Ideal (teoría de anillos)

En matemáticas , y más específicamente en teoría de anillos , un ideal de un anillo es un subconjunto especial de sus elementos. Los ideales generalizan ciertos subconjuntos de los números enteros , como los números pares o los múltiplos de 3. La suma y la resta de números pares conservan la paridad, y la multiplicación de un número par por cualquier entero (par o impar) da como resultado un número par; estas propiedades de cierre y absorción son las propiedades que definen un ideal. Un ideal puede usarse para construir un anillo cociente de manera similar a como, en teoría de grupos , se puede usar un subgrupo normal para construir un grupo cociente .

Entre los enteros, los ideales se corresponden uno a uno con los enteros no negativos : en este anillo, cada ideal es un ideal principal que consiste en los múltiplos de un único número no negativo. Sin embargo, en otros anillos, los ideales pueden no corresponderse directamente con los elementos del anillo, y ciertas propiedades de los enteros, cuando se generalizan a anillos, se asocian de forma más natural a los ideales que a los elementos del anillo. Por ejemplo, los ideales primos de un anillo son análogos a los números primos , y el teorema chino del resto puede generalizarse a los ideales. Existe una versión de la factorización prima única para los ideales de un dominio de Dedekind (un tipo de anillo importante en la teoría de números ).

El concepto de ideal en la teoría del orden , relacionado pero distinto, se deriva de la noción de ideal en la teoría de anillos. Un ideal fraccionario es una generalización de un ideal, y los ideales usuales a veces se denominan ideales integrales para mayor claridad.

Ernst Kummer inventó el concepto de números ideales para servir como los factores "faltantes" en anillos de números en los que falla la factorización única; aquí la palabra "ideal" está en el sentido de existir solo en la imaginación, en analogía con objetos "ideales" en geometría como puntos en el infinito. ^{[ 1 ]} En 1876, Richard Dedekind reemplazó el concepto indefinido de Kummer por conjuntos concretos de números, conjuntos que llamó ideales, en la tercera edición del libro de Dirichlet Vorlesungen über Zahlentheorie , al que Dedekind había añadido muchos suplementos. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} Más tarde, la noción fue extendida más allá de los anillos de números al contexto de los anillos de polinomios y otros anillos conmutativos por David Hilbert y especialmente Emmy Noether .

Dado un anillo${\displaystyle R}$, un ideal izquierdo es un subconjunto${\displaystyle I}$de${\displaystyle R}$que es un subgrupo del grupo aditivo de${\displaystyle R}$que es cerrado bajo la multiplicación izquierda por elementos de ⁠${\displaystyle R}$; es decir,${\displaystyle 0\in I}$y por cada${\displaystyle r\in R}$y cada${\displaystyle x,y\in I}$⁠ , uno tiene ^{[ 4 ]}

• ⁠${\displaystyle x+y\in I}$⁠
• ⁠${\displaystyle -x\in I}$⁠
• ⁠${\displaystyle rx\in ​​I}$.​

En otras palabras, un ideal izquierdo es un submódulo izquierdo de${\displaystyle R}$, considerado como un módulo izquierdo sobre sí mismo. ^{[ 5 ]}

Un ideal correcto se define de manera similar, con la condición${\displaystyle rx\in ​​I}$reemplazado por${\displaystyle xr\in I}$. AUn ideal bilateral es un ideal de izquierda que también es un ideal de derecha.

Si el anillo es conmutativo , las definiciones de ideal izquierdo, derecho y bilateral coinciden, y se habla simplemente de un ideal . En el caso no conmutativo, se suele usar "ideal" en lugar de "ideal bilateral".

Dado que un ideal${\displaystyle I}$es un subgrupo abeliano , la relación entre${\displaystyle x}$y​​${\displaystyle y}$definido por

${\displaystyle xy\in I}$

es una relación de equivalencia en${\displaystyle R}$y el conjunto de clases de equivalencia es un grupo abeliano denotado por${\displaystyle R/I}$y llamado el cociente de${\displaystyle R}$por${\displaystyle I}$. ^{[ 6 ]} Si${\displaystyle I}$es un ideal de izquierda o de derecha, el cociente${\displaystyle R/I}$⁠ es izquierda o derecha ⁠${\displaystyle R}$-módulo , respectivamente.

