Anillo de Adele

Para${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$, el teorema de Ostrowski dice que los lugares de${\displaystyle \mathbb {Q} }$están dados por el valor absoluto usual y el${\displaystyle p}$valores absolutos -ádicos, uno para cada número primo${\displaystyle p}$. La culminación en el lugar infinito es

${\displaystyle \mathbb {Q} _{\infty }=\mathbb {R} ,}$

y la finalización en el lugar correspondiente a${\displaystyle p}$es el campo de${\displaystyle p}$números -ádicos${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$, con anillo de valoración${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$. Así, el anillo de Adele de${\displaystyle \mathbb {Q} }$es

${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }=\mathbb {R} \times \prod _{p}'\mathbb {Q} _{p},}$

donde el producto restringido se toma con respecto a los subanillos${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$. De forma equivalente,

${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }=\left\{(x_{\infty },x_{2},x_{3},x_{5},\ldots ):x_{\infty }\in \mathbb {R} ,\ x_{p}\in \mathbb {Q} _{p},\ x_{p}\in \mathbb {Z} _{p}{\text{ for all but finitely many }}p\right\}.}$

Así, una adele de${\displaystyle \mathbb {Q} }$es un número real junto con un${\displaystyle p}$número racional -ádico para cada número primo${\displaystyle p}$, de tal manera que todos, salvo un número finito de los${\displaystyle p}$Los componentes -ádicos son${\displaystyle p}$Enteros -ádicos. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Los adeles finitos de${\displaystyle \mathbb {Q} }$son

${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,\mathrm {fin} }=\prod _{p}'\mathbb {Q} _{p}.}$

Los adeles finitos integrales son

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}=\prod _{p}\mathbb {Z} _{p},}$

el anillo de enteros profinitos . Con esta notación,

${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }=\mathbb {R} \times \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,\mathrm {fin} },\qquad {\widehat {\mathbb {Z} }}\subset \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,\mathrm {fin} }.}$

La incrustación diagonal de${\displaystyle \mathbb {Q} }$envía un número racional${\displaystyle a}$a Adele

${\displaystyle (a,a,a,\ldots ).}$

Esto está bien definido porque un número racional tiene solo un número finito de factores primos en su denominador, por lo que${\displaystyle a\in \mathbb {Z} _{p}}$para todos los números primos excepto un número finito${\displaystyle p}$.

Dejar${\displaystyle K}$sea ​​un campo numérico con un anillo de enteros${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$En cada lugar finito${\displaystyle v}$, la finalización${\displaystyle K_{v}}$es una extensión finita de alguna${\displaystyle \mathbb {Q} _{p}}$y su anillo de valoración se denota${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}}$. En cada lugar infinito, la completitud es isomorfa a o${\displaystyle \mathbb {R} }$o${\displaystyle \mathbb {C} }$El anillo de Adele es

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}=\prod _{v\nmid \infty }'K_{v}\times \prod _{v\mid \infty }K_{v},}$

donde el producto restringido sobre lugares finitos se toma con respecto a los anillos${\displaystyle {\mathcal {O}}_{v}}$. Así, una adele de${\displaystyle K}$es una familia${\displaystyle (x_{v})_{v}}$con${\displaystyle x_{v}\in K_{v}}$para cada lugar${\displaystyle v}$, de tal manera que${\displaystyle x_{v}\in {\mathcal {O}}_{v}}$para todos excepto un número finito de lugares finitos.

Por ejemplo, si${\displaystyle K}$es un cuerpo numérico cuadrático, entonces su factor arquimediano es o${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, cuando${\displaystyle K}$tiene dos incrustaciones reales, o${\displaystyle \mathbb {C} }$, cuando${\displaystyle K}$tiene un par de incrustaciones complejas. La parte finita es un producto restringido sobre los ideales primos no nulos de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}}$. ^{[ 2 ] [ 1 ]}

Si${\displaystyle L/K}$es una extensión finita de cuerpos numéricos, entonces la construcción adélica es compatible con la extensión de escalares. En particular, se tiene un isomorfismo natural

${\displaystyle \mathbb {A} _{L}\cong \mathbb {A} _{K}\otimes _{K}L,}$

y, en el caso especial${\displaystyle K=\mathbb {Q} }$,

${\displaystyle \mathbb {A} _{L}\cong \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\otimes _{\mathbb {Q} }L.}$

Esto ofrece otra forma de ver el anillo adele de un cuerpo numérico como la extensión adélica del anillo adele racional. ^{[ 3 ] [ 1 ]}

Ahora tomemos el campo de función.

