Categoría Cinta

Considere la categoría${\displaystyle \mathbf {FdVect} (\mathbb {C} )}$de espacios vectoriales de dimensión finita sobre${\displaystyle \mathbb {C} }$. Supongamos que${\displaystyle C}$es un espacio vectorial de este tipo, generado por los vectores base.${\displaystyle {\sombrero {e_{1}}},{\sombrero {e_{2}}},\cdots,{\sombrero {e_{n}}}}$. Asignamos a${\displaystyle C}$el objeto dual${\displaystyle C^{\dagger }}$generados por los vectores base${\displaystyle {\sombrero {e}}^{1},{\sombrero {e}}^{2},\cdots,{\sombrero {e}}^{n}}$. Entonces definamos

${\displaystyle {\begin{aligned}\cdot$ :\ C^{\dagger }\otimes C&\to 1\\{\hat {e}}^{i}\cdot {\hat {e_{j}}}&\mapsto {\begin{cases}1&i=j\\0&i\neq j\end{cases}}\end{aligned}}}

y su dualidad

${\displaystyle {\begin{aligned}kI_{n}:1&\to C\otimes C^{\dagger }\\k&\mapsto k\sum _{i=1}^{n}{\hat {e_{i}}}\otimes {\hat {e}}^{i}\\&={\begin{pmatrix}k&0&\cdots &0\\0&k&&\vdots \\&&\ddots &\\0&\cdots &&k\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

(lo que en gran medida equivale a asignar un valor dado${\displaystyle {\sombrero {e_{i}}}}$el dual${\displaystyle {\sombrero {e}}^{i}}$).

Entonces, efectivamente, encontramos que (por ejemplo)

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {e}}^{i}&\cong {\hat {e}}^{i}\otimes 1\\&{\underset {I_{n}}{\to }}{\hat {e}}^{i}\otimes \sum _{j=1}^{n}{\hat {e_{j}}}\otimes {\hat {e}}^{j}\\&\cong \sum _{j=1}^{n}\left({\hat {e}}^{i}\otimes {\hat {e_{j}}}\right)\otimes {\hat {e}}^{j}\\&{\underset {\cdot }{\to }}\sum _{j=1}^{n}{\begin{cases}1\otimes {\hat {e}}^{j}&i=j\\0\otimes {\sombrero {e}}^{j}&i\neq j\end{cases}}\\&=1\otimes {\hat {e}}^{i}\cong {\hat {e}}^{i}\end{aligned}}}$

y de manera similar para${\displaystyle {\sombrero {e_{i}}}}$. Dado que esta demostración se aplica a cualquier espacio vectorial de dimensión finita , hemos demostrado que nuestra estructura sobre${\displaystyle \mathbf {FdVect} }$define una categoría monoidal rígida (izquierda).

Entonces, debemos definir trenzas y torsiones de tal manera que sean compatibles. En este caso, esto hace que una esté determinada en gran medida por la otra en los números reales. Por ejemplo, si tomamos el trenzado trivial

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{C_{1},C_{2}}:C_{1}\otimes C_{2}&\to C_{2}\otimes C_{1}\\c_{C_{1},C_{2}}(a,b)&\mapsto (b,a)\end{aligned}}}$

entonces${\displaystyle c_{C_{1},C_{2}}c_{C_{2},C_{1}}=\mathrm {id} _{C_{1}\otimes C_{2}}}$, por lo que nuestro giro debe obedecer${\displaystyle \theta _{C_{1}\otimes C_{2}}=\theta _{C_{1}}\otimes \theta _{C_{2}}}$En otras palabras, debe operar elemento a elemento a través de productos tensoriales. Pero cualquier objeto${\displaystyle C\in \mathbf {FdVect} }$puede escribirse en la forma${\displaystyle C=\bigotimes _{i=1}^{n}1}$para algunos${\displaystyle n}$,${\displaystyle \theta _{C}=\bigotimes _{i=1}^{n}\theta _{1}=\bigotimes _{i=1}^{n}\mathrm {id} =\mathrm {id} _{C}}$, por lo tanto, nuestros giros también deben ser triviales.

Por otro lado, podemos introducir cualquier factor multiplicativo distinto de cero en la regla de trenzado anterior sin romper el isomorfismo (al menos en${\displaystyle \mathbb {C} }$). Tomemos como ejemplo el trenzado

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{C_{1},C_{2}}:C_{1}\otimes C_{2}&\to C_{2}\otimes C_{1}\\c_{C_{1},C_{2}}(a,b)&\mapsto i(b,a)\end{aligned}}}$

Entonces${\displaystyle c_{C_{1},C_{2}}c_{C_{2},C_{1}}=-\mathrm {id} _{C_{1}\otimes C_{2}}}$. Desde${\displaystyle \theta _{1}=\mathrm {id} }$, entonces${\displaystyle \theta _{1\otimes 1}=-\mathrm {id} _{1\otimes 1}}$; por inducción, si${\displaystyle C}$es${\displaystyle n}$-dimensional, entonces${\displaystyle \theta _{C}=(-1)^{n+1}\mathrm {id} _{C}}$.

• La categoría de módulos proyectivos sobre un anillo conmutativo . En esta categoría, la estructura monoidal es el producto tensorial , el objeto dual es el dual en el sentido del álgebra (lineal), que también es proyectivo. Las torsiones en este caso son las aplicaciones identidad .
• Un ejemplo más sofisticado de una categoría de cinta son las representaciones de dimensión finita de un grupo cuántico . ^{[ 1 ]}

La categoría de cinta de nombre está motivada por una representación gráfica de morfismos. ^{[ 2 ]}