tensor de curvatura de Riemann

En el campo matemático de la geometría diferencial , el tensor de curvatura de Riemann o tensor de Riemann-Christoffel (en honor a Bernhard Riemann y Elwin Bruno Christoffel ) es la forma más común de expresar la curvatura de las variedades riemannianas . Asigna un tensor a cada punto de una variedad riemanniana (es decir, es un campo tensorial ). Es un invariante local de las métricas riemannianas que mide la falta de conmutación de las segundas derivadas covariantes . Una variedad riemanniana tiene curvatura cero si y solo si es plana , es decir, localmente isométrica al espacio euclidiano . ^{[ 1 ]} El tensor de curvatura también puede definirse para cualquier variedad pseudoriemanniana , o incluso para cualquier variedad equipada con una conexión afín .

Es una herramienta matemática fundamental en la teoría de la relatividad general , la teoría moderna de la gravedad . La curvatura del espacio-tiempo es, en principio, observable mediante la ecuación de desviación geodésica . El tensor de curvatura representa la fuerza de marea que experimenta un cuerpo rígido que se mueve a lo largo de una geodésica , en un sentido que se precisa mediante la ecuación de Jacobi .

Definición

Dejar $(M,g)$ ser una variedad riemanniana o pseudoriemanniana , y ${\mathfrak {X}}(M)$ sea el espacio de todos los campos vectoriales en $M$ Definimos el tensor de curvatura de Riemann como un mapa ${\mathfrak {X}}(M)\times {\mathfrak {X}}(M)\times {\mathfrak {X}}(M)\rightarrow {\mathfrak {X}}(M)$ mediante la siguiente fórmula ^{[ 2 ]} donde $\nabla$ es la conexión Levi-Civita :

R(X,Y)Z=\nabla _ {X}\nabla _ {Y}Z-\nabla _ {Y}\nabla _ {X}Z-\nabla _ {[X,Y]}Z

o equivalentemente

R(X,Y)=[\nabla _{X},\nabla _{Y}]-\nabla _{[X,Y]}

dónde $[X,Y]$ es el corchete de Lie de campos vectoriales y $[\nabla _{X},\nabla _{Y}]$ es un conmutador de operadores diferenciales. Resulta que el lado derecho en realidad solo depende del valor de los campos vectoriales. $X,Y,Z$ en un punto dado, lo cual es notable ya que la derivada covariante de un campo vectorial también depende de los valores del campo en un entorno del punto. Por lo tanto, $R$ es un $(1,3)$ campo tensorial. Para fijo $X,Y$ , la transformación lineal $Z\mapsto R(X,Y)Z$ También se le llama transformación de curvatura o endomorfismo . En ocasiones, el tensor de curvatura se define con el signo opuesto.

El tensor de curvatura mide la no conmutatividad de la derivada covariante y, como tal, es la obstrucción de integrabilidad para la existencia de una isometría con el espacio euclidiano (llamado, en este contexto, espacio plano ).

Dado que la conexión de Levi-Civita no tiene torsión, su curvatura también puede expresarse en términos de la segunda derivada covariante ^{[ 3 ].}

{\textstyle \nabla _{X,Y}^{2}Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{\nabla _{X}Y}Z}

que depende únicamente de los valores de $X,Y$ en un punto. La curvatura se puede escribir entonces como

R(X,Y)=\nabla _{X,Y}^{2}-\nabla _{Y,X}^{2}

Así, el tensor de curvatura mide la no conmutatividad de la segunda derivada covariante. En notación de índice abstracto , $R^{d}{}_{cab}Z^{c}=\nabla _{a}\nabla _{b}Z^{d}-\nabla _{b}\nabla _{a}Z^{d}.$ El tensor de curvatura de Riemann es también el conmutador de la derivada covariante de un covector arbitrario. $A_{\nu }$ consigo mismo: ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

