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Articulo de referencia

Trapecio

Trapezium {{small|(British English)}}"},"image":{"wt":"Trapezoid.svg"},"caption":{"wt":"Trapezoid or trapezium"},"type":{"wt":"[[quadrilateral]]"},"edges":{"wt":"4"},"symmetry":...

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En geometría , un trapecio ( / ˈ t r æ p ə z ɔɪ d / ) en inglés norteamericano , o trapezium ( / t r ə ˈ p iː z i ə m / ) en inglés británico , [ 1 ] [ 2 ] es un cuadrilátero que tiene al menos un par de lados paralelos .

Los lados paralelos se llaman bases del trapecio. [ 3 ] Los otros dos lados se llaman lados laterales [ 3 ] o lados laterales . Si el trapecio es un paralelogramo , entonces la elección de bases y lados laterales es arbitraria.

En geometría euclidiana , un trapecio se considera generalmente un cuadrilátero convexo , pero también existen casos cruzados . Si la figura ABCD es un trapecio convexo, entonces ABDC es un trapecio cruzado. Las fórmulas métricas de este artículo se aplican a los trapecios convexos.

Definiciones

El trapecio puede definirse de forma exclusiva o inclusiva. Según una definición exclusiva, un trapecio es un cuadrilátero que tiene exactamente un par de lados paralelos, con el otro par de lados opuestos no paralelos. Los paralelogramos, incluidos los rombos, los rectángulos y los cuadrados, no se consideran trapecios. [ 4 ] [ 5 ] Según una definición inclusiva, un trapecio es cualquier cuadrilátero con al menos un par de lados paralelos. [ 6 ] En un esquema de clasificación inclusiva, las definiciones son jerárquicas: un cuadrado es un tipo de rectángulo y un tipo de rombo, un rectángulo o un rombo es un tipo de paralelogramo, y todo paralelogramo es un tipo de trapecio. [ 7 ] Un trapecio también puede definirse como cualquier cuadrilátero que no sea un paralelogramo; esta definición también es exclusiva y se utiliza en los Elementos de Euclides .

Los matemáticos profesionales y los libros de texto de geometría de nivel superior casi siempre prefieren definiciones y clasificaciones inclusivas, ya que simplifican los enunciados y las demostraciones de los teoremas geométricos. [ 8 ] En la educación primaria y secundaria, las definiciones de rectángulo y paralelogramo también son casi siempre inclusivas, pero es común encontrar una definición exclusiva de trapecio . [ 9 ] [ 10 ] Este artículo utiliza la definición inclusiva y considera que los paralelogramos son tipos especiales de trapecios. ( cf. Cuadrilátero § Taxonomía )

Para evitar confusiones, algunas fuentes utilizan el término trapecio propio para describir trapecios con exactamente un par de lados paralelos, de forma análoga a los usos de la palabra «propio» en otros objetos matemáticos. [ 11 ] [ 12 ]

Etimología

En la geometría griega antigua de los Elementos de Euclides ( c. 300 a. C.), los cuadriláteros se clasificaban en categorías exclusivas: cuadrado ; oblongo ( rectángulo no cuadrado ); rombo (no cuadrado) ; romboide, es decir, un paralelogramo que no es ni rombo ni rectángulo ; o trapecio (τραπέζιον, literalmente "mesa"), es decir, cualquier cuadrilátero que no estuviera ya incluido en las categorías anteriores. [ 13 ]

El filósofo neoplatónico Proclo (mediados del siglo V d. C.) escribió un influyente comentario sobre Euclides con un conjunto de categorías más rico, que atribuyó a Posidonio ( c. 100 a. C.). En este esquema, un cuadrilátero puede ser un paralelogramo o un no-paralelogramo. Un paralelogramo puede ser a su vez un cuadrado, un rectángulo (no cuadrado), un rombo o un romboide (no rombo ni rectángulo). Un no-paralelogramo puede ser un trapecio con exactamente un par de lados paralelos, que puede ser isósceles (con lados iguales) o escaleno (con lados desiguales); o un trapecio (τραπεζοειδή, literalmente "como una mesa") sin lados paralelos. [ 13 ] [ 14 ]

