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solucionador de Riemann

Un solucionador de Riemann es un método numérico que se utiliza para resolver una ecuación diferencial parcial hiperbólica a partir de la solución del problema de Riemann corres...

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Un solucionador de Riemann es un método numérico que se utiliza para resolver una ecuación diferencial parcial hiperbólica a partir de la solución del problema de Riemann correspondiente . Se utilizan ampliamente en dinámica de fluidos computacional y magnetohidrodinámica computacional .

Definición

En términos generales, los solucionadores de Riemann son métodos específicos para calcular el flujo numérico a través de una discontinuidad en el problema de Riemann. [ 1 ] Forman una parte importante de los esquemas de alta resolución ; normalmente, los estados derecho e izquierdo para el problema de Riemann se calculan utilizando alguna forma de reconstrucción no lineal, como un limitador de flujo o un método WENO , y luego se utilizan como entrada para el solucionador de Riemann. [ 2 ]

Solucionadores exactos

A Sergei K. Godunov se le atribuye la introducción del primer solucionador exacto de Riemann para las ecuaciones de Euler, [ 3 ] extendiendo el método CIR (Courant-Isaacson-Rees) anterior a sistemas no lineales de leyes de conservación hiperbólicas. Los solucionadores modernos son capaces de simular efectos relativistas y campos magnéticos.

Investigaciones más recientes muestran que existe una solución en serie exacta para el problema de Riemann, que puede converger lo suficientemente rápido en algunos casos como para evitar los métodos iterativos requeridos en el esquema de Godunov. [ 4 ]

Solucionadores aproximados

Dado que las soluciones iterativas son demasiado costosas, especialmente en magnetohidrodinámica, es necesario realizar algunas aproximaciones. Algunos solucionadores populares son:

solucionador Roe

Philip L. Roe utilizó la linealización del jacobiano, que luego resuelve exactamente. [ 5 ]

solucionador HLLE

El solucionador HLLE (desarrollado por Ami Harten , Peter Lax , Bram van Leer y B. Einfeldt) es una solución aproximada al problema de Riemann, que se basa únicamente en la forma integral de las leyes de conservación y las velocidades de señal máxima y mínima en la interfaz. [ 6 ] [ 7 ] La estabilidad y robustez del solucionador HLLE están estrechamente relacionadas con las velocidades de señal y un único estado promedio central, como propuso Einfeldt en el artículo original.

solucionador HLLC

El solucionador HLLC (Harten-Lax-van Leer-Contact) fue introducido por Toro. [ 8 ] Reconstruye la onda de rarefacción faltante mediante una técnica de estimación, como la linealización. Existen técnicas más avanzadas, como el uso de la velocidad media de Roe para la velocidad de onda media. Estos esquemas son bastante robustos y eficientes, pero algo más difusos. [ 9 ]

solucionadores de Riemann híbridos rotados

Estos solucionadores fueron introducidos por Hiroaki Nishikawa y Kitamura, [ 10 ] con el fin de superar los problemas de carbunclo del solucionador Roe y la difusión excesiva del solucionador HLLE al mismo tiempo. Desarrollaron solucionadores Riemann robustos y precisos combinando el solucionador Roe y los solucionadores HLLE/Rusanov: muestran que al aplicarse en dos direcciones ortogonales, los dos solucionadores Riemann pueden combinarse en un único solucionador tipo Roe (el solucionador Roe con velocidades de onda modificadas). En particular, el derivado de los solucionadores Roe y HLLE, llamado solucionador Rotated-RHLL, es extremadamente robusto (libre de carbunclo para todos los casos de prueba posibles tanto en mallas estructuradas como no estructuradas) y preciso (tan preciso como el solucionador Roe para el cálculo de la capa límite).

