Aproximación en grupos algebraicos

En la teoría de grupos algebraicos, los teoremas de aproximación son una extensión del teorema chino del resto a grupos algebraicos G sobre cuerpos globales k .

Eichler (1938) demostró la aproximación fuerte para algunos grupos clásicos . La aproximación fuerte se estableció en las décadas de 1960 y 1970 para grupos algebraicos semisimples simplemente conexos sobre cuerpos globales . Los resultados para cuerpos numéricos se deben a Kneser ( 1966 ) y Platonov ( 1969 ) ; el caso de cuerpos de funciones , sobre cuerpos finitos , se debe a Margulis ( 1977 ) y Prasad ( 1977 ) . En el caso de cuerpos numéricos, Platonov también demostró un resultado relacionado sobre cuerpos locales llamado la conjetura de Kneser-Tits .    

Sea G un grupo algebraico lineal sobre un cuerpo global k , y A el anillo de adeles de k . Si S es un conjunto finito no vacío de lugares de k , entonces escribimos A ^S para el anillo de S -adeles y A _S para el producto de las completaciones k _s , para s en el conjunto finito S. Para cualquier elección de S , G ( k ) se incrusta en G ( A _S ) y G ( A ^S ).

La pregunta que se plantea en la aproximación débil es si la incrustación de G ( k ) en G ( A _S ) tiene una imagen densa . Si el grupo G es conexo y k -racional, entonces satisface la aproximación débil con respecto a cualquier conjunto S ( Platonov & Rapinchuk 1994 , p.402 ) . De manera más general, para cualquier grupo conexo G , existe un conjunto finito T de lugares finitos de k tal que G satisface la aproximación débil con respecto a cualquier conjunto S que sea disjunto de T ( Platonov & Rapinchuk 1994 , p.415 ) . En particular, si k es un cuerpo numérico algebraico, entonces cualquier grupo conexo G satisface la aproximación débil con respecto al conjunto S = S _∞ de lugares infinitos.

La pregunta que se plantea en aproximación fuerte es si la incrustación de G ( k ) en G ( A ^S ) tiene una imagen densa, o equivalentemente si el conjunto

G ( k ) G ( A _S )

es un subconjunto denso en G ( A ). El teorema principal de aproximación fuerte ( Kneser 1966 , p.188) establece que un grupo algebraico lineal no resoluble G sobre un cuerpo global k tiene una aproximación fuerte para el conjunto finito S si y solo si su radical N es unipotente , G / N es simplemente conexo, y cada componente casi simple H de G / N tiene una componente no compacta H _s para algún s en S (dependiendo de H ).

Las demostraciones de aproximación fuerte dependían del principio de Hasse para grupos algebraicos, que para grupos de tipo E ₈ no se demostró hasta varios años después.

La aproximación débil se cumple para una clase más amplia de grupos, incluidos los grupos adjuntos y las formas internas de los grupos de Chevalley , lo que demuestra que la propiedad de aproximación fuerte es restrictiva.

• aproximación superfuerte

• Eichler, Martin (1938), "Allgemeine Kongruenzklasseneinteilungen der Ideale einfacher Algebren über algebraischen Zahlkörpern und ihre L-Reihen". , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (en alemán), 179 : 227–251 , doi : 10.1515/crll.1938.179.227 , ISSN 0075-4102 
• Kneser, Martin (1966), "Aproximación fuerte", Grupos algebraicos y subgrupos discontinuos (Actas del Simposio de Matemáticas Puras, Boulder, Colorado, 1965) , Providence, Rhode Island: American Mathematical Society , págs. 187-196 , MR 0213361  
• Margulis, GA (1977), "Subgrupos colimitados en grupos algebraicos sobre campos locales", Akademija Nauk SSSR. Funkcional'nyi Analiz i ego Priloženija , 11 (2): 45– 57, 95, ISSN 0374-1990 , SEÑOR 0442107  
• Platonov, VP (1969), "El problema de la aproximación fuerte y la hipótesis de Kneser-Tits para grupos algebraicos", Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya , 33 : 1211– 1219, ISSN 0373-2436 , SEÑOR 0258839  
• Platonov, Vladimir; Rapinchuk, Andrei (1994), Grupos algebraicos y teoría de números. (Traducido del original ruso de 1991 por Rachel Rowen.) , Matemáticas Puras y Aplicadas, vol.  139, Boston, MA: Academic Press, Inc., ISBN 0-12-558180-7, MR 1278263 
• Prasad, Gopal (1977), "Aproximación fuerte para grupos semisimples sobre cuerpos de funciones", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 105 (3): 553– 572, doi : 10.2307/1970924 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970924 , MR 0444571