Definiciones de Hutton en 1795

Todas las lenguas europeas, excepto el inglés americano, siguen los significados de trapecio y trapezoide de Proclo . [ 15 ] Sin embargo, el significado en inglés británico se invirtió durante gran parte del siglo XIX. En 1795, un influyente diccionario matemático publicado por Charles Hutton transpuso los dos términos sin explicación, lo que provocó una inconsistencia generalizada. El cambio de Hutton se revirtió en inglés británico alrededor de 1875, pero se ha mantenido en inglés americano hasta la actualidad. [ 13 ] Los libros de texto de geometría estadounidenses de finales del siglo XIX definen un trapecio como aquel que no tiene lados paralelos, un trapezoide como aquel que tiene exactamente un par de lados paralelos y un paralelogramo como aquel que tiene dos conjuntos de lados paralelos opuestos. [ 3 ] [ 16 ] Para evitar confusiones entre los significados contradictorios británicos y americanos de trapecio y trapezoide , a los cuadriláteros sin lados paralelos a veces se les ha llamado cuadriláteros irregulares . [ 17 ]

Casos especiales

Casos especiales de trapecios. Las figuras naranjas también pueden considerarse paralelogramos.

Un trapecio isósceles es un trapecio cuyos ángulos de la base tienen la misma medida. [ 18 ] [ 19 ] Como consecuencia, los dos lados laterales también tienen la misma longitud y posee simetría de reflexión . [ 20 ] Esto es posible para trapecios agudos o trapecios rectos como rectángulos. Un trapecio agudo es un trapecio con dos ángulos agudos adyacentes en su base más larga, y el trapecio isósceles es un ejemplo de trapecio agudo. El trapecio isósceles tiene un caso especial conocido como trapecio de tres lados, lo que significa que es un trapecio en el que dos de sus lados laterales tienen la misma longitud que la base superior. [ 21 ] El trapecio isósceles es la envoltura convexa de un antiparalelogramo , un tipo de cuadrilátero cruzado . Todo antiparalelogramo se forma con dicho trapecio reemplazando dos lados paralelos por dos diagonales. [ 22 ]

Un trapecio obtuso, por otro lado, tiene un ángulo agudo y uno obtuso en cada base. Un ejemplo es un paralelogramo con ángulos agudos iguales. [ 21 ]

Un trapecio rectángulo es un trapecio con dos ángulos rectos adyacentes . Un tipo especial de trapecio rectángulo se forma al crear tres triángulos rectángulos , [ 23 ] que James Garfield utilizó para demostrar el teorema de Pitágoras . [ 24 ]

Un trapecio tangente es un trapecio que tiene un círculo inscrito .

Condición de existencia

Cuatro longitudes a , c , b , d pueden constituir los lados consecutivos de un trapecio no paralelogramo con a y b paralelos solo cuando [ 25 ]

|d−do|<|b−a|<d+do.{\displaystyle \displaystyle |dc|<|ba|<d+c.}

El cuadrilátero es un paralelogramo cuandod−do=b−a=0{\displaystyle dc=ba=0}, pero es un cuadrilátero extangencial (que no es un trapecio) cuando|d−do|=|b−a|≠0{\displaystyle |dc|=|ba|\neq 0}. [ 26 ]

Caracterizaciones

trapecio general: lados paralelos: a,b{\displaystyle a,\,b}con a<b{\displaystyle a<b} piernas: do,d{\displaystyle c,\,d}diagonales: q,pag{\displaystyle q,\,p}segmento medio: metro{\displaystyle m}altura/altitud: h{\displaystyle h}
trapecio con triángulos opuestosS,T{\displaystyle S,\,T}formadas por las diagonales

Dado un cuadrilátero convexo, las siguientes propiedades son equivalentes, y cada una implica que el cuadrilátero es un trapecio:

  • Tiene dos ángulos adyacentes que son suplementarios , es decir, suman 180 grados .
  • El ángulo entre un lado y una diagonal es igual al ángulo entre el lado opuesto y la misma diagonal.
  • Las diagonales se cortan entre sí en la misma proporción (esta proporción es la misma que la que existe entre las longitudes de los lados paralelos).
  • Las diagonales dividen el cuadrilátero en cuatro triángulos, de los cuales un par opuesto tiene áreas iguales. [ 27 ]
  • El producto de las áreas de los dos triángulos formados por una diagonal es igual al producto de las áreas de los dos triángulos formados por la otra diagonal. [ 28 ]
  • Las áreas S y T de dos triángulos opuestos de los cuatro triángulos formados por las diagonales satisfacen la ecuación
K=S+T,{\displaystyle {\sqrt {K}}={\sqrt {S}}+{\sqrt {T}},}
donde K es el área del cuadrilátero. [ 29 ]
  • Los puntos medios de dos lados opuestos del trapecio y la intersección de las diagonales son colineales . [ 30 ]
  • Los ángulos del cuadrilátero ABCD satisfacenpecado⁡Apecado⁡do=pecado⁡Bpecado⁡D.{\displaystyle \sin A\sin C=\sin B\sin D.}[ 31 ]
  • Los cosenos de dos ángulos adyacentes suman 0, al igual que los cosenos de los otros dos ángulos. [ 31 ]
  • Las cotangentes de dos ángulos adyacentes suman 0, al igual que las cotangentes de los otros dos ángulos adyacentes. [ 32 ]
  • Una bimediana divide el cuadrilátero en dos cuadriláteros de áreas iguales. [ 32 ]
  • El doble de la longitud de la bimediana que une los puntos medios de dos lados opuestos es igual a la suma de las longitudes de los otros lados. [ 33 ]

Además, las siguientes propiedades son equivalentes, y cada una implica que los lados opuestos a y b son paralelos:

  • Los lados consecutivos a , c , b , d y las diagonales p , q satisfacen la ecuación [ 34 ].
pag2+q2=do2+d2+2ab.{\displaystyle p^{2}+q^{2}=c^{2}+d^{2}+2ab.}
  • La distancia v entre los puntos medios de las diagonales satisface la ecuación [ 35 ].
v=|a−b|2.{\displaystyle v={\frac {|ab|}{2}}.}

Propiedades

Segmento medio y altura

El segmento medio o mediana de un trapecio es el segmento que une los puntos medios de los lados. Es paralelo a las bases. Su longitud m es igual al promedio de las longitudes de las bases a y b del trapecio, [ 36 ] [ 19 ] [ 37 ] [ 6 ]

metro=a+b2.{\displaystyle m={\frac {a+b}{2}}.}

El segmento medio de un trapecio es una de las dos bimedianas (la otra bimediana divide el trapecio en áreas iguales).

La altura (o altitud) es la distancia perpendicular entre las bases. [ 3 ] En el caso de que las dos bases tengan longitudes diferentes ( a ≠ b ), la altura de un trapecio h se puede determinar por la longitud de sus cuatro lados usando la fórmula [ 38 ]

h=(pag−2a)(pag−2b)(pag−2b−2d)(pag−2b−2do)2|b−a|{\displaystyle h={\frac {\sqrt {(p-2a)(p-2b)(p-2b-2d)(p-2b-2c)}}{2|ba|}}}

donde c y d son las longitudes de las piernas ypag=a+b+do+d{\displaystyle p=a+b+c+d}.

Área

El áreaK{\displaystyle K}El área de un trapecio viene dada por el producto del segmento medio (el promedio de las dos bases) y la altura: K=12(a+b)h{\displaystyle K={\tfrac {1}{2}}(a+b)h} dóndea{\displaystyle a}yb{\displaystyle b}son las longitudes de las bases, yh{\displaystyle h}es la altura (la distancia perpendicular entre estos lados). [ 39 ] Este método se utilizó en la época clásica de la India en el Aryabhatiya de Aryabhata (sección 2.8), obteniendo como caso especial la conocida fórmula para el área de un triángulo , al considerar un triángulo como un trapecio degenerado en el que uno de los lados paralelos se ha reducido a un punto.

El matemático indio del siglo VII, Bhāskara I, derivó la siguiente fórmula para el área de un trapecio con lados consecutivos.a{\displaystyle a},do{\displaystyle c},b{\displaystyle b},d{\displaystyle d}: K=12(a+b)do2−14((b−a)+do2−d2b−a)2{\displaystyle K={\frac {1}{2}}(a+b){\sqrt {c^{2}-{\frac {1}{4}}\left((ba)+{\frac {c^{2}-d^{2}}{ba}}\right)^{2}}}} dóndea{\displaystyle a}yb{\displaystyle b}son paralelos yb>a{\displaystyle b>a}. [ 40 ] Esta fórmula se puede factorizar en una versión más simétrica [ 38 ]

K=a+b4|b−a|(−a+b+do+d)(a−b+do+d)(a−b+do−d)(a−b−do+d).{\displaystyle K={\frac {a+b}{4|ba|}}{\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a-b+cd)(ab-c+d)}}.}

Cuando uno de los lados paralelos se ha reducido a un punto (por ejemplo, a = 0), esta fórmula se reduce a la fórmula de Herón para el área de un triángulo.