Si el ideal${\displaystyle I}$es bilateral, el cociente${\displaystyle R/I}$es un anillo, ^{[ 7 ]} y la función

${\displaystyle R\to R/I}$

que se asocia a cada elemento de${\displaystyle R}$Su clase de equivalencia es un homomorfismo de anillos sobreyectivo cuyo núcleo es el ideal . ^{[ 8 ]} Recíprocamente, el núcleo de un homomorfismo de anillos es un ideal bilateral. Por lo tanto, los ideales bilaterales son precisamente los núcleos de los homomorfismos de anillos.

(Para mayor brevedad, algunos resultados se presentan únicamente para ideales izquierdos, pero suelen ser también válidos para ideales derechos con los cambios de notación apropiados).

• En un anillo R , el conjunto R mismo forma un ideal bilateral de R llamado ideal unitario . A menudo también se denota por${\displaystyle (1)}$puesto que es precisamente el ideal bilateral generado (véase más abajo) por la unidad${\displaystyle 1_{R}}$⁠ . Además, el conjunto${\displaystyle \{0_{R}\}}$que consta únicamente de la identidad aditiva 0 _R forma un ideal de dos lados llamado ideal cero y se denota por ⁠${\displaystyle (0)}$⁠ . ^{[ nota 1 ]} Todo ideal (izquierdo, derecho o bilateral) contiene el ideal cero y está contenido en el ideal unitario. ^{[ 9 ]}
• Un ideal (izquierdo, derecho o bilateral) que no es el ideal unitario se denomina ideal propio (ya que es un subconjunto propio ). ^{[ 10 ]} Nota: un ideal izquierdo${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$es apropiado si y solo si no contiene un elemento unitario, ya que si${\displaystyle u\in {\mathfrak {a}}}$es un elemento unitario, entonces${\displaystyle r=(ru^{-1})u\in {\mathfrak {a}}}$por cada${\displaystyle r\in R}$⁠ . Normalmente hay muchos ideales adecuados. De hecho, si R es un cuerpo asimétrico , entonces${\displaystyle (0),(1)}$son sus únicos ideales y a la inversa: es decir, un anillo no nulo R es un cuerpo sesgado si${\displaystyle (0),(1)}$son los únicos ideales de izquierda (o derecha). (Prueba: si${\displaystyle x}$es un elemento distinto de cero, entonces el ideal principal izquierdo${\displaystyle Rx}$(ver abajo) es distinto de cero y por lo tanto${\displaystyle Rx=(1)}$; es decir,${\displaystyle yx=1}$para algún valor distinto de cero${\displaystyle y}$⁠ . Asimismo,${\displaystyle zy=1}$para algún valor distinto de cero${\displaystyle z}$. Entonces${\displaystyle z=z(yx)=(zy)x=x}$.)
• Los números pares forman un ideal en el anillo.${\displaystyle \mathbb {Z} }$de todos los enteros, ya que la suma de dos enteros pares cualesquiera es par, y el producto de cualquier entero por un entero par también es par; este ideal se suele denotar por ⁠${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$⁠ . De forma más general, el conjunto de todos los enteros divisibles por un entero fijo.${\displaystyle n}$es un ideal denotado ⁠${\displaystyle n\mathbb {Z} }$⁠ . De hecho, todo ideal no nulo del anillo${\displaystyle \mathbb {Z} }$se genera por su elemento positivo más pequeño, como consecuencia de la división euclidiana , por lo que${\displaystyle \mathbb {Z} }$es un dominio ideal principal . ^{[ 9 ]}
• El conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales que son divisibles por el polinomio${\displaystyle x^{2}+1}$es un ideal en el anillo de todos los polinomios de coeficientes reales .${\displaystyle \mathbb {R} [x]}$.​
