Prisma (geometría)

• Un prisma rectangular recto (con base rectangular) también se llama cuboide o, informalmente, caja rectangular . Un prisma rectangular recto tiene el símbolo de Schläfli { }×{ }×{ }.
• Un prisma cuadrado recto (con base cuadrada) también se denomina cuboide cuadrado o, informalmente, caja cuadrada .

Nota: algunos textos pueden aplicar el término prisma rectangular o prisma cuadrado tanto a un prisma de base rectangular recta como a un prisma de base cuadrada recta.

Un prisma regular es un prisma con bases regulares .

Un prisma uniforme o semirregular es un prisma recto con bases regulares y todas las aristas de la misma longitud.

Por lo tanto, todas las caras laterales de un prisma uniforme son cuadrados .

Así, todas las caras de un prisma uniforme son polígonos regulares. Además, dichos prismas son isogonales ; por lo tanto, son poliedros uniformes . Forman una de las dos series infinitas de poliedros semirregulares , siendo la otra serie la formada por los antiprismas .

Un prisma n -gonal uniforme tiene el símbolo de Schläfli t{2, n }.

El volumen de un prisma es el producto del área de la base por la altura, es decir, la distancia entre las dos caras de la base (en el caso de un prisma no recto, tenga en cuenta que esto se refiere a la distancia perpendicular).

Por lo tanto, el volumen es:

${\displaystyle V=Bh,}$

donde B es el área de la base y h es la altura.

Por lo tanto , el volumen de un prisma cuya base es un polígono regular de n lados con longitud de lado s es: $${\displaystyle V={\frac {n}{4}}hs^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}.}$$

El área de la superficie de un prisma recto es:

${\displaystyle 2B+Ph,}$

donde B es el área de la base, h la altura y P el perímetro de la base .

Por lo tanto , el área de la superficie de un prisma recto cuya base es un polígono regular de n lados con longitud de lado s y altura h es:

${\displaystyle A={\frac {n}{2}}s^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}+nsh.}$

El grupo de simetría de un prisma recto de n lados con base regular es D _{n h} de orden 4 n , excepto en el caso de un cubo, que tiene el grupo de simetría mayor O _h de orden 48, que tiene tres versiones de D _4h como subgrupos . El grupo de rotación es D _n de orden 2 n , excepto en el caso de un cubo, que tiene el grupo de simetría mayor O de orden 24, que tiene tres versiones de D ₄ como subgrupos.

El grupo de simetría D _{n h} contiene inversión si y solo si n es par.

Los hosoedros y diedros también poseen simetría diedral, y un prisma n -gonal puede construirse mediante la truncación geométrica de un hosoedro n -gonal, así como mediante la cantelación o expansión de un diedro n -gonal.

Un prisma truncado se forma cuando un prisma se corta con un plano que no es paralelo a sus bases. Las bases de un prisma truncado no son congruentes y sus caras no son paralelogramos. ^{[ 7 ]}

Un prisma retorcido es un poliedro no convexo construido a partir de un prisma uniforme de n lados , cuyas caras laterales están bisecadas por la diagonal del cuadrado, mediante la torsión de la parte superior, generalmente (pero no necesariamente) en π/n radianes (180 / n grados ) . Si las bisectrices están inclinadas hacia la izquierda, al girar la base superior hacia la derecha (mirando la parte superior del prisma) en un ángulo pequeño se obtiene un poliedro no convexo, y al girarla hacia la izquierda, un poliedro convexo (véase el prisma cuadrado retorcido en la imagen). Si las bisectrices están inclinadas hacia la derecha, al girar la base superior hacia la izquierda se obtiene un poliedro no convexo, y hacia la derecha, uno convexo (véase el prisma dodecagonal retorcido). ^{[ 8 ] [ 9 ]}

Un prisma retorcido no puede descomponerse en tetraedros sin añadir nuevos vértices. El prisma retorcido más simple tiene bases triangulares y se denomina poliedro de Schönhardt .

Un prisma retorcido n -gonal es topológicamente idéntico al antiprisma uniforme n -gonal , pero tiene la mitad del grupo de simetría : D _n , [ n ,2] ⁺ , orden 2 n . Puede considerarse un antiprisma no convexo, con tetraedros eliminados entre pares de triángulos. Cualquier prisma retorcido n- gonal es un antiprisma, por lo que el prisma cuadrado retorcido y el prisma dodecagonal retorcido que se muestran en la imagen son ambos antiprismas.

Un tronco de cono es una construcción similar a un prisma, con caras laterales trapezoidales y polígonos superior e inferior de diferente tamaño.

Un prisma estrellado es un poliedro no convexo formado por dos caras idénticas en forma de estrella , una superior y otra inferior, paralelas y desplazadas una distancia, conectadas por caras rectangulares. Un prisma estrellado uniforme tendrá el símbolo de Schläfli { p / q } × {p}, con p rectángulos y 2 { p / q } caras. Es topológicamente idéntico a un prisma p -gonal.