Otra fórmula equivalente para el área, que se asemeja más a la fórmula de Herón, es [ 38 ].

K=a+b|b−a|(s−b)(s−a)(s−b−do)(s−b−d){\displaystyle K={\frac {a+b}{|ba|}}{\sqrt {(sb)(sa)(sbc)(sbd)}}}

dóndes=12(a+b+do+d){\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c+d)}es el semiperímetro del trapecio. (Esta fórmula es similar a la fórmula de Brahmagupta , pero difiere de ella en que un trapecio podría no ser cíclico (inscrito en un círculo). La fórmula es también un caso especial de la fórmula de Bretschneider para un cuadrilátero general ).

De la fórmula de Bretschneider se deduce que

K=(ab2−a2b−ad2+bdo2)(ab2−a2b−ado2+bd2)4(b−a)2−(do2+d2−a2−b24)2.{\displaystyle K={\sqrt {{\frac {\left(ab^{2}-a^{2}b-ad^{2}+bc^{2}\right)\left(ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2}\right)}{4(b-a)^{2}}}-\left({\frac {c^{2}+d^{2}-a^{2}-b^{2}}{4}}\right)^{2}}}.}

La bimediana que une los lados paralelos divide el área en dos. De forma más general, cualquier línea trazada a través del punto medio de la mediana, paralela a las bases, que las interseca, divide el área en dos. Cualquier triángulo que conecte los extremos de un cateto con el punto medio del otro cateto también divide el área en dos. [ 41 ]

Diagonales

Las longitudes de las diagonales son pag=ab2−a2b−ado2+bd2b−a,q=ab2−a2b−ad2+bdo2b−a,{\displaystyle {\begin{aligned}p&={\sqrt {\frac {ab^{2}-a^{2}b-ac^{2}+bd^{2}}{b-a}}},\\q&={\sqrt {\frac {ab^{2}-a^{2}b-ad^{2}+bc^{2}}{b-a}}},\end{aligned}}} dóndea{\displaystyle a}es la base corta,b{\displaystyle b}es la base larga, ydo{\displaystyle c}yd{\displaystyle d}son las patas trapezoidales. [ 42 ]

Si el trapecio se divide en cuatro triángulos por sus diagonales AC y BD (como se muestra a la derecha), que se intersecan en O , entonces el área de△{\displaystyle \triangle }AOD es igual a la de△{\displaystyle \triangle }BOC y el producto de las áreas de△{\displaystyle \triangle }AOD y△{\displaystyle \triangle }BOC es igual al de△{\displaystyle \triangle }AOB y△{\displaystyle \triangle }COD . La razón entre las áreas de cada par de triángulos adyacentes es la misma que la razón entre las longitudes de los lados paralelos. [ 38 ]

Si​ℓ{\displaystyle \ell }Si es la longitud del segmento de línea paralelo a las bases, que pasa por la intersección de las diagonales, con un extremo en cada cateto, entoncesℓ{\displaystyle \ell }es la media armónica de las longitudes de las bases: [ 43 ]

1ℓ=12(1a+1b).{\displaystyle {\frac {1}{\ell }}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}\right).}

La línea que pasa por el punto de intersección de los lados no paralelos extendidos y por el punto de intersección de las diagonales, biseca cada base. [ 44 ]

Otras propiedades

El centro de área ( centro de masa para una lámina uniforme ) se encuentra a lo largo del segmento de línea que une los puntos medios de los lados paralelos, a una distancia perpendicular x del lado más largo b dado por [ 45 ].

incógnita=h3(2a+ba+b).{\displaystyle x={\frac {h}{3}}\left({\frac {2a+b}{a+b}}\right).}

El centro del área divide este segmento en la proporción (cuando se toma del lado corto al lado largo) [ 46 ] : pág. 862

a+2b2a+b.{\displaystyle {\frac {a+2b}{2a+b}}.}

Si las bisectrices de los ángulos A y B se intersecan en P , y las bisectrices de los ángulos C y D se intersecan en Q , entonces [ 44 ]