• Toma un anillo${\displaystyle R}$y entero positivo${\displaystyle n}$⁠ . Para cada ⁠${\displaystyle 1\leq i\leq n}$⁠ , el conjunto de todos${\displaystyle n\times n}$matrices con entradas en${\displaystyle R}$cuyo${\displaystyle i}$La -ésima fila es cero, es un ideal derecho en el anillo.${\displaystyle M_{n}(R)}$de todos${\displaystyle n\times n}$matrices con entradas en ⁠${\displaystyle R}$⁠ . No es un ideal de izquierda. Del mismo modo, para cada ⁠${\displaystyle 1\leq j\leq n}$⁠ , el conjunto de todos${\displaystyle n\times n}$matrices cuyas${\displaystyle j}$La -ésima columna es cero es un ideal izquierdo pero no un ideal derecho.
• El anillo${\displaystyle C(\mathbb {R} )}$de todas las funciones continuas${\displaystyle f}$de${\displaystyle \mathbb {R} }$a${\displaystyle \mathbb {R} }$La multiplicación punto por punto contiene el ideal de todas las funciones continuas.${\displaystyle f}$de tal manera que${\displaystyle f(1)=0}$⁠ . ^{[ 11 ]} Otro ideal en${\displaystyle C(\mathbb {R} )}$está dada por aquellas funciones que se anulan para argumentos suficientemente grandes, es decir, aquellas funciones continuas.${\displaystyle f}$para los cuales existe un número${\displaystyle L>0}$de tal manera que${\displaystyle f(x)=0}$siempre que${\displaystyle \vert x\vert >L}$.​
• Un anillo se denomina anillo simple si es distinto de cero y no tiene ideales de dos lados distintos de ⁠${\displaystyle (0),(1)}$Por lo tanto, un cuerpo asimétrico es simple y un anillo conmutativo simple es un cuerpo. El anillo de matrices sobre un cuerpo asimétrico es un anillo simple.
• Si${\displaystyle f:R\to S}$es un homomorfismo de anillos , entonces el núcleo${\displaystyle \ker(f)=f^{-1}(0_{S})}$es un ideal de dos caras de${\displaystyle R}$⁠ . ^{[ 9 ]} Por definición, ⁠${\displaystyle f(1_{R})=1_{S}}$⁠ , y por lo tanto si${\displaystyle S}$no es el anillo cero (por lo tanto ⁠${\displaystyle 1_{S}\neq 0_{S}}$) , entonces${\displaystyle \ker(f)}$es un ideal propio. Más generalmente, para cada ideal izquierdo I de S , la preimagen${\displaystyle f^{-1}(I)}$es un ideal izquierdo. Si I es un ideal izquierdo de R , entonces${\displaystyle f(I)}$es un ideal izquierdo del subanillo${\displaystyle f(R)}$de S : a menos que f sea sobreyectiva,${\displaystyle f(I)}$no tiene por qué ser un ideal de S ; véase también §  Extensión y contracción de un ideal .
• Correspondencia ideal : Dado un homomorfismo de anillos sobreyectivo${\displaystyle f:R\to S}$⁠ , existe una correspondencia biyectiva que preserva el orden entre los ideales izquierdo (respectivamente, derecho, bilateral) de${\displaystyle R}$que contiene el núcleo de${\displaystyle f}$y los ideales de izquierda (respectivamente, derecha, bilateral) de${\displaystyle S}$: la correspondencia viene dada por${\displaystyle I\mapsto f(I)}$y la preimagen${\displaystyle J\mapsto f^{-1}(J)}$Además , para los anillos conmutativos, esta correspondencia biyectiva se restringe a ideales primos, ideales maximales e ideales radicales (véase la sección Tipos de ideales para las definiciones de estos ideales).
• Si M es un R - módulo izquierdo y${\displaystyle S\subset M}$un subconjunto, luego el aniquilador${\displaystyle \operatorname {Ann} _{R}(S)=\{r\in R\mid rs=0,s\in S\}}$de S es un ideal izquierdo. Ideales dados${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}}$de un anillo conmutativo R , el R -aniquilador de${\displaystyle ({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}})/{\mathfrak {a}}}$es un ideal de R llamado cociente ideal de${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$por${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$y se denota por ⁠${\displaystyle ({\mathfrak {a}}:{\mathfrak {b}})}$; es un ejemplo de idealizador en álgebra conmutativa.
