Álgebra de Hopf de cinta

Álgebra de Hopf de cinta${\displaystyle (A,\nabla,\eta,\Delta,\varepsilon,S,{\mathcal {R}},\nu)}$es un álgebra de Hopf cuasitriangular que posee un elemento central invertible${\displaystyle \nu }$más comúnmente conocido como elemento de cinta, de modo que se cumplan las siguientes condiciones:

${\displaystyle \nu ^{2}=uS(u),\;S(\nu )=\nu ,\;\varepsilon (\nu )=1}$

${\displaystyle \Delta (\nu )=({\mathcal {R}}_{21}{\mathcal {R}}_{12})^{-1}(\nu \otimes \nu )}$

dónde${\displaystyle u=\nabla (S\otimes {\text{id}})({\mathcal {R}}_{21})}$. Nótese que el elemento u existe para cualquier álgebra de Hopf cuasitriangular, y ${\displaystyle uS(u)}$siempre debe ser central y satisfacer${\displaystyle S(uS(u))=uS(u),\varepsilon (uS(u))=1,\Delta (uS(u))=({\mathcal {R}}_{21}{\mathcal {R}}_{12})^{-2}(uS(u)\otimes uS(u))}$, de modo que todo lo que se requiere es que tenga una raíz cuadrada central con las propiedades anteriores.

Aquí

${\displaystyle A}$es un espacio vectorial

${\displaystyle \nabla }$es el mapa de multiplicación${\displaystyle \nabla :A\otimes A\rightarrow A}$

${\displaystyle \Delta }$es el mapa de coproductos${\displaystyle \Delta :A\rightarrow A\otimes A}$

${\displaystyle \eta }$es el operador de la unidad${\displaystyle \eta$ :\mathbb {C} \rightarrow A}

${\displaystyle \varepsilon }$es el operador de la unidad conjunta${\displaystyle \varepsilon :A\rightarrow \mathbb {C} }$

${\displaystyle S}$es el antípoda${\displaystyle S:A\rightarrow A}$

${\displaystyle {\mathcal {R}}}$es una matriz R universal

Suponemos que el campo subyacente${\displaystyle K}$es${\displaystyle \mathbb {C} }$

Si${\displaystyle A}$es de dimensión finita, se podría llamar equivalentemente Hopf de cinta si y solo si su categoría de módulos (digamos, izquierdos) es de cinta; si${\displaystyle A}$Si es de dimensión finita y cuasi-triangular, entonces es una cinta si y solo si su categoría de módulos (por ejemplo, izquierdos) es pivotante.

• Álgebra de Hopf cuasitriangular
• Álgebra cuasi-triangular cuasi-Hopf

• Altschuler, D.; Coste, A. (1992). "Grupos cuasi-cuánticos, nudos, variedades tridimensionales y teoría topológica de campos". Commun. Math. Phys. 150 (1): 83– 107. arXiv : hep-th/9202047 . Bibcode : 1992CMaPh.150...83A . doi : 10.1007/bf02096567 .
• Chari, VC; Pressley, A. (1994). A Guide to Quantum Groups . Cambridge University Press. ISBN 0-521-55884-0.
• Drinfeld, Vladimir (1989). "Álgebras cuasi-Hopf". Leningrad Math J. 1 : 1419–1457 .
• Majid, Shahn (1995). Fundamentos de la teoría cuántica de grupos . Cambridge University Press.