PAGQ=|AD+Bdo−AB−doD|2.{\displaystyle PQ={\frac {|AD+BC-AB-CD|}{2}}.}

Aplicaciones

La regla trapezoidal para la integración numérica
El Templo de Dendur en el Museo Metropolitano de Arte de la ciudad de Nueva York.
Ejemplo de un pronoto trapezoidal delineado en un insecto euforbio.
Carretera 502 de Ontario

En cálculo , la integral definida de una funciónF(incógnita){\displaystyle f(x)}puede aproximarse numéricamente como una suma discreta dividiendo el intervalo de integración en pequeños intervalos uniformes y aproximando el valor de la función en cada intervalo como el promedio de los valores en sus extremos: ∫abF(incógnita)dincógnita≈∑k=1norte12(F(incógnitak−1)+F(incógnitak))Δincógnita,{\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{k=1}^{N}{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}f(x_{k-1})+f(x_{k}){\bigr )}\Delta x,} dóndenorte{\displaystyle N}es el número de intervalos,incógnita0=a{\displaystyle x_{0}=a},incógnitanorte=b{\displaystyle x_{N}=b}, yΔincógnita=(b−a)/norte{\displaystyle \Delta x=(b-a)/N}Gráficamente, esto equivale a aproximar la región bajo la gráfica de la función mediante una colección de trapecios, por lo que este método se denomina regla trapezoidal . [ 47 ]

Cuando se observa un rectángulo en perspectiva desde una posición centrada en un eje pero no en el otro, parece un trapecio isósceles, fenómeno conocido como efecto de clave de bóveda, ya que las claves de bóveda de los arcos suelen ser trapezoidales. Por ejemplo, al fotografiar la fachada rectangular de un edificio desde el suelo, directamente enfrente, con una lente rectilínea , la imagen resultante es un trapecio isósceles. A estas fotografías a veces se les aplica una «transformación de clave de bóveda» para recuperar las formas rectangulares. Los proyectores de vídeo también aplican esta transformación a la imagen grabada antes de la proyección, de modo que la imagen proyectada en una pantalla plana aparece sin distorsiones.

Piazza del Campidoglio vista directamente desde arriba.

Las puertas y ventanas trapezoidales eran el estilo estándar para los incas , aunque se puede encontrar su uso en culturas anteriores de la misma región y no necesariamente se originó con ellas. [ 48 ] [ 49 ] Una almena, un elemento de almena característico de la arquitectura morisca , es trapezoidal. [ 50 ] El rediseño de Miguel Ángel de la Piazza del Campidoglio (ver fotografía a la derecha) incorporó un trapecio que rodea una elipse, dando el efecto de un cuadrado que rodea un círculo cuando se ve en perspectiva a nivel del suelo. [ 51 ] La cinematografía aprovecha los trapecios de forma opuesta, para producir un efecto de escorzo excesivo desde el punto de vista de la cámara, dando la ilusión de mayor profundidad a una habitación en un estudio de cine de la que tiene físicamente el decorado. [ 52 ] Los trapecios también se utilizaron para producir las distorsiones visuales del caligarismo . [ 52 ] Los canales y las zanjas de drenaje suelen tener una sección transversal trapezoidal.

En biología, especialmente en morfología y taxonomía , términos como trapezoidal o trapeciforme suelen ser útiles en descripciones de órganos o formas particulares. [ 53 ]

Los trapecios se utilizan a veces como símbolo gráfico. En los diagramas de circuitos , un trapecio es el símbolo de un multiplexor . [ 54 ] Un trapecio isósceles se utiliza para la forma de las señales de tráfico, por ejemplo, en las carreteras secundarias de Ontario , Canadá. [ 55 ]

Geometría no euclidiana

En geometría esférica o hiperbólica , la suma de los ángulos internos de un cuadrilátero no es de 360°, pero aún se pueden definir cuadriláteros análogos a trapecios, paralelogramos y rectángulos, y además existen algunos tipos nuevos de cuadriláteros que no se distinguen en el caso euclidiano.