• Dejar${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i},i\in S}$ser una cadena ascendente de ideales izquierdos en un anillo R ; es decir,${\displaystyle S}$es un conjunto totalmente ordenado y${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{i}\subset {\mathfrak {a}}_{j}}$para cada uno${\displaystyle i<j}$⁠ . Entonces la unión${\displaystyle \textstyle \bigcup _{i\in S}{\mathfrak {a}}_{i}}$es un ideal izquierdo de R. (Nota: este hecho sigue siendo cierto incluso si R no tiene la unidad 1).
• El hecho anterior junto con el lema de Zorn prueba lo siguiente: si${\displaystyle E\subset R}$es un subconjunto posiblemente vacío y${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}\subset R}$es un ideal izquierdo que es disjunto de E , entonces hay un ideal que es maximal entre los ideales que contiene${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}}$y disjunto de E. (De nuevo, esto sigue siendo válido si el anillo R carece de la unidad 1). Cuando${\displaystyle R\neq 0}$, tomando${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{0}=(0)}$y​${\displaystyle E=\{1\}}$⁠ , en particular, existe un ideal izquierdo que es maximal entre los ideales izquierdos propios (a menudo llamado simplemente ideal izquierdo maximal); véase el teorema de Krull para más información.
• Un ideal izquierdo (respectivamente, derecho, bilateral) generado por un único elemento x se denomina ideal izquierdo principal (respectivamente, derecho, bilateral) generado por x y se denota por${\displaystyle Rx}$(resp. ⁠${\displaystyle xR,RxR}$) . El principal ideal bilateral${\displaystyle RxR}$a menudo también se denota por ⁠${\displaystyle (x)}$o​${\displaystyle \langle x\rangle }$.
• Una unión arbitraria de ideales no tiene por qué ser un ideal, pero aún así se cumple lo siguiente: dado un subconjunto posiblemente vacío X de R , existe el ideal izquierdo más pequeño que contiene a X , llamado ideal izquierdo generado por X y se denota por ⁠${\displaystyle RX}$⁠ . Tal ideal existe puesto que es la intersección de todos los ideales izquierdos que contienen X . Equivalentemente,${\displaystyle RX}$es el conjunto de todas las combinaciones lineales izquierdas (finitas) de R de elementos de X sobre R :$${\displaystyle RX=\{r_{1}x_{1}+\dots +r_{n}x_{n}\mid n\in \mathbb {N} ,r_{i}\in R,x_{i}\in X\}}$$(ya que tal intervalo es el ideal izquierdo más pequeño que contiene a X. ) ^{[ nota 2 ]} Un ideal derecho (respectivamente, bilateral) generado por X se define de manera similar. Para "bilateral", hay que usar combinaciones lineales de ambos lados; es decir,$${\displaystyle RXR=\{r_{1}x_{1}s_{1}+\dots +r_{n}x_{n}s_{n}\mid n\in \mathbb {N} ,r_{i}\in R,s_{i}\in R,x_{i}\in X\}.}$$Si${\displaystyle X=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}}$es un conjunto finito , entonces${\displaystyle RXR}$también se escribe como ⁠${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$o​${\displaystyle \langle x_{1},...,x_{n}\rangle }$. De forma más general, el ideal bilateral generado por un conjunto (finito o infinito) de elementos de anillo indexados${\displaystyle X=\{x_{i}\}_{i\in I}}$se denota${\displaystyle (X)=(x_{i})_{i\in I}}$o${\displaystyle \langle X\rangle =\langle x_{i}\rangle _{i\in I}}$.
• Existe una correspondencia biyectiva entre ideales y relaciones de congruencia (relaciones de equivalencia que respetan la estructura del anillo) en el anillo: Dado un ideal${\displaystyle I}$de un anillo${\displaystyle R}$⁠ , deja${\displaystyle x\sim y}$si​${\displaystyle x-y\in I}$Entonces​${\displaystyle \sim }$es una relación de congruencia en ⁠${\displaystyle R}$⁠ . Por el contrario, dada una relación de congruencia${\displaystyle \sim }$en​${\displaystyle R}$⁠ , deja ⁠${\displaystyle I=\{x\in R:x\sim 0\}}$Entonces​${\displaystyle I}$es un ideal de${\displaystyle R}$.​

