problema de Riemann

Un problema de Riemann , llamado así en honor a Bernhard Riemann , es un problema de valor inicial específico compuesto por una ecuación de conservación junto con datos iniciales constantes por partes que presentan una única discontinuidad en el dominio de interés. El problema de Riemann es muy útil para comprender ecuaciones como las ecuaciones de conservación de Euler , ya que todas las propiedades, como las ondas de choque y de rarefacción, aparecen como características en la solución. También proporciona una solución exacta para algunas ecuaciones no lineales complejas, como las ecuaciones de Euler .

En el análisis numérico , los problemas de Riemann aparecen de forma natural en los métodos de volumen finito para la solución de ecuaciones de conservación de la ley debido a la discretización de la malla. Por ello, se utilizan ampliamente en dinámica de fluidos computacional y en simulaciones de magnetohidrodinámica computacional . En estos campos, los problemas de Riemann se calculan mediante solucionadores de Riemann .

Como ejemplo sencillo, investigamos las propiedades del problema de Riemann unidimensional en dinámica de gases (Toro, Eleuterio F. (1999). Riemann Solvers and Numerical Methods for Fluid Dynamics, Pg 44, Example 2.5).

Las condiciones iniciales vienen dadas por

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\rho \\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\rho _{L}\\u_{L}\end{bmatrix}}{\text{ para }}x\leq 0\qquad {\text{y}}\qquad {\begin{bmatrix}\rho \\u\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\rho _{R}\\u_{R}\end{bmatrix}}{\text{ para }}x>0}$

donde x  =  0 separa dos estados diferentes, junto con las ecuaciones dinámicas de gases linealizadas (ver dinámica de gases para la derivación).

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho _{0}{\frac {\partial u}{\partial x}}&=0\\[8pt]{\frac {\partial u}{\partial t}}+{\frac {a^{2}}{\rho _{0}}}{\frac {\partial \rho }{\partial x}}&=0\end{aligned}}}$

donde podemos asumir sin pérdida de generalidad${\displaystyle a\geq 0}$Ahora podemos reescribir las ecuaciones anteriores en forma conservativa:

${\displaystyle U_{t}+A\cdot U_{x}=0}$:

dónde

${\displaystyle U={\begin{bmatrix}\rho \\u\end{bmatrix}},\quad A={\begin{bmatrix}0&\rho _{0}\\{\frac {a^{2}}{\rho _{0}}}&0\end{bmatrix}}}$

y el índice denota la derivada parcial con respecto a la variable correspondiente (es decir, x o t).

Los valores propios del sistema son las características del sistema. ${\displaystyle \lambda _{1}=-a,\lambda _{2}=a}$. Proporcionan la velocidad de propagación del medio, incluyendo la de cualquier discontinuidad, que aquí es la velocidad del sonido. Los autovectores correspondientes son

${\displaystyle \mathbf {e} ^{(1)}={\begin{bmatrix}\rho _{0}\\-a\end{bmatrix}},\quad \mathbf {e} ^{(2)}={\begin{bmatrix}\rho _{0}\\a\end{bmatrix}}.}$

Al descomponer el estado izquierdo${\displaystyle u_{L}}$en términos de los autovectores, obtenemos para algunos${\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2}}$

${\displaystyle U_{L}={\begin{bmatrix}\rho _{L}\\u_{L}\end{bmatrix}}=\alpha _{1}\mathbf {e} ^{(1)}+\alpha _{2}\mathbf {e} ^{(2)}.}$

Ahora podemos resolverlo${\displaystyle \alpha _{1}}$y${\displaystyle \alpha _{2}}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{1}&={\frac {a\rho _{L}-\rho _{0}u_{L}}{2a\rho _{0}}}\\[8pt]\alpha _{2}&={\frac {a\rho _{L}+\rho _{0}u_{L}}{2a\rho _{0}}}\end{aligned}}}$

Análogamente

${\displaystyle U_{R}={\begin{bmatrix}\rho _{R}\\u_{R}\end{bmatrix}}=\beta _{1}\mathbf {e} ^{(1)}+\beta _{2}\mathbf {e} ^{(2)}}$

para

${\displaystyle {\begin{aligned}\beta _{1}&={\frac {a\rho _{R}-\rho _{0}u_{R}}{2a\rho _{0}}}\\[8pt]\beta _{2}&={\frac {a\rho _{R}+\rho _{0}u_{R}}{2a\rho _{0}}}\end{aligned}}}$

Utilizando esto, en el dominio entre las dos características${\displaystyle t=|x|/a}$, obtenemos la solución constante final:

${\displaystyle U_{*}={\begin{bmatrix}\rho _{*}\\u_{*}\end{bmatrix}}=\beta _{1}\mathbf {e} ^{(1)}+\alpha _{2}\mathbf {e} ^{(2)}=\beta _{1}{\begin{bmatrix}\rho _{0}\\-a\end{bmatrix}}+\alpha _{2}{\begin{bmatrix}\rho _{0}\\a\end{bmatrix}}}$

y la solución (constante por partes) en todo el dominio${\displaystyle t>0}$:

${\displaystyle U(t,x)={\begin{bmatrix}\rho (t,x)\\u(t,x)\end{bmatrix}}={\begin{cases}U_{L},&0<t\leq -x/a\\U_{*},&0\leq |x|/a<t\\U_{R},&0<t\leq x/a\end{cases}}}$

Aunque se trata de un ejemplo sencillo, ilustra las propiedades básicas. En particular, las características descomponen la solución en tres dominios. La velocidad de propagación de estas dos ecuaciones es equivalente a la velocidad de propagación del sonido.

La característica más rápida define la condición de Courant-Friedrichs-Lewy (CFL), que establece la restricción para el paso de tiempo máximo para el cual un método numérico explícito es estable. Generalmente, a medida que se utilizan más ecuaciones de conservación, intervienen más características.

• Toro, Eleuterio F. (1999). Solucionadores de Riemann y métodos numéricos para la dinámica de fluidos . Berlín: Springer Verlag. ISBN 3-540-65966-8.
• LeVeque, Randall J. (2004). Métodos de volumen finito para problemas hiperbólicos . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-81087-6.

• Dinámica de fluidos computacional
• Magnetohidrodinámica computacional
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