{\displaystyle A_{\nu

Esta fórmula se denomina a menudo identidad de Ricci . ^{[ 6 ]} Este es el método clásico utilizado por Ricci y Levi-Civita para obtener una expresión para el tensor de curvatura de Riemann. ^{[ 7 ]} Esta identidad puede generalizarse para obtener los conmutadores para dos derivadas covariantes de tensores arbitrarios de la siguiente manera ^{[ 8 ]}

{\begin{aligned}&\nabla _{\delta }\nabla _{\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}-\nabla _{\gamma }\nabla _{\delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\[3pt]={}&R^{\alpha _{1}}{}_{\rho \delta \gamma }T^{\rho \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}+\ldots +R^{\alpha _{r}}{}_{\rho \delta \gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\rho }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}-R^{\sigma }{}_{\beta _{1}\delta \gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\sigma \beta _{2}\cdots \beta _{s}}-\ldots -R^{\sigma }{}_{\beta _{s}\delta \gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\sigma }\end{aligned}}

Esta fórmula también se aplica a las densidades tensoriales sin alteración, porque para la conexión de Levi-Civita ( no genérica ) se obtiene: ^{[ 6 ]}

\nabla _{\mu }\left({\sqrt {g}}\right)\equiv \left({\sqrt {g}}\right)_{;\mu }=0,

dónde

g=\left|\det \left(g_{\mu \nu }\right)\right|.

A veces resulta conveniente definir también la versión puramente covariante del tensor de curvatura mediante

R_{\sigma \mu \nu \rho }=g_{\rho \zeta }R^{\zeta }{}_{\sigma \mu \nu }.

significado geométrico

De manera informal

Se pueden observar los efectos de la curvatura del espacio comparando una cancha de tenis con la Tierra. Empiece en la esquina inferior derecha de la cancha, con una raqueta apuntando hacia el norte. Mientras camina alrededor del perímetro de la cancha, asegúrese en cada paso de que la raqueta mantenga la misma orientación, paralela a sus posiciones anteriores. Una vez completado el recorrido, la raqueta estará paralela a su posición inicial. Esto se debe a que las canchas de tenis se construyen con una superficie plana. Por otro lado, la superficie de la Tierra es curva: podemos completar un recorrido sobre ella. Partiendo del ecuador, apunte una raqueta hacia el norte a lo largo de la superficie terrestre. De nuevo, la raqueta debe permanecer siempre paralela a su posición anterior, utilizando el plano del horizonte como referencia. Para este recorrido, primero camine hasta el polo norte, luego camine de lado (es decir, sin girar), luego descienda hasta el ecuador y, finalmente, regrese a su posición inicial. Ahora la raqueta apuntará hacia el oeste, aunque al comenzar el recorrido apuntaba hacia el norte y usted no giró el cuerpo. Este proceso es similar al transporte paralelo de un vector a lo largo de una trayectoria, y la diferencia radica en que las líneas que parecen rectas solo lo son localmente. Cada vez que se completa un bucle, la raqueta de tenis se desvía aún más de su posición inicial en una cantidad que depende de la distancia y la curvatura de la superficie. Es posible identificar trayectorias a lo largo de una superficie curva donde el transporte paralelo funciona igual que en un plano. Estas son las geodésicas del espacio, por ejemplo, cualquier segmento de un círculo máximo de una esfera.

El concepto de espacio curvo en matemáticas difiere del lenguaje cotidiano. Por ejemplo, si el proceso anterior se aplicara a un cilindro, se observaría que no es curvo en su totalidad, ya que la curvatura alrededor del cilindro se compensa con la planitud a lo largo del mismo, lo cual es consecuencia de la curvatura gaussiana y del Teorema Egregium de Gauss . Un ejemplo conocido es una porción de pizza flexible, que permanecerá rígida a lo largo de su longitud si se curva a lo ancho.

El tensor de curvatura de Riemann es una forma de medir la curvatura intrínseca. Al expresarlo en términos de sus componentes (como si se tratara de las componentes de un vector), consiste en una matriz multidimensional de sumas y productos de derivadas parciales (algunas de estas derivadas parciales pueden considerarse similares a la curvatura que experimenta una persona al caminar en línea recta sobre una superficie curva).