Otros solucionadores

Hay una variedad de otros solucionadores disponibles, incluyendo más variantes del esquema HLL [ 11 ] y solucionadores basados ​​en la división de flujo a través de la descomposición característica. [ 12 ]

Notas

  1. ↑ LeVeque, Randall J., 1955- (1992). Métodos numéricos para leyes de conservación (2.ª  ed.). Basilea: Birkhäuser Verlag. ISBN 3-7643-2723-5OCLC 25281500 .​ {{cite book}}: CS1 maint: nombres múltiples: lista de autores ( enlace ) CS1 maint: nombres numéricos: lista de autores ( enlace )
  2. ↑ Toro, EF (2006). Solucionadores de Riemann y métodos numéricos para la dinámica de fluidos : una introducción práctica (3.ª ed. [rev.]). Berlín: Springer. ISBN   978-3-540-49834-6OCLC 405546150​​ 
  3. ↑ Godunov, SK (1959), "Un esquema de diferencias para el cálculo numérico de la solución discontinua de la ecuación hiperbólica", Mat . Sbornik , 47 : 271–306
  4. ↑ Wu, YY; Cheung, KF (2008), "Solución explícita al problema exacto de Riemann y su aplicación en ecuaciones no lineales de aguas poco profundas", Int. J. Numer. Methods Fluids , 57 (11): 1649– 1668, Bibcode : 2008IJNMF..57.1649W , doi : 10.1002/fld.1696 , S2CID 122832179 
  5. ↑ Roe, PL (1981), "Solucionadores de Riemann aproximados, vectores de parámetros y esquemas de diferencias", J. Comput. Phys. , 43 (2): 357– 372, Bibcode : 1981JCoPh..43..357R , doi : 10.1016/0021-9991(81)90128-5
  6. ↑ Harten, Amiram; Lax, Peter D.; Van Leer, Bram (1983). "Sobre la diferenciación ascendente y los esquemas de tipo Godunov para leyes de conservación hiperbólicas". SIAM Review . 25 (1): 35– 61. doi : 10.1137/1025002 . ISSN 0036-1445 . JSTOR 2030019 .  
  7. ↑ Einfeldt, B. (1988), "Sobre los métodos de tipo Godunov para la dinámica de gases", SIAM J. Numer. Anal. , 25 (2): 294– 318, Bibcode : 1988SJNA...25..294E , doi : 10.1137/0725021
  8. ↑ Toro, EF; Spruce, M.; Speares, W. (1994), "Restauración de la superficie de contacto en el solucionador HLL-Riemann", Shock Waves , 4 (1): 25–34 , Bibcode : 1994ShWav...4...25T , doi : 10.1007/BF01414629 , S2CID 119972653 
  9. ↑ Quirk, JJ (1994), "Una contribución al gran debate sobre solucionadores de Riemann", Int. J. Numer. Methods Fluids , 18 (6): 555– 574, Bibcode : 1994IJNMF..18..555Q , doi : 10.1002/fld.1650180603 , hdl : 2060/19930015894 .
  10. ↑ Nishikawa, H.; Kitamura, K. (2008), "Solucionadores de Riemann híbridos rotados muy simples, sin carbunclos, que resuelven la capa límite", J. Comput. Phys. , 227 (4): 2560– 2581, Bibcode : 2008JCoPh.227.2560N , doi : 10.1016/j.jcp.2007.11.003
  11. ↑ Miyoshi, Takahiro; Kusano, Kanya (septiembre de 2005). "Un solucionador aproximado de Riemann HLL multiestado para magnetohidrodinámica ideal". Journal of Computational Physics . 208 (1): 315– 344. Bibcode : 2005JCoPh.208..315M . doi : 10.1016/j.jcp.2005.02.017 .
  12. ↑ Donat, R.; Font, JA; Ibáñez, J.Ma; Marquina, A. (octubre de 1998). "Un algoritmo de división de flujo aplicado a flujos relativistas". Journal of Computational Physics . 146 (1): 58– 81. Bibcode : 1998JCoPh.146...58D . doi : 10.1006/jcph.1998.5955 .

Véase también

Referencias

  • Toro, Eleuterio F. (1999), Solucionadores de Riemann y métodos numéricos para la dinámica de fluidos , Berlín: Springer Verlag, ISBN 978-3-540-65966-2