Para simplificar la descripción, se supone que todos los anillos son conmutativos. El caso no conmutativo se analiza en detalle en los artículos correspondientes.

Los ideales son importantes porque aparecen como núcleos de homomorfismos de anillos y permiten definir anillos cociente . Se estudian diferentes tipos de ideales porque pueden utilizarse para construir distintos tipos de anillos cociente.

• Ideal maximal : Un ideal propio I se denomina ideal maximal si no existe otro ideal propio J tal que I sea un subconjunto propio de J. El anillo cociente de un ideal maximal es, en general, un anillo simple y es un cuerpo para anillos conmutativos. ^{[ 12 ]}
• Ideal mínimo : Un ideal distinto de cero se denomina mínimo si no contiene ningún otro ideal distinto de cero.
• Ideal cero : el ideal${\displaystyle \{0\}}$. ^{[ 13 ]}
• Ideal unitario : todo el anillo (siendo el ideal generado por${\displaystyle 1}$). ^{[ 9 ]}
• Ideal primordial : Un ideal apropiado${\displaystyle I}$Se denomina ideal primo si para cualquier${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$en​${\displaystyle R}$, si${\displaystyle ab}$está en${\displaystyle I}$⁠ , entonces al menos uno de${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$está en${\displaystyle I}$⁠ . El anillo de factores de un ideal primo es un anillo primo en general y es un dominio de integridad para anillos conmutativos. ^{[ 14 ]}
• Ideal radical o ideal semiprimo : Un ideal propio I se llama radical o semiprimo si para cualquier a en${\displaystyle R}$Si a ⁿ está en I para algún n , entonces a está en I. El anillo de factores de un ideal radical es un anillo semiprimo para anillos generales y es un anillo reducido para anillos conmutativos.
• Ideal primario : Un ideal I se denomina ideal primario si para todo a y b en R , si ab pertenece a I , entonces al menos uno de a y b ⁿ pertenece a I para algún número natural n . Todo ideal primo es primario, pero no a la inversa. Un ideal primario semiprimo es primo.
• Ideal principal : Un ideal generado por un elemento. ^{[ 15 ]}
• Ideal generado de forma finita : Este tipo de ideal se genera de forma finita como un módulo.
• Ideal primitivo : Un ideal primitivo izquierdo es el aniquilador de un módulo izquierdo simple .
• Ideal irreducible : Se dice que un ideal es irreducible si no puede escribirse como una intersección de ideales que lo contengan propiamente.
• Ideales comaximales : Se dice que dos ideales I y J son comaximales si${\displaystyle x+y=1}$para algunos${\displaystyle x\in I}$y​${\displaystyle y\in J}$.​
• Ideal regular : Este término tiene múltiples usos. Consulte el artículo para ver una lista.
• Ideal nulo : Un ideal es un ideal nulo si cada uno de sus elementos es nilpotente.
• Ideal nilpotente : Alguna parte de su poder es cero.
• Ideal de parámetros : un ideal generado por un sistema de parámetros .
• Ideal perfecto : Un ideal propio yo en un anillo noetheriano${\displaystyle R}$Se denomina ideal perfecto si su grado es igual a la dimensión proyectiva del anillo cociente asociado, ^{[ 16 ]} ⁠${\displaystyle {\textrm {grade}}(I)={\textrm {proj}}\dim(R/I)}$⁠ . Un ideal perfecto es puro .
• Ideal no mezclado : Un ideal propio I en un anillo noetheriano${\displaystyle R}$Se denomina ideal no mezclado (en altura) si la altura de I es igual a la altura de cada primo asociado P de${\displaystyle R/I}$. (Esto es más fuerte que decir que${\displaystyle R/I}$es equidimensional . Véase también anillo equidimensional .

Otros dos términos importantes que utilizan "ideal" no siempre representan los ideales de su anillo. Consulte sus respectivos artículos para obtener más detalles:

• Ideal fraccional : Esto se define generalmente cuando${\displaystyle R}$es un dominio conmutativo con campo cociente${\displaystyle K}$. A pesar de sus nombres, los ideales fraccionarios no son necesariamente ideales. Un ideal fraccionario de${\displaystyle R}$es un${\displaystyle R}$-submódulo​${\displaystyle I}$de​${\displaystyle K}$para el cual existe un valor distinto de cero${\displaystyle r\in R}$de tal manera que${\displaystyle rI\subseteq R}$. Si el ideal fraccionario está contenido completamente en${\displaystyle R}$, entonces es verdaderamente un ideal de${\displaystyle R}$.
• Ideal invertible : Un ideal invertible A se define generalmentecomo un ideal fraccionario para el cual existe otro ideal fraccionario B tal que AB = BA = R. Algunos autores también pueden aplicar el término "ideal invertible" a ideales de anillo ordinarios A y B con AB = BA = R en anillos distintos de los dominios.

La suma y el producto de ideales se definen de la siguiente manera. Para ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$y​${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$⁠ , ideales izquierdos (respectivamente, derechos) de un anillo R , su suma es

${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}:=\{a+b\mid a\in {\mathfrak {a}}{\mbox{ and }}b\in {\mathfrak {b}}\},}$

que es un ideal de izquierda (respectivamente, de derecha) y, si${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}}$son de dos caras,

${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}:=\{a_{1}b_{1}+\dots +a_{n}b_{n}\mid a_{i}\in {\mathfrak {a}}{\mbox{ and }}b_{i}\in {\mathfrak {b}},i=1,2,\dots ,n;{\mbox{ for }}n=1,2,\dots \},}$

es decir, el producto es el ideal generado por todos los productos de la forma ab con a en${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$y b en ⁠${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$.​

Nota${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}}$ is the smallest left (resp. right) ideal containing both ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ and ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ (or the union ⁠${\displaystyle {\mathfrak {a}}\cup {\mathfrak {b}}}$⁠), while the product ${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}$ is contained in the intersection of ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ and ⁠${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$⁠.

