Diseño de parámetros robusto

Un diseño de parámetros robusto , introducido por Genichi Taguchi , es un diseño experimental utilizado para explotar la interacción entre variables de control y ruido incontrolable mediante la robustez : encontrar los ajustes de los factores de control que minimizan la variación de la respuesta de los factores incontrolables. ^{[ 1 ]} Las variables de control son variables sobre las que el experimentador tiene control total. Las variables de ruido se encuentran en el otro extremo del espectro. Si bien estas variables pueden controlarse fácilmente en un entorno experimental, fuera del mundo experimental son muy difíciles, si no imposibles, de controlar. Los diseños de parámetros robustos utilizan una convención de nomenclatura similar a la de los FFD. Un 2 ^{(m1+m2)-(p1-p2)} es un diseño de 2 niveles donde m1 es el número de factores de control, m2 es el número de factores de ruido, p1 es el nivel de fraccionamiento para los factores de control y p2 es el nivel de fraccionamiento para los factores de ruido.

Consideremos un ejemplo de horneado de pastel RPD de Montgomery (2005), donde un experimentador quiere mejorar la calidad del pastel. ^{[ 2 ]} Si bien el fabricante de pasteles puede controlar la cantidad de harina, azúcar, levadura en polvo y colorante, otros factores son incontrolables, como la temperatura del horno y el tiempo de horneado. El fabricante puede imprimir instrucciones para un tiempo de horneado de 20 minutos, pero en la práctica no tiene control sobre los hábitos de horneado del consumidor. Las variaciones en la calidad del pastel pueden surgir al hornearlo a 325° en lugar de 350° o al dejarlo en el horno durante un tiempo ligeramente demasiado corto o demasiado largo. Los diseños de parámetros robustos buscan minimizar los efectos de los factores de ruido en la calidad. Para este ejemplo, el fabricante espera minimizar los efectos de la fluctuación del tiempo de horneado en la calidad del pastel, y para ello se requieren ajustes óptimos para los factores de control.

Los RPD se utilizan principalmente en entornos de simulación donde las variables de ruido incontrolables suelen ser fáciles de controlar. En cambio, en el mundo real, los factores de ruido son difíciles de controlar; en un entorno experimental, el control sobre estos factores se mantiene fácilmente. En el ejemplo de hornear un pastel, el experimentador puede variar el tiempo de horneado y la temperatura del horno para comprender los efectos de dicha variación cuando ya no tiene el control.

Los diseños de parámetros robustos son muy similares a los diseños factoriales fraccionados (FFD) en que el diseño óptimo se puede encontrar usando matrices de Hadamard , se mantienen los principios de jerarquía de efectos y escasez de factores, y hay aliasing cuando se fraccionan los RPD completos. Al igual que los FFD, los RPD son diseños de cribado y pueden proporcionar un modelo lineal del sistema en cuestión. Lo que se entiende por jerarquía de efectos para los FFD es que las interacciones de orden superior tienden a tener un efecto insignificante en la respuesta. ^{[ 3 ]} Como se afirma en Carraway, los efectos principales son los que tienen más probabilidades de tener un efecto en la respuesta, luego las interacciones de dos factores, luego las interacciones de tres factores, y así sucesivamente. ^{[ 4 ]} El concepto de escasez de efectos es que no todos los factores tendrán un efecto en la respuesta. Estos principios son la base para fraccionar las matrices de Hadamard. Al fraccionar, los experimentadores pueden llegar a conclusiones en menos ejecuciones y con menos recursos. A menudo, los RPD se utilizan en las primeras etapas de un experimento. Dado que los modelos RPD de dos niveles asumen linealidad entre los efectos de los factores, se pueden utilizar otros métodos para modelar la curvatura una vez que se ha reducido el número de factores.

Las matrices de Hadamard son matrices cuadradas que constan únicamente de + y −. Si una matriz de Hadamard se normaliza y fracciona, se obtiene un patrón de diseño. Sin embargo, no todos los diseños son iguales, lo que significa que algunos diseños son mejores que otros, y se utilizan criterios de diseño específicos para determinar cuál es el mejor. Después de obtener un patrón de diseño, los experimentadores generalmente saben a qué ajuste debe configurarse cada factor. Cada fila del patrón indica una ejecución y cada columna indica un factor. Para el patrón de diseño parcial que se muestra a la izquierda, el experimentador ha identificado siete factores que pueden tener un efecto en la respuesta y espera obtener información sobre qué factores tienen un efecto en ocho ejecuciones. En la primera ejecución, los factores 1, 4, 5 y 6 se configuran en niveles altos, mientras que los factores 2, 3 y 7 se configuran en niveles bajos. Los niveles bajos y altos son configuraciones que normalmente define el experto en la materia. Estos valores son extremos, pero no tan extremos como para que la respuesta se desplace a regiones no suaves. Después de cada ejecución, se obtienen los resultados; Al variar múltiples factores en ejecuciones individuales en lugar de utilizar el método OFAT , se pueden estimar tanto las interacciones entre variables como los efectos de cada factor individual. Si dos factores interactúan, el efecto de uno sobre la respuesta difiere según la configuración del otro.

Fraccionar adecuadamente las matrices de Hadamard es muy laborioso. Consideremos un diseño de 24 ensayos con seis factores. El número de diseños de Hadamard de cada matriz de Hadamard es 23 sobre 6; es decir, 100.947 diseños de cada matriz de Hadamard de 24×24. Dado que existen 60 matrices de Hadamard de ese tamaño, el número total de diseños a comparar es 6.056.820. Leoppky, Bingham y Sitter (2006) utilizaron una metodología