Teorema de Ribet

El teorema de Ribet (anteriormente llamado conjetura épsilon o conjetura ε ) forma parte de la teoría de números . Trata sobre las propiedades de las representaciones de Galois asociadas a las formas modulares . Fue propuesto por Jean-Pierre Serre y demostrado por Ken Ribet . La demostración supuso un paso importante hacia la demostración del Último Teorema de Fermat (LTF). Como demostraron Serre y Ribet, la conjetura de Taniyama-Shimura (cuyo estatus no estaba resuelto en aquel momento) y la conjetura épsilon implican conjuntamente que el LTF es verdadero.

En términos matemáticos, el teorema de Ribet muestra que si la representación de Galois asociada a una curva elíptica tiene ciertas propiedades, entonces esa curva no puede ser modular (en el sentido de que no puede existir una forma modular que dé lugar a la misma representación). ^{[ 1 ]}

Sea f una nueva forma de peso 2 en Γ ₀ ( qN ) – es decir, de nivel qN donde q no divide a N – con una representación de Galois bidimensional absolutamente irreducible módulo p ρ _f,p no ramificada en q si q ≠ p y finitamente plana en q = p . Entonces existe una nueva forma de peso 2 g de nivel N tal que

${\displaystyle \rho _{f,p}\simeq \rho _{g,p}.}$

En particular, si E es una curva elíptica sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$con conductor qN , entonces el teorema de modularidad garantiza que existe una nueva forma de peso 2 f de nivel qN tal que la representación de Galois 2-dimensional mod p ρ _{f, p} de f es isomorfa a la representación de Galois 2-dimensional mod p ρ _{E, p} de E. Para aplicar el teorema de Ribet a ρ _{E , p} , basta con comprobar la irreducibilidad y la ramificación de ρ _{E, p} . Usando la teoría de la curva de Tate , se puede demostrar que ρ _{E, p} no está ramificada en q ≠ p y es finitamente plana en q = p si p divide la potencia a la que q aparece en el discriminante mínimo Δ _E. Entonces el teorema de Ribet implica que existe una nueva forma de peso 2 g de nivel N tal que ρ _{g , p} ≈ ρ _{E , p} .

El teorema de Ribet establece que comenzar con una curva elíptica E de conductor qN no garantiza la existencia de una curva elíptica E ′ de nivel N tal que ρ _{E, p} ≈ ρ _{E ′ , p} . La nueva forma g de nivel N puede no tener coeficientes de Fourier racionales y, por lo tanto, puede estar asociada a una variedad abeliana de dimensión superior , no a una curva elíptica. Por ejemplo, la curva elíptica 4171a1 en la base de datos de Cremona dada por la ecuación

${\displaystyle E:y^{2}+xy+y=x^{3}-663204x+206441595}$

con conductor 43 × 97 y discriminante 43 ⁷ × 97 ³ no reduce el nivel módulo 7 a una curva elíptica de conductor 97. Más bien, la representación de Galois módulo p es isomorfa a la representación de Galois módulo p de una nueva forma irracional g de nivel 97.

Sin embargo, para p suficientemente grande en comparación con el nivel N de la nueva forma de nivel reducido, una nueva forma racional (por ejemplo, una curva elíptica) debe reducirse a otra nueva forma racional (por ejemplo, una curva elíptica). En particular, para p ≫ N ^{N 1+ ε} , la representación de Galois módulo p de una nueva forma racional no puede ser isomorfa a una nueva forma irracional de nivel N . ^{[ 2 ]}

De manera similar, la conjetura de Frey- Mazur predice que para valores de p suficientemente grandes (independientemente del conductor N ), las curvas elípticas con representaciones de Galois isomorfas módulo p son de hecho isógenas y, por lo tanto, tienen el mismo conductor. Así, no se predice que ocurra una reducción de nivel no trivial entre nuevas formas racionales para valores grandes de p ( p > 17) .

En su tesis, Yves Hellegouarch originó la idea de asociar soluciones ( a , b , c ) de la ecuación de Fermat con un objeto matemático diferente: una curva elíptica. ^{[ 3 ]} Si p es un primo impar y a , b y c son enteros positivos tales que

${\displaystyle a^{p}+b^{p}=c^{p},}$

Entonces, una curva de Frey correspondiente es una curva algebraica dada por la ecuación

${\displaystyle y^{2}=x(xa^{p})(x+b^{p}).}$

Esta es una curva algebraica no singular de género uno definida sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$y su completación proyectiva es una curva elíptica sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

En 1982, Gerhard Frey llamó la atención sobre las propiedades inusuales de la misma curva, ahora llamada curva de Frey . ^{[ 4 ]} Esto proporcionó un puente entre Fermat y Taniyama al demostrar que un contraejemplo al Teorema de Fermat-Taniyama (TFT) crearía una curva que no sería modular. La conjetura atrajo considerable interés cuando Frey sugirió que la conjetura de Taniyama-Shimura implicaba el TFT. Sin embargo, su argumento no fue completo. ^{[ 5 ]} En 1985, Jean-Pierre Serre propuso que una curva de Frey no podía ser modular y proporcionó una prueba parcial. ^{[ 6 ] [ 7 ]} Esto demostró que una prueba del caso semiestable de la conjetura de Taniyama-Shimura implicaría el TFT. Serre no proporcionó una prueba completa y la parte faltante se conoció como la conjetura épsilon o conjetura ε. En el verano de 1986, Kenneth Alan Ribet demostró la conjetura épsilon, probando así que el Teorema de Modularidad implicaba el TFT. ^{[ 8 ]}

El origen del nombre proviene de la parte ε de "Conjetura de Taniyama-Shimura + ε ⇒ Último teorema de Fermat".