The distributive law holds for two-sided ideals ⁠${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}},{\mathfrak {c}}}$⁠,

• ⁠${\displaystyle {\mathfrak {a}}({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {c}})={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}}$⁠,
• ⁠${\displaystyle ({\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}){\mathfrak {c}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}+{\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}}$⁠.

If a product is replaced by an intersection, a partial distributive law holds:

${\displaystyle {\mathfrak {a}}\cap ({\mathfrak {b}}+{\mathfrak {c}})\supset {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}+{\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {c}}}$

where the equality holds if ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ contains ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$ or ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$.

Remark: The sum and the intersection of ideals is again an ideal; with these two operations as join and meet, the set of all ideals of a given ring forms a completemodular lattice. The lattice is not, in general, a distributive lattice. The three operations of intersection, sum (or join), and product make the set of ideals of a commutative ring into a quantale.

If ${\displaystyle {\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}}$ are ideals of a commutative ring R, then ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}$ in the following two cases (at least)

• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=(1)}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ is generated by elements that form a regular sequence modulo ⁠${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$⁠.

(More generally, the difference between a product and an intersection of ideals is measured by the Tor functor: ⁠${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(R/{\mathfrak {a}},R/{\mathfrak {b}})=({\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}})/{\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}$⁠.^[17])

An integral domain is called a Dedekind domain if for each pair of ideals ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {b}}}$, there is an ideal ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ such that ⁠${\displaystyle {\mathfrak {\mathfrak {a}}}={\mathfrak {b}}{\mathfrak {c}}}$⁠.^[18] It can then be shown that every nonzero ideal of a Dedekind domain can be uniquely written as a product of maximal ideals, a generalization of the fundamental theorem of arithmetic.

In ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ we have

${\displaystyle (n)\cap (m)=\operatorname {lcm} (n,m)\mathbb {Z} }$

since ${\displaystyle (n)\cap (m)}$ is the set of integers that are divisible by both ${\displaystyle n}$ and ⁠${\displaystyle m}$⁠.

Let ${\displaystyle R=\mathbb {C} [x,y,z,w]}$ and let ⁠${\displaystyle {\mathfrak {a}}=(z,w),{\mathfrak {b}}=(x+z,y+w),{\mathfrak {c}}=(x+z,w)}$⁠. Then,

• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}=(z,w,x+z,y+w)=(x,y,z,w)}$ and ${\displaystyle {\mathfrak {a}}+{\mathfrak {c}}=(z,w,x)}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}=(z(x+z),z(y+w),w(x+z),w(y+w))=(z^{2}+xz,zy+wz,wx+wz,wy+w^{2})}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}=(xz+z^{2},zw,xw+zw,w^{2})}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {b}}={\mathfrak {a}}{\mathfrak {b}}}$ while ${\displaystyle {\mathfrak {a}}\cap {\mathfrak {c}}=(w,xz+z^{2})\neq {\mathfrak {a}}{\mathfrak {c}}}$

In the first computation, we see the general pattern for taking the sum of two finitely generated ideals, it is the ideal generated by the union of their generators. In the last three we observe that products and intersections agree whenever the two ideals intersect in the zero ideal. These computations can be checked using Macaulay2.^[19][20][21]

Ideals appear naturally in the study of modules, especially in the form of a radical.

For simplicity, we work with commutative rings but, with some changes, the results are also true for non-commutative rings.

Let R be a commutative ring. By definition, a primitive ideal of R is the annihilator of a (nonzero) simple R-module. The Jacobson radical${\displaystyle J=\operatorname {Jac} (R)}$de R es la intersección de todos los ideales primitivos. Equivalentemente,

${\displaystyle J=\bigcap _{{\mathfrak {m}}{\text{ maximal ideals}}}{\mathfrak {m}}.}$

De hecho, si${\displaystyle M}$es un módulo simple y x es un elemento distinto de cero en M , entonces${\displaystyle Rx=M}$y${\displaystyle R/\operatorname {Ann} (M)=R/\operatorname {Ann} (x)\simeq M}$, significado${\displaystyle \operatorname {Ann} (M)}$es un ideal máximo. Por el contrario, si${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$es un ideal máximo, entonces${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$es el aniquilador del módulo R simple ⁠${\displaystyle R/{\mathfrak {m}}}$También existe otra caracterización (la demostración no es difícil):

${\displaystyle J=\{x\in R\mid 1-yx\,{\text{ is a unit element for every }}y\in R\}.}$

Para un anillo no necesariamente conmutativo, es un hecho general que${\displaystyle 1-yx}$es un elemento unitario si y solo si${\displaystyle 1-xy}$es (ver el enlace) y por lo tanto esta última caracterización muestra que el radical puede definirse tanto en términos de ideales primitivos de izquierda como de derecha.