${\displaystyle K=\mathbb {F} _{q}(\mathbb {P} ^{1})=\mathbb {F} _{q}(t)}$

de la recta proyectiva sobre un cuerpo finito. Sus lugares corresponden a los puntos cerrados.${\displaystyle x}$de${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{1}}$Dichos puntos pueden describirse como mapas.

${\displaystyle x:\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{q^{n}}\longrightarrow \mathbb {P} ^{1}}$

encima${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {F} _{q}}$. Por ejemplo, hay${\displaystyle q+1}$puntos de la forma

${\displaystyle \operatorname {Spec} \mathbb {F} _{q}\longrightarrow \mathbb {P} ^{1}.}$

Por un punto${\displaystyle x}$, el anillo local utilizado en el producto restringido es el anillo local completado

${\displaystyle {\widehat {\mathcal {O}}}_{X,x},}$

y el campo local correspondiente es su campo de fracción, a menudo denotado${\displaystyle K_{X,x}}$. Así, el anillo de Adele de${\displaystyle \mathbb {F} _{q}(\mathbb {P} ^{1})}$puede estar escrito

${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {F} _{q}(\mathbb {P} ^{1})}=\prod _{x\in X}'K_{X,x},}$

donde el producto restringido se toma con respecto a los anillos locales completados${\displaystyle {\widehat {\mathcal {O}}}_{X,x}}$. De forma equivalente, sus elementos son familias${\displaystyle (f_{x})_{x}}$, con${\displaystyle f_{x}\in K_{X,x}}$, de tal manera que${\displaystyle f_{x}\in {\widehat {\mathcal {O}}}_{X,x}}$para todos excepto un número finito de puntos${\displaystyle x}$. ^{[ 1 ]}

La misma descripción se aplica a cualquier curva suave y propia.${\displaystyle X/\mathbb {F} _{q}}$sobre un cuerpo finito. Si${\displaystyle K=\mathbb {F} _{q}(X)}$es su campo de función, entonces

${\displaystyle \mathbb {A} _{K}=\prod _{x\in X}'K_{X,x},}$

dónde${\displaystyle x}$corre sobre los puntos cerrados de${\displaystyle X}$A diferencia de los campos numéricos, los campos de funciones globales no tienen lugares arquimedianos, por lo que el anillo de Adele finito y el anillo de Adele completo son iguales.

El anillo Adele entra en la teoría de campos de clases a través de su grupo de unidades, el grupo Idele.${\displaystyle \mathbb {A} _{K}^{\times }}$. El cociente

${\displaystyle C_{K}=\mathbb {A} _{K}^{\times }/K^{\times }}$

es el grupo de clases idélico de${\displaystyle K}$. La teoría global de campos de clases describe las extensiones abelianas de${\displaystyle K}$en términos de cocientes topológicos de${\displaystyle C_{K}}$En una formulación, la ley de reciprocidad global de Artin proporciona un homomorfismo de reciprocidad del grupo de clases idele al grupo de Galois de la extensión abeliana máxima de${\displaystyle K}$. A nivel finito, para una extensión abeliana finita${\displaystyle L/K}$, el cociente correspondiente de${\displaystyle C_{K}}$se describe utilizando el subgrupo de norma de${\displaystyle C_{L}}$. ^{[ 10 ] [ 11 ]}

Esta formulación adélica integra los mapas de reciprocidad locales de la teoría de campos de clases locales en una formulación global. Reemplaza la formulación anterior basada en la teoría de ideales, que involucra grupos de clases ideales y grupos de clases de rayos, por una declaración sobre la topología y los cocientes del grupo de clases idele.

