}=a_{\rm {ij}}a_{\rm {ji}}}$es el segundo invariante del tensor${\displaystyle a_{\rm {ij}}}$y${\displaystyle \alpha }$es un parámetro que, en principio, podría depender del número de Reynolds turbulento, del parámetro de tasa de deformación media, etc.

Sin embargo, Groth, Hallbäck y Johansson utilizaron la teoría de distorsión rápida para evaluar el valor límite de${\displaystyle \alpha }$que resulta ser 3/4. ^{[ 21 ] [ 22 ]} Usando este valor, el modelo fue probado en simulaciones DNS de cuatro flujos turbulentos homogéneos diferentes. Aunque los parámetros en el modelo de tasa de disipación cúbica se fijaron mediante el uso de realizabilidad y RDT antes de las comparaciones con los datos DNS, la concordancia entre el modelo y los datos fue muy buena en los cuatro casos.

La principal diferencia entre este modelo y el lineal es que cada componente de${\displaystyle e_{\rm {ij}}}$está influenciado por el estado anisotrópico completo. El beneficio de este modelo cúbico es evidente a partir del caso de una deformación plana irrotacional en la que el componente longitudinal de${\displaystyle a_{\rm {ij}}}$es cercano a cero para velocidades de deformación moderadas, mientras que el componente correspondiente de${\displaystyle e_{\rm {ij}}}$No lo es. Tal comportamiento no puede describirse mediante un modelo lineal. ^{[ 23 ]}

El modelado del término de difusión${\displaystyle D_{ij}}$Se basa en la suposición de que la tasa de transporte de tensiones de Reynolds por difusión es proporcional a los gradientes de tensiones de Reynolds . Esta es una aplicación del concepto de la hipótesis de difusión de gradiente para modelar el efecto de la redistribución espacial de las tensiones de Reynolds debido al campo de velocidad fluctuante. La forma más simple de${\displaystyle D_{ij}}$que es seguido por los códigos CFD comerciales es

${\displaystyle D_{ij}={\frac {\partial }{\partial x_{m}}}\left({\frac {v_{t}}{\sigma _{k}}}{\frac {\partial R_{ij}}{\partial x_{m}}}\right)=\operatorname {div} \left({\frac {v_{t}}{\sigma _{k}}}\nabla (R_{ij})\right)}$

dónde${\displaystyle \upsilon _{t}=C_{\mu }{\frac {k^{2}}{\varepsilon }}}$,${\displaystyle \sigma _{k}=1.0}$y${\displaystyle C_{\mu }=0.09}$.

El término rotacional se da como ^{[ 24 ]}

${\displaystyle \Omega _{ij}=-2\omega _{k}\left(R_{jm}e_{ikm}+R_{im}e_{jkm}\right)}$

aquí${\displaystyle \omega _{k}}$es el vector de rotación ,${\displaystyle e_{ijk}}$=1 si i,j,k están en orden cíclico y son diferentes,${\displaystyle e_{ijk}}$=-1 si i,j,k están en orden anticíclico y son diferentes y ${\displaystyle e_{ijk}}$=0 en caso de que dos índices cualesquiera sean iguales.

1) A diferencia del modelo k-ε, que utiliza una viscosidad turbulenta isotrópica, el RSM resuelve todos los componentes del transporte turbulento. 2) Es el modelo de turbulencia más general y funciona razonablemente bien para una gran cantidad de flujos de ingeniería. 3) Solo requiere que se proporcionen las condiciones iniciales y/o de contorno . 4) Dado que no es necesario modelar los términos de producción, puede amortiguar selectivamente las tensiones debidas a la flotabilidad , los efectos de curvatura, etc.

• Esfuerzo de Reynolds
• Isotropía
• Modelado de turbulencia
• Remolino
• modelo de turbulencia k-epsilon

• modelo de turbulencia k-epsilon
• Modelo de longitud de mezcla

• "Flujos turbulentos", SB Pope, Cambridge University Press (2000).
• "Modelado de la turbulencia en la ingeniería y el medio ambiente: rutas de cierre de segundo momento", Kemal Hanjalić y Brian Launder, Cambridge University Press (2011).