Un trapecio esférico o hiperbólico es un cuadrilátero con dos lados opuestos, los catetos, cuyos dos ángulos adyacentes suman la misma cantidad; los otros dos lados son las bases. [ 56 ] Como en la geometría euclidiana, los casos especiales incluyen trapecios isósceles cuyos catetos son iguales (al igual que los ángulos adyacentes a cada base), paralelogramos con dos pares de ángulos opuestos iguales y dos pares de lados opuestos iguales, rombos con dos pares de ángulos opuestos iguales y cuatro lados iguales, rectángulos con cuatro ángulos iguales (no rectos) y dos pares de lados opuestos iguales, y cuadrados con cuatro ángulos iguales (no rectos) y cuatro lados iguales.

Cuando un rectángulo se divide por la mitad siguiendo la línea que une los puntos medios de dos lados opuestos, cada una de las dos piezas resultantes es un trapecio isósceles con dos ángulos rectos, llamado cuadrilátero de Saccheri . Cuando un rectángulo se divide en cuatro partes mediante las dos líneas que unen pares de puntos medios opuestos, cada una de las cuatro piezas resultantes es un cuadrilátero con tres ángulos rectos, llamado cuadrilátero de Lambert . En geometría euclidiana, los cuadriláteros de Saccheri y Lambert son simplemente rectángulos.

Un ejemplo de número trapezoidal: 15 = 4 + 5 + 6

Un número trapezoidal es un conjunto de enteros positivos que se obtiene al sumar consecutivamente dos o más enteros positivos mayores que uno, formando un patrón trapezoidal. [ 57 ]

El problema de las escaleras cruzadas consiste en hallar la distancia entre los lados paralelos de un trapecio recto, dadas las longitudes de las diagonales y la distancia desde el lado perpendicular hasta la intersección de las diagonales. [ 58 ]

Véase también

Notas

  1. ↑ "Trapecio – definición de término matemático – Math Open Reference" . www.mathopenref.com . Consultado el 15 de mayo de 2024 .
  2. ↑ Gardiner, Anthony D.; Bradley, Christopher J. (2005). Geometría euclidiana plana: teoría y problemas . United Kingdom Mathematics Trust. pág. 34. ISBN  9780953682362.
  3. 1 2 3 4 Hopkins 1891 , pág. 33.
  4. ↑ Usiskin y Griffin 2008 , pág. 29 . 
  5. ↑ Alsina & Nelsen 2020 , pág. 90 . 
  6. 1 2 Ringenberg, Lawrence A. (1977). "Coordenadas en un plano". Geometría universitaria . RE Krieger Publishing Company. págs. 161–162 . ISBN  9780882755458.
  7. ↑ Alsina & Nelsen 2020 , pág. 89 . 
  8. ↑ Usiskin y Griffin 2008 , pág. 32 . 
  9. ↑ Craine, Timothy V.; Rubenstein, Rheta N. (1993). "Una jerarquía cuadrilateral para facilitar el aprendizaje en geometría". The Mathematics Teacher . 86 (1): 30– 36. doi : 10.5951/MT.86.1.0030 . JSTOR 27968085 . 
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  22. ↑ Alsina & Nelsen 2020 , pág. 212 . 
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  27. ↑ Josefsson 2013 , Prop. 5.
  28. ↑ Josefsson 2013 , Teorema 6.
  29. ↑ Josefsson 2013 , Teorema 8.
  30. ↑ Josefsson 2013 , Teorema 15.
  31. 1 2 Josefsson 2013 , pág. 25.
  32. 1 2 Josefsson 2013 , pág. 26.
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  34. ↑ Josefsson 2013 , Cor. 11.
  35. ↑ Josefsson 2013 , Teorema 12.
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Bibliografía

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Lecturas adicionales

  • Fraivert, David; Sigler, Avi; Stupel, Moshe (2016). "Propiedades comunes de trapecios y cuadriláteros convexos" . Journal of Mathematical Sciences: Advances and Applications . 38 : 49–71 . doi : 10.18642/jmsaa_7100121635 .
  • "Trapecio" en la Enciclopedia de Matemáticas
  • Weisstein, Eric W. "Trapecio recto" . MathWorld .
  • Definición de trapecio , área de un trapecio , mediana de un trapecio (con animaciones interactivas)
  • Trapecio (Norteamérica) en elsy.at: Curso animado (construcción, circunferencia, área)
  • Regla trapezoidal en métodos numéricos para estudiantes de pregrado de ciencias, tecnología, ingeniería y matemáticas (STEM)
  • Autar Kaw y E. Eric Kalu, Métodos numéricos con aplicaciones (2008)
  • Algunas exploraciones del trapecio en bocetos de geometría dinámica