Álgebra cuasi-triangular cuasi-Hopf

Un álgebra cuasi-triangular de cuasi-Hopf es una forma especializada de un álgebra cuasi-Hopf definida por el matemático ucraniano Vladimir Drinfeld en 1989. También es una forma generalizada de un álgebra cuasi-triangular de Hopf .

Un álgebra cuasi-triangular cuasi-Hopf es un conjunto${\displaystyle {\mathcal {H_{A}}}=({\mathcal {A}},R,\Delta,\varepsilon,\Phi)}$dónde${\displaystyle {\mathcal {B_{A}}}=({\mathcal {A}},\Delta,\varepsilon,\Phi)}$es un álgebra cuasi-Hopf y${\displaystyle R\in {\mathcal {A\otimes A}}}$conocida como matriz R, es un elemento invertible tal que

${\displaystyle R\Delta (a)=\sigma \circ \Delta (a)R}$

a pesar de${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$, dónde${\displaystyle \sigma \colon {\mathcal {A\otimes A}}\rightarrow {\mathcal {A\otimes A}}}$es el mapa de conmutación dado por${\displaystyle x\otimes y\rightarrow y\otimes x}$, y

${\displaystyle (\Delta \otimes \operatorname {id} )R=\Phi _{231}R_{13}\Phi _{132}^{-1}R_{23}\Phi _{123}}$

${\displaystyle (\operatorname {id} \otimes \Delta )R=\Phi _{312}^{-1}R_{13}\Phi _{213}R_{12}\Phi _{123}^{-1}}$

dónde${\displaystyle \Phi _{abc}=x_{a}\otimes x_{b}\otimes x_{c}}$y${\displaystyle \Phi _{123}=\Phi =x_{1}\otimes x_{2}\otimes x_{3}\in {\mathcal {A\otimes A\otimes A}}}$.

El álgebra cuasi-Hopf se vuelve triangular si además,${\displaystyle R_{21}R_{12}=1}$.

El giro de${\displaystyle {\mathcal {H_{A}}}}$por${\displaystyle F\in {\mathcal {A\otimes A}}}$es lo mismo que para un álgebra cuasi-Hopf, con la definición adicional de la matriz R retorcida.

Un álgebra cuasi-Hopf cuasi-triangular (resp. triangular) con${\displaystyle \Phi =1}$es un álgebra de Hopf cuasi-triangular (resp. triangular) ya que las dos últimas condiciones en la definición reducen las condiciones de cuasi-triangularidad de un álgebra de Hopf.

De forma similar a las propiedades de torsión del álgebra cuasi-Hopf , la propiedad de ser un álgebra cuasi-triangular o triangular se conserva mediante la torsión.

• Álgebra de Hopf de cinta

• Vladimir Drinfeld , "Álgebras cuasi-Hopf", Revista matemática de Leningrado (1989), 1419–1457
• JM Maillet y J. Sanchez de Santos, "Drinfeld Twists and Algebraic Bethe Ansatz", American Mathematical Society Translations: Series 2 Vol. 201 , 2000