El grupo idele proporciona un refinamiento topológico del grupo de ideales fraccionarios de un cuerpo numérico. Para un cuerpo numérico${\displaystyle K}$, la parte finita del grupo idele se mapea sobre el grupo de ideales fraccionarios por

${\displaystyle (x_{\mathfrak {p}})_{\mathfrak {p}}\longmapsto \prod _{\mathfrak {p}}{\mathfrak {p}}^{v_{\mathfrak {p}}(x_{\mathfrak {p}})}.}$

El núcleo es el producto de los grupos de unidades locales. En consecuencia, el grupo de clases ideales ordinario puede recuperarse como un cociente del grupo de clases idele. Este punto de vista proporciona una interpretación adélica de la finitud del número de clases: la compacidad de las clases idele de norma uno implica que el grupo de clases ideales es compacto y, dado que es discreto, es finito. ^{[ 3 ] [ 1 ]}

El mismo círculo de ideas también proporciona una formulación adélica del teorema de la unidad. Si${\displaystyle P}$es un conjunto finito de lugares que contiene los lugares arquimedianos, el grupo de${\displaystyle P}$-unidades aparece como una intersección de${\displaystyle K^{\times }}$con un subgrupo abierto natural del grupo idele. En particular, para un cuerpo numérico${\displaystyle K}$El teorema de la unidad de Dirichlet establece que

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{K}^{\times }\cong \mu (K)\times \mathbb {Z} ^{r+s-1},}$

dónde${\displaystyle \mu (K)}$es el grupo cíclico finito de raíces de la unidad en${\displaystyle K}$,${\displaystyle r}$es el número de incrustaciones reales, y${\displaystyle s}$es el número de pares conjugados de incrustaciones complejas. ^{[ 1 ] [ 3 ]}

La topología en${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$hace el cociente${\displaystyle \mathbb {A} _{K}/K}$compacto, lo que permite realizar un análisis armónico en el anillo de Adele. Con la ayuda de los caracteres de${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$, el análisis de Fourier se puede realizar en el anillo de adele; la integración sobre el grupo de idele da entonces integrales zeta. ^{[ 5 ] [ 4 ]}

En la tesis de Tate , John Tate utilizó el análisis de Fourier en el anillo adele y el grupo idele para estudiar la función zeta de Riemann , Dirichlet.${\displaystyle L}$-funciones y Hecke más general${\displaystyle L}$-funciones. Las formas adélicas de estas funciones pueden representarse como integrales sobre el anillo adélico o el grupo idelo, con respecto a las medidas de Haar correspondientes. Sus ecuaciones funcionales y continuaciones meromorfas pueden demostrarse mediante análisis de Fourier y suma de Poisson en el contexto adélico. ^{[ 5 ] [ 12 ] [ 6 ]}

Por ejemplo, para${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1}$, se tiene una representación integral adélica de la función zeta de Riemann,

${\displaystyle \int _{\widehat {\mathbb {Z} }}|x|^{s}\,d^{\times }x=\zeta (s),}$

dónde${\displaystyle d^{\times }x}$es la medida de Haar multiplicativa en el grupo de idéle finito${\displaystyle I_{\mathbb {Q} ,\mathrm {fin} }}$, normalizado de modo que${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}^{\times }}$tiene volumen${\displaystyle 1}$y se extiende por cero al anillo de adele finito. Por lo tanto, la función zeta de Riemann se puede escribir como una integral sobre un subconjunto del anillo de adele.

Las adeles también proporcionan el lenguaje natural para las formas automórficas . En lugar de estudiar las funciones por separado sobre los números reales, complejos y${\displaystyle p}$-puntos ádicos de un grupo algebraico, se estudian funciones en grupos adélicos como${\displaystyle G(\mathbb {A} _{K})}$. Por ejemplo, formas automórficas para${\displaystyle \operatorname {GL} _{2}}$encima${\displaystyle \mathbb {Q} }$pueden ser vistas como funciones en

${\displaystyle \operatorname {GL} _{2}(\mathbb {Q} )\backslash \operatorname {GL} _{2}(\mathbb {A} _{\mathbb {Q} })}$

que satisfacen condiciones algebraicas, analíticas y de crecimiento adecuadas. En este contexto, automorfo${\displaystyle L}$Las funciones a menudo se pueden describir mediante integrales sobre grupos adélicos. ^{[ 13 ] [ 14 ]}