Supongamos que la ecuación de Fermat con exponente p ≥ 5 ^{[ 8 ]} tiene una solución en enteros no nulos a , b , c . La curva de Frey correspondiente E _{a ^p , b ^p , c ^p} es una curva elíptica cuyo discriminante mínimo Δ es igual a 2 ⁻⁸ ( abc ) ^{2 p} y cuyo conductor N es el radical de abc , es decir, el producto de todos los primos distintos que dividen abc . Una consideración elemental de la ecuación a ^p + b ^p = c ^p , deja claro que uno de a , b , c es par y por lo tanto también lo es N . Por la conjetura de Taniyama-Shimura, E es una curva elíptica modular. Dado que todos los primos impares que dividen a , b , c en N aparecen elevados a la p th potencia en el discriminante mínimo Δ , por el teorema de Ribet el descenso de nivel repetitivo módulo p elimina todos los primos impares del conductor. Sin embargo, no quedan nuevas formas de nivel 2 porque el género de la curva modular X ₀ (2) es cero (y las nuevas formas de nivel N son diferenciales en X ₀ ( N )) .

• Conjetura ABC
• Demostración de Wiles del último teorema de Fermat

1. ↑ "La demostración del último teorema de Fermat" . 10 de diciembre de 2008. Archivado del original el 10 de diciembre de 2008.
2. ↑ Silliman, Jesse; Vogt, Isabel (2015). "Potencias en secuencias de Lucas mediante representaciones de Galois". Actas de la Sociedad Matemática Americana . 143 ( 3): 1027– 1041. arXiv : 1307.5078 . CiteSeerX 10.1.1.742.7591 . doi : 10.1090/S0002-9939-2014-12316-1 . MR 3293720. S2CID 16892383 .   
3. ^ Hellegouarch, Yves (1972). "Courbes elípticas y ecuación de Fermat". Tesis Doctoral . BnF 359121326 . 
4. ↑ Frey, Gerhard (1982), "Rationale Punkte auf Fermatkurven und getwisteten Modulkurven" [ Puntos racionales en curvas de Fermat y curvas modulares retorcidas ] , J. Reine Angew. Matemáticas. (en alemán), 1982 (331): 185– 191, doi : 10.1515/crll.1982.331.185 , MR 0647382 , S2CID 118263144  
5. ↑ Frey, Gerhard (1986), "Vínculos entre curvas elípticas estables y ciertas ecuaciones diofánticas", Annales Universitatis Saraviensis. Series Mathematicae , 1 (1): iv+40, ISSN 0933-8268 , MR 0853387  
6. ↑ Serre, J.-P. (1987), "Lettre à J.-F. Mestre [Carta a J.-F. Mestre]", Tendencias actuales en geometría algebraica aritmética (Arcata, California, 1985) , Matemáticas contemporáneas (en francés), vol. 67, Providence, RI: American Mathematical Society, pp. 263–268 , doi : 10.1090/conm/067/902597 , ISBN   9780821850749, MR 0902597 
7. ^ Serre, Jean-Pierre (1987), "Sur les représentations modulaires de degré 2 de Gal( Q / Q )", Duke Mathematical Journal , 54 (1): 179– 230, doi : 10.1215/S0012-7094-87-05413-5 , ISSN 0012-7094 , SEÑOR 0885783  
8. 1 2 Ribet, Ken (1990). "Sobre representaciones modulares de Gal( Q / Q ) que surgen de formas modulares" (PDF) . Inventiones Mathematicae . 100 (2): 431– 476. Bibcode : 1990InMat.100..431R . doi : 10.1007/BF01231195 . MR 1047143 . S2CID 120614740 .  

• Kenneth Ribet, De la conjetura de Taniyama-Shimura al último teorema de Fermat . Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse Sér. 5, 11 núm. 1 (1990), pág.  116-139.
• Andrew Wiles (mayo de 1995). "Curvas elípticas modulares y el último teorema de Fermat" (PDF) . Annals of Mathematics . 141 (3): 443– 551. CiteSeerX 10.1.1.169.9076 . doi : 10.2307/2118559 . JSTOR 2118559. Archivado del original (PDF) el 10 de mayo de 2011. Recuperado el 22 de mayo de 2006 .  
• Richard Taylor y Andrew Wiles (mayo de 1995). " Propiedades de la teoría de anillos de ciertas álgebras de Hecke" (PDF) . Annals of Mathematics . 141 (3): 553– 572. CiteSeerX 10.1.1.128.531 . doi : 10.2307/2118560 . ISSN 0003-486X . JSTOR 2118560. OCLC 37032255. Zbl 0823.11030 . Archivado del original (PDF) el 9 de marzo de 2017. Recuperado el 8 de septiembre de 2011 .     
• Curva de Frey y teorema de Ribet

• Ken Ribet y el último teorema de Fermat por Kevin Buzzard , 28 de junio de 2008