El siguiente hecho simple pero importante ( lema de Nakayama ) está incorporado a la definición de un radical de Jacobson: si M es un módulo tal que${\displaystyle JM=M}$⁠ , entonces M no admite un submódulo maximal , ya que si existe un submódulo maximal ⁠${\displaystyle L\subsetneq M}$⁠ ,${\displaystyle J\cdot (M/L)=0}$y así${\displaystyle M=JM\subset L\subsetneq M}$⁠ , una contradicción. Dado que un módulo finitamente generado no nulo admite un submódulo maximal, en particular, se tiene:

Si${\displaystyle JM=M}$y M es finitamente generado, entonces${\displaystyle M=0}$.​

Un ideal maximal es un ideal primo y por lo tanto uno tiene

${\displaystyle \operatorname {nil} (R)=\bigcap _{{\mathfrak {p}}{\text{ prime ideals }}}{\mathfrak {p}}\subset \operatorname {Jac} (R)}$

donde la intersección de la izquierda se llama nilradical de R. Resulta que,${\displaystyle \operatorname {nil} (R)}$es también el conjunto de elementos nilpotentes de R.

Si R es un anillo artiniano , entonces${\displaystyle \operatorname {Jac} (R)}$es nilpotente y${\displaystyle \operatorname {nil} (R)=\operatorname {Jac} (R)}$⁠ . (Prueba: primero observe que el DCC implica${\displaystyle J^{n}=J^{n+1}}$para algún n . Si (DCC)${\displaystyle {\mathfrak {a}}\supsetneq \operatorname {Ann} (J^{n})}$es un ideal apropiadamente mínimo sobre el último, entonces${\displaystyle J\cdot ({\mathfrak {a}}/\operatorname {Ann} (J^{n}))=0}$. Es decir ,${\displaystyle J^{n}{\mathfrak {a}}=J^{n+1}{\mathfrak {a}}=0}$( una contradicción.)

Dejar${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$Sean dos anillos conmutativos , y sea${\displaystyle f:A\to B}$sea ​​un homomorfismo de anillos . Si${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$es un ideal en${\displaystyle A}$, entonces${\displaystyle f({\mathfrak {a}})}$no tiene por qué ser un ideal en${\displaystyle B}$(por ejemplo, tomar${\displaystyle f}$ser la inclusión del anillo de los enteros${\displaystyle \mathbb {Z} }$en el campo de los racionales${\displaystyle \mathbb {Q} }$). La extensión${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}}$de${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$en${\displaystyle B}$se define como el ideal en${\displaystyle B}$generado por${\displaystyle f({\mathfrak {a}})}$⁠ . Explícitamente,

${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}=f({\mathfrak {a}})B={\Big \{}\sum y_{i}f(x_{i}):x_{i}\in {\mathfrak {a}},y_{i}\in B{\Big \}}.}$

Por abuso de notación,${\displaystyle {\mathfrak {a}}B}$es otra notación común para esta extensión ideal.

Si${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$es un ideal de${\displaystyle B}$, entonces${\displaystyle f^{-1}({\mathfrak {b}})}$siempre es un ideal de${\displaystyle A}$, llamada la contracción${\displaystyle {\mathfrak {b}}^{c}}$de${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$a${\displaystyle A}$.

Arrogante${\displaystyle f:A\to B}$es un homomorfismo de anillos,${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$es un ideal en${\displaystyle A}$,${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$es un ideal en${\displaystyle B}$, entonces:

• ${\displaystyle {\mathfrak {b}}}$es primordial en${\displaystyle B}$${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle {\mathfrak {b}}^{c}}$es primordial en${\displaystyle A}$,
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{ec}\supseteq {\mathfrak {a}},}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {b}}^{ce}\subseteq {\mathfrak {b}}.}$

Es falso, en general, que${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ser primo (o máximo) en${\displaystyle A}$implica que${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}}$es primo (o máximo) en${\displaystyle B}$Muchos ejemplos clásicos de esto provienen de la teoría algebraica de números. Por ejemplo, considérese la incrustación${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} \left\lbrack i\right\rbrack .}$En${\displaystyle B=\mathbb {Z} \left\lbrack i\right\rbrack }$, el elemento 2 factores como${\displaystyle 2=(1+i)(1-i)}$donde (se puede demostrar) ninguno de${\displaystyle 1+i,1-i}$son unidades en${\displaystyle B}$. Entonces${\displaystyle (2)^{e}}$no es principal en${\displaystyle B}$(y por lo tanto tampoco máximo). De hecho,${\displaystyle (1\pm i)^{2}=\pm 2i}$muestra que${\displaystyle (1+i)=((1-i)-(1-i)^{2})}$,​​${\displaystyle (1-i)=((1+i)-(1+i)^{2})}$, y por lo tanto${\displaystyle (2)^{e}=(1+i)^{2}}$.​