De manera más general, el uso de puntos adélicos${\displaystyle G(\mathbb {A} _{K})}$para grupos algebraicos reductivos${\displaystyle G}$es fundamental en la teoría moderna de las representaciones automórficas. Este punto de vista es también uno de los puntos de partida del programa de Langlands , que relaciona las representaciones automórficas de grupos adélicos con las representaciones de Galois. ^{[ 13 ]}

El anillo de Adele proporciona una interpretación unificada de los teoremas de aproximación y las cuestiones locales-globales. El teorema de aproximación débil dice que, para un número finito de valoraciones no equivalentes de${\displaystyle K}$, la imagen diagonal de${\displaystyle K}$es denso en el producto de las completaciones correspondientes. El teorema de aproximación fuerte dice que, después de omitir un lugar${\displaystyle v_{0}}$, el campo${\displaystyle K}$es denso en el producto restringido sobre todos los demás lugares. Por lo tanto, el campo global es discreto en su anillo de adele completo, pero se vuelve denso cuando se omite un lugar. ^{[ 3 ]}

El lenguaje adélico también se utiliza para formular principios locales-globales , como el principio de Hasse . En tales problemas se comparan soluciones en el ámbito global.${\displaystyle K}$con familias de soluciones compatibles en todas las categorías${\displaystyle K_{v}}$El anillo de Adele proporciona un espacio único en el que estas condiciones locales pueden recopilarse y estudiarse conjuntamente.

Para una curva suave y adecuada${\displaystyle X/\mathbb {F} _{q}}$con campo de función${\displaystyle K}$, el anillo de Adele de${\displaystyle K}$se puede describir utilizando las terminaciones en los puntos cerrados de${\displaystyle X}$. En este contexto, los ideles recuperan los grupos divisor y de Picard de la curva. Uno tiene

${\displaystyle \operatorname {Div} (X)=\mathbb {A} _{X}^{\times }/\mathbb {O} _{X}^{\times }}$

y

${\displaystyle \operatorname {Pic} (X)=K^{\times }\backslash \mathbb {A} _{X}^{\times }/\mathbb {O} _{X}^{\times }.}$

De este modo, la descripción de la clase divisora ​​de los haces de líneas en una curva puede expresarse adélicamente.

De forma más general, para un grupo algebraico${\displaystyle G}$, los cocientes dobles adélicos describen los módulos de haces en curvas. En la uniformización de Weil, para grupos adecuados como grupos semisimples , y también para${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}}$, uno tiene una descripción adélica de la forma

${\displaystyle \operatorname {Bun} _{G}(X)=G(K)\backslash G(\mathbb {A} _{X})/G(\mathbb {O} _{X}).}$

Para${\displaystyle G=\mathbb {G} _{m}}$, esto recupera la descripción adélica del grupo de Picard.

Los adeles también aparecen en la cohomología de curvas algebraicas. Si${\displaystyle X}$es una curva propia suave sobre los números complejos, se pueden definir los ángulos de su campo de funciones.${\displaystyle \mathbb {C} (X)}$de una manera análoga al caso de campos de funciones sobre campos finitos. Tate demostró que la dualidad de Serre en${\displaystyle X}$,

${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {L}})\simeq H^{0}(X,\Omega _{X}\otimes {\mathcal {L}}^{-1})^{*},}$

Se puede deducir trabajando con este anillo de Adele.${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {C} (X)}}$, dónde${\displaystyle {\mathcal {L}}}$es un paquete de líneas en${\displaystyle X}$. ^{[ 15 ]}

La diferencia entre las topologías de producto restringidas y no restringidas se puede ilustrar utilizando una secuencia en${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$.

Lema. Considere la siguiente secuencia en${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=\left({\frac {1}{2}},1,1,\ldots \right)\\x_{2}&=\left(1,{\frac {1}{3}},1,\ldots \right)\\x_{3}&=\left(1,1,{\frac {1}{5}},1,\ldots \right)\\x_{4}&=\left(1,1,1,{\frac {1}{7}},1,\ldots \right)\\&\vdots \end{aligned}}}$

En la topología del producto esto converge a${\displaystyle (1,1,\ldots )}$pero no converge en absoluto en la topología de producto restringido.