Formalmente

Cuando un vector en un espacio euclidiano se transporta paralelamente a lo largo de un bucle, volverá a apuntar en la dirección inicial al regresar a su posición original. Sin embargo, esta propiedad no se cumple en el caso general. El tensor de curvatura de Riemann mide directamente esta falla en una variedad riemanniana general . Esta falla se conoce como la no holonomía de la variedad.

Dejar $x_{t}$ sea una curva en una variedad riemanniana $M$ Denotemos por $\tau _{x_{t}}:T_{x_{0}}M\to T_{x_{t}}M$ el mapa de transporte paralelo a lo largo $x_{t}$ Los mapas de transporte paralelos están relacionados con la derivada covariante mediante

\nabla _{{\dot {x}}_{0}}Y=\lim _{h\to 0}{\frac {1}{h}}\left(\tau _{x_{h}}^{-1}\left(Y_{x_{h}}\right)-Y_{x_{0}}\right)=\left.{\frac {d}{dt}}\left(\tau _{x_{t}}^{-1}(Y_{x_{t}})\right)\right|_{t=0}

para cada campo vectorial $Y$ definido a lo largo de la curva.

Supongamos que $X$ y $Y$ son un par de campos vectoriales conmutativos. Cada uno de estos campos genera un grupo uniparamétrico de difeomorfismos en un entorno de $x_{0}$ Denotemos por $\tau _{tX}$ y $\tau _{tY}$ , respectivamente, los transportes paralelos a lo largo de los flujos de $X$ y $Y$ por tiempo $t$ Transporte paralelo de un vector $Z\in T_{x_{0}}M$ alrededor del cuadrilátero con lados $tY$ , $sX$ , $-tY$ , $-sX$ es dado por

\tau _{sX}^{-1}\tau _{tY}^{-1}\tau _{sX}\tau _{tY}Z.

La diferencia entre esto y $Z$ mide el fallo del transporte paralelo para regresar $Z$ a su posición original en el espacio tangente $T_{x_{0}}M$ . Reduciendo el bucle mediante el envío $s,t\to 0$ proporciona la descripción infinitesimal de esta desviación:

\left.{\frac {d}{ds}}{\frac {d}{dt}}\tau _{sX}^{-1}\tau _{tY}^{-1}\tau _{sX}\tau _{tY}Z\right|_{s=t=0}=\left(\nabla _{X}\nabla _{Y}-\nabla _{Y}\nabla _{X}-\nabla _{[X,Y]}\right)Z=R(X,Y)Z

dónde $R$ es el tensor de curvatura de Riemann.

Expresión de coordenadas

Al convertirlo a la notación de índice tensorial , el tensor de curvatura de Riemann viene dado por

R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }=dx^{\rho }\left(R\left(\partial _{\mu },\partial _{\nu }\right)\partial _{\sigma }\right)

dónde $\partial _{\mu }=\partial /\partial x^{\mu }$ son los campos vectoriales de coordenadas. La expresión anterior se puede escribir utilizando símbolos de Christoffel :

R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }=\partial _{\mu }\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma }-\partial _{\nu }\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \sigma }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \sigma }

(Véase también Lista de fórmulas en geometría riemanniana ).

Simetrías e identidades

El tensor de curvatura de Riemann tiene las siguientes simetrías e identidades:

donde el corchete $\langle ,\rangle$ se refiere al producto interno en el espacio tangente inducido por el tensor métrico y los corchetes y paréntesis en los índices denotan los operadores de antisimetrización y simetrización , respectivamente. Si hay torsión no nula , las identidades de Bianchi involucran el tensor de torsión .

La primera identidad de Bianchi (algebraica) fue descubierta por Ricci , pero a menudo se la denomina primera identidad de Bianchi o identidad de Bianchi algebraica , porque se parece a la identidad de Bianchi diferencial .