Por otro lado, si${\displaystyle f}$es sobreyectiva y${\displaystyle {\mathfrak {a}}\supseteq \ker f}$entonces:

• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{ec}={\mathfrak {a}}}$y${\displaystyle {\mathfrak {b}}^{ce}={\mathfrak {b}},}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$es un ideal primordial en${\displaystyle A}$${\displaystyle \Leftrightarrow }$${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}}$es un ideal primordial en${\displaystyle B}$,
• ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$es un ideal máximo en${\displaystyle A}$${\displaystyle \Leftrightarrow }$${\displaystyle {\mathfrak {a}}^{e}}$es un ideal máximo en${\displaystyle B}$.

Nota : Deje${\displaystyle K}$ser una extensión de campo de${\displaystyle L}$y dejar${\displaystyle B}$y${\displaystyle A}$sean los anillos de enteros de${\displaystyle K}$y${\displaystyle L}$, respectivamente. Entonces${\displaystyle B}$es una extensión integral de${\displaystyle A}$y dejamos${\displaystyle f}$ser el mapa de inclusión de${\displaystyle A}$a${\displaystyle B}$El comportamiento de un ideal primo${\displaystyle {\mathfrak {a}}={\mathfrak {p}}}$de${\displaystyle A}$La extensión bajo es uno de los problemas centrales de la teoría algebraica de números .

Lo siguiente resulta útil en ocasiones: ^{[ 22 ]} un ideal primo${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$es una contracción de un ideal primo si y solo si${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}^{ec}}$. (Prueba: Suponiendo esto último, observe${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{e}B_{\mathfrak {p}}=B_{\mathfrak {p}}\Rightarrow {\mathfrak {p}}^{e}}$interseca${\displaystyle A-{\mathfrak {p}}}$, una contradicción. Ahora, los ideales primordiales de${\displaystyle B_{\mathfrak {p}}}$corresponden a los de${\displaystyle B}$que están disjuntos de${\displaystyle A-{\mathfrak {p}}}$Por lo tanto, existe un ideal primordial.${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$de${\displaystyle B}$, disjunto de${\displaystyle A-{\mathfrak {p}}}$, de tal manera que${\displaystyle {\mathfrak {q}}B_{\mathfrak {p}}}$es un ideal máximo que contiene${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{e}B_{\mathfrak {p}}}$. Luego se comprueba que${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$yace sobre${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$Lo contrario es obvio.

Los ideales pueden generalizarse a cualquier objeto monoide .${\displaystyle (R,\otimes )}$, donde${\displaystyle R}$es el objeto donde se ha olvidado la estructura monoide . Un ideal izquierdo de${\displaystyle R}$es un subobjeto${\displaystyle I}$que "absorbe la multiplicación desde la izquierda por elementos de ⁠${\displaystyle R}$⁠ "; es decir,${\displaystyle I}$es un ideal izquierdo si satisface las dos condiciones siguientes:

1. ${\displaystyle I}$es un subobjeto de${\displaystyle R}$
2. Por cada${\displaystyle r\in (R,\otimes )}$y cada${\displaystyle x\in (I,\otimes )}$⁠ , el producto${\displaystyle r\otimes x}$está en${\displaystyle (I,\otimes )}$.​

Un ideal correcto se define con la condición "${\displaystyle r\otimes x\in (I,\otimes )}$" reemplazado por " '${\displaystyle x\otimes r\in (I,\otimes )}$⁠ ". Un ideal bilateral es un ideal izquierdo que también es un ideal derecho, y a veces se le llama simplemente ideal. Cuando${\displaystyle R}$es un objeto monoide conmutativo respectivamente, las definiciones de ideal izquierdo, derecho y bilateral coinciden, y el término ideal se usa solo.

• aritmética modular
• Teorema de isomorfismo de Noether
• Teorema del ideal primo de Boole
• Teoría ideal
• Ideal (teoría del orden)
• norma ideal
• División de ideales primos en extensiones de Galois
• Gavilla ideal

• Levinson, Jake (14 de julio de 2014). "¿La interpretación geométrica para la extensión de ideales?" . Stack Exchange .