Demostración. En la topología de producto, la convergencia corresponde a la convergencia en cada coordenada, lo cual es trivial porque las secuencias se vuelven estacionarias. La secuencia no converge en la topología de producto restringida. Para cada adele${\displaystyle a=(a_{p})_{p}\in \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }}$y para cada rectángulo abierto restringido${\displaystyle \textstyle U=\prod _{p\in E}U_{p}\times \prod _{p\notin E}\mathbb {Z} _{p},}$tiene${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}-a_{p}\notin \mathbb {Z} _{p}}$para${\displaystyle a_{p}\in \mathbb {Z} _{p}}$y por lo tanto${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}-a_{p}\notin \mathbb {Z} _{p}}$a pesar de${\displaystyle p\notin F.}$Como resultado${\displaystyle x_{n}-a\notin U}$para casi todos${\displaystyle n\in \mathbb {N} .}$En esta consideración,${\displaystyle E}$y${\displaystyle F}$son subconjuntos finitos del conjunto de todos los lugares.

Los enteros profinitos se definen como la completación profinita de los anillos.${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$con el orden parcial${\displaystyle n\geq m\Leftrightarrow m|n,}$es decir,

${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}:=\varprojlim _{n}\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} .}$

Lema.${\displaystyle \textstyle {\widehat {\mathbb {Z} }}\cong \prod _{p}\mathbb {Z} _{p}.}$

Demostración. Esto se deduce del Teorema Chino del Resto .

Lema.${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,\mathrm {fin} }={\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} .}$

Demostración. Utilice la propiedad universal del producto tensorial. Defina un${\displaystyle \mathbb {Z} }$-función bilineal

${\displaystyle {\begin{cases}\Psi$ :{\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {Q} \to \mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,\mathrm {fin} }\\\left((a_{p})_{p},q\right)\mapsto (a_{p}q)_{p}.\end{cases}}}

Esto está bien definido porque para un dado${\displaystyle q={\tfrac {m}{n}}\in \mathbb {Q} }$con${\displaystyle m,n}$coprimos, solo hay un número finito de primos que dividen${\displaystyle n.}$Dejar${\displaystyle M}$ser otro${\displaystyle \mathbb {Z} }$-módulo con un${\displaystyle \mathbb {Z} }$- mapa bilineal${\displaystyle \Phi$ :{\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {Q} \to M.} Debe ser el caso que${\displaystyle \Phi }$factores a través de${\displaystyle \Psi }$de forma única, es decir, existe una única${\displaystyle \mathbb {Z} }$-mapa lineal${\displaystyle {\tilde {\Phi }}:\mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,\mathrm {fin} }\to M}$de tal manera que${\displaystyle \Phi ={\tilde {\Phi }}\circ \Psi .}$${\displaystyle {\tilde {\Phi }}}$se puede definir de la siguiente manera: para un dado${\displaystyle (u_{p})_{p}}$existen${\displaystyle u\in \mathbb {N} }$y${\displaystyle (v_{p})_{p}\in {\widehat {\mathbb {Z} }}}$de tal manera que${\displaystyle u_{p}={\tfrac {1}{u}}\cdot v_{p}}$a pesar de${\displaystyle p.}$Definir${\displaystyle {\tilde {\Phi }}((u_{p})_{p}):=\Phi ((v_{p})_{p},{\tfrac {1}{u}}).}$Se puede demostrar${\displaystyle {\tilde {\Phi }}}$está bien definido,${\displaystyle \mathbb {Z} }$-lineal, satisface${\displaystyle \Phi ={\tilde {\Phi }}\circ \Psi }$y es único por estas propiedades.

Corolario. Definir${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }:={\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {R} .}$Esto da como resultado un isomorfismo algebraico.${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\cong \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} .}$

Prueba.