Las tres primeras identidades forman una lista completa de simetrías del tensor de curvatura, es decir, dado cualquier tensor que satisfaga las identidades anteriores, se puede encontrar una variedad riemanniana con dicho tensor de curvatura en algún punto. Cálculos sencillos muestran que dicho tensor tiene $n^{2}\left(n^{2}-1\right)/12$ componentes independientes. ^{[ 9 ]} La simetría de intercambio se deduce de estas. Las simetrías algebraicas también son equivalentes a decir que R pertenece a la imagen del simetrizador de Young correspondiente a la partición 2+2.

En una variedad riemanniana se tiene la derivada covariante $\nabla _{u}R$ y la identidad de Bianchi (a menudo llamada segunda identidad de Bianchi o identidad diferencial de Bianchi) toma la forma de la última identidad en la tabla.

Curvatura de Ricci

El tensor de curvatura de Ricci es la contracción del primer y tercer índice del tensor de Riemann.

\underbrace {R_{ab}} _{\text{Ricci}}\equiv R^{c}{}_{acb}=g^{cd}\underbrace {R_{cadb}} _{\text{Riemann}}

Casos especiales

Superficies

Para una superficie bidimensional , las identidades de Bianchi implican que el tensor de Riemann tiene solo una componente independiente, lo que significa que el escalar de Ricci determina completamente el tensor de Riemann. Solo existe una expresión válida para el tensor de Riemann que cumple con las simetrías requeridas:

R_{abcd}=f(R)\left(g_{ac}g_{db}-g_{ad}g_{cb}\right)

y al contraer la métrica dos veces encontramos la forma explícita:

R_{abcd}=K\left(g_{ac}g_{db}-g_{ad}g_{cb}\right),

dónde $g_{ab}$ es el tensor métrico y $K=R/2$ es una función llamada curvatura gaussiana y $a$ , $b$ , $c$ y $d$ toman valores 1 o 2. El tensor de Riemann tiene solo un componente funcionalmente independiente. La curvatura gaussiana coincide con la curvatura seccional de la superficie. También es exactamente la mitad de la curvatura escalar de la 2-variedad, mientras que el tensor de curvatura de Ricci de la superficie viene dado simplemente por

R_{ab}=Kg_{ab}.

Formas espaciales

Una variedad riemanniana es una forma espacial si su curvatura seccional es igual a una constante. $K$ El tensor de Riemann de una forma espacial viene dado por

R_{abcd}=K\left(g_{ac}g_{db}-g_{ad}g_{cb}\right).

Por el contrario, excepto en dimensión 2, si la curvatura de una variedad riemanniana tiene esta forma para alguna función $K$ , entonces las identidades de Bianchi implican que $K$ es constante y, por lo tanto, que la variedad es (localmente) una forma espacial.

Véase también

Citas

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↑ Lee 2018 , pág. 196.
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Referencias

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Besse, AL (1987), Colectores de Einstein , Springer, ISBN 0-387-15279-2
Kobayashi, S.; Nomizu , K. (1963), Fundamentos de geometría diferencial , vol. 1, Interscience
Misner, Charles W.; Thorne , Kip S .; Wheeler, John A. (1973), Gravitation , WH Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0

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[FOOTNOTELee2018196-2] Lee 2018 , pág. 196.

[lawson-3] Lawson, H. Blaine Jr.; Michelsohn, Marie-Louise (1989). Geometría de espín . Princeton U Press. pág . 154. ISBN 978-0-691-08542-5.

[4] Synge JL, Schild A. (1949). Cálculo tensorial . Primera edición de Dover Publications, 1978. pp. 83, 107. ISBN 978-0-486-63612-2.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )

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[8] Sandberg, Vernon D (1978). "Armónicos esféricos tensoriales en S 2 y S 3 como problemas de valores propios" (PDF) . Journal of Mathematical Physics . 19 (12): 2441– 2446. Bibcode : 1978JMP....19.2441S . doi : 10.1063/1.523649 .

[9] Bergmann PG (1976). Introducción a la teoría de la relatividad . Dover. págs. 172–174 . ISBN 978-0-486-63282-7.

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