Un prisma cruzado es un poliedro no convexo construido a partir de un prisma, donde los vértices de una base se invierten alrededor del centro de dicha base (o se rotan 180°). Esto transforma las caras laterales rectangulares en rectángulos cruzados . Para una base poligonal regular, la apariencia es la de un reloj de arena n -gonal . Todas las aristas oblicuas pasan por un único centro del cuerpo. Nota: ningún vértice se encuentra en este centro. Un prisma cruzado es topológicamente idéntico a un prisma n -gonal.

Un prisma toroidal es un poliedro no convexo como un prisma cruzado , pero sin caras base inferior y superior, y con caras laterales rectangulares simples que cierran el poliedro. Esto solo se puede hacer para polígonos base de lados pares. Estos son toros topológicos, con característica de Euler cero. La red poliédrica topológica se puede cortar de dos filas de un teselado cuadrado (con configuración de vértices 4.4.4.4 ): una banda de n cuadrados, cada uno unido a un rectángulo cruzado . Un prisma toroidal n -gonal tiene 2 n vértices, 2 n caras: n cuadrados y n rectángulos cruzados, y 4 n aristas. Es topológicamente autodual .

Un politopo prismático es una generalización de un prisma en dimensiones superiores. Un politopo prismático n- dimensional se construye a partir de dos politopos ( n -1 )-dimensionales, trasladados a la siguiente dimensión.

Los elementos prismáticos n -politópicos se duplican a partir de los elementos ( n -1 )-politópicos y luego se crean nuevos elementos a partir del siguiente elemento inferior.

Consideremos un politopo de n caras con F _i i elementos ( i = 0, ..., n ). Su prisma politopo de ( n + 1 ) caras tendrá 2 F _i + F _{i −1} i elementos. (Con F ₋₁ = 0 y F _n = 1 ).

Por dimensión:

• Consideremos un polígono con n vértices y n aristas. Su prisma tiene 2n vértices , 3n aristas y 2 + n caras.
• Consideremos un poliedro con V vértices, E aristas y F caras. Su prisma tiene 2 V vértices, 2 E + V aristas, 2 F + E caras y 2 + F celdas.
• Consideremos un policoro con V vértices, E aristas, F caras y C celdas. Su prisma tiene 2 V vértices, 2 E + V aristas, 2 F + E caras, 2 C + F celdas y 2 + C hiperceldas.

Un n -politopo regular representado por el símbolo de Schläfli { p , q ,..., t } puede formar un ( n + 1 )-politopo prismático uniforme representado por un producto cartesiano de dos símbolos de Schläfli : { p , q ,..., t }×{ }.

Por dimensión:

• Un prisma 0-politópico es un segmento de línea , representado por un símbolo de Schläfli vacío { }.

  

• Un prisma 1-politópico es un rectángulo formado por 2 segmentos de línea trasladados. Se representa como el símbolo de Schläfli producto { }×{ }. Si es cuadrado , la simetría se puede reducir: { }×{ } = {4}.

  Ejemplo: , Cuadrado, { }×{ }, dos segmentos de línea paralelos, conectados por dos lados de segmento de línea .

• Un prisma poligonal es un prisma tridimensional formado por dos polígonos trasladados y conectados por rectángulos. Un polígono regular { p } puede construir un prisma n -gonal uniforme representado por el producto { p } × {p}. Si p = 4 , con simetría de lados cuadrados se convierte en un cubo : {4} × {p} = {4, 3}.

  Ejemplo: , Prisma pentagonal , {5}×{ }, dos pentágonos paralelos conectados por 5 lados rectangulares .

• Un prisma poliédrico es un prisma de 4 dimensiones formado por dos poliedros trasladados conectados por celdas prismáticas tridimensionales. Un poliedro regular { p , q } puede construir el prisma policórico uniforme, representado por el producto { p , q } × {q}. Si el poliedro y sus caras son cubos, se convierte en un teseracto : {4,3} × {q} = {4,3,3}.

  Ejemplo: , Prisma dodecaédrico , {5,3}×{ }, dos dodecaedros paralelos conectados por 12 lados de prisma pentagonal .

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Los politopos prismáticos de orden superior también existen como productos cartesianos de dos o más politopos. La dimensión de un politopo producto es la suma de las dimensiones de sus elementos. Los primeros ejemplos de estos se encuentran en el espacio de cuatro dimensiones; se denominan duoprismas, ya que son el producto de dos polígonos en cuatro dimensiones.

Los duoprismas regulares se representan como { p }×{ q }, con pq vértices, 2 pq aristas, pq caras cuadradas, p q caras de polígono, q p caras de polígono, y delimitados por p q prismas gonales y q p prismas gonales.

Por ejemplo, {4}×{4}, un duoprismo 4-4 es una forma de simetría inferior de un teseracto , al igual que {4,3}×{ }, un prisma cúbico . {4}×{4}×{ } (prisma duoprístico 4-4), {4,3}×{4} (duoprismo cubo-4) y {4,3,3}×{ } (prisma teseractico) son formas de simetría inferior de un 5-cubo .