${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} =\left({\widehat {\mathbb {Z} }}\times \mathbb {R} \right)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \cong \left({\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \right)\times (\mathbb {R} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} )\cong \left({\widehat {\mathbb {Z} }}\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} \right)\times \mathbb {R} =\mathbb {A} _{\mathbb {Q} ,\mathrm {fin} }\times \mathbb {R} =\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }.}$

Lema. Para un campo numérico${\displaystyle K}$,${\displaystyle \mathbb {A} _{K}=\mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\otimes _{\mathbb {Q} }K.}$

Nota. Usando${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\otimes _{\mathbb {Q} }K\cong \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\oplus \dots \oplus \mathbb {A} _{\mathbb {Q} },}$donde hay${\displaystyle [K:\mathbb {Q} ]}$sumandos, el lado derecho recibe la topología del producto y esta topología se transporta a través del isomorfismo en${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathbb {Q} }\otimes _{\mathbb {Q} }K.}$

Si${\displaystyle L/K}$es una extensión finita, entonces${\displaystyle L}$es un campo global. Por lo tanto${\displaystyle \mathbb {A} _{L}}$se define y${\displaystyle \textstyle \mathbb {A} _{L}={\prod _{v}}'L_{v}.}$El anillo${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$puede identificarse con un subanillo de${\displaystyle \mathbb {A} _{L}.}$Mapa${\displaystyle a=(a_{v})_{v}\in \mathbb {A} _{K}}$a${\displaystyle a'=(a'_{w})_{w}\in \mathbb {A} _{L}}$, dónde${\displaystyle a'_{w}=a_{v}\in K_{v}\subset L_{w}}$para${\displaystyle w|v.}$Entonces${\displaystyle a=(a_{w})_{w}\in \mathbb {A} _{L}}$está en el subanillo${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$si${\displaystyle a_{w}\in K_{v}}$para${\displaystyle w|v}$y${\displaystyle a_{w}=a_{w'}}$a pesar de${\displaystyle w,w'}$acostado encima del mismo lugar${\displaystyle v}$de${\displaystyle K.}$

Lema. Si${\displaystyle L/K}$es una extensión finita, entonces${\displaystyle \mathbb {A} _{L}\cong \mathbb {A} _{K}\otimes _{K}L}$tanto algebraica como topológicamente.

Con la ayuda de este isomorfismo, la inclusión${\displaystyle \mathbb {A} _{K}\subset \mathbb {A} _{L}}$es dado por

${\displaystyle {\begin{cases}\mathbb {A} _{K}\to \mathbb {A} _{L}\\\alpha \mapsto \alpha \otimes _{K}1.\end{cases}}}$

Además, los principales adeles en${\displaystyle \mathbb {A} _{K}}$puede identificarse con un subgrupo de adeles principales en${\displaystyle \mathbb {A} _{L}}$a través de la incrustación natural${\displaystyle K\to L.}$

Demostración. ^{[ 16 ]} Sea${\displaystyle \omega _{1},\ldots ,\omega _{n}}$ser una base de${\displaystyle L}$encima${\displaystyle K.}$Entonces, para casi todos${\displaystyle v,}$

${\displaystyle {\widetilde {O_{v}}}\cong O_{v}\omega _{1}\oplus \cdots \oplus O_{v}\omega _{n}.}$

Además, existen los siguientes isomorfismos:

${\displaystyle K_{v}\omega _{1}\oplus \cdots \oplus K_{v}\omega _{n}\cong K_{v}\otimes _{K}L\cong L_{v}=\prod \nolimits _{w|v}L_{w}.}$

Para el segundo uso, utilice el mapa.

${\displaystyle {\begin{cases}K_{v}\otimes _{K}L\to L_{v}\\\alpha _{v}\otimes a\mapsto (\alpha _{v}\cdot (\tau _{w}(a)))_{w}\end{cases}}}$

en el cual${\displaystyle \tau _{w}:L\to L_{w}}$es la incrustación canónica y${\displaystyle w|v.}$El producto restringido se toma en ambos lados con respecto a${\displaystyle {\widetilde {O_{v}}}:}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {A} _{K}\otimes _{K}L&=\left({\prod _{v}}'K_{v}\right)\otimes _{K}L\\&\cong {\prod _{v}}'(K_{v}\omega _{1}\oplus \cdots \oplus K_{v}\omega _{n})\\&\cong {\prod _{v}}'(K_{v}\otimes _{K}L)\\&\cong {\prod _{v}}'L_{v}\\&=\mathbb {A} _{L}.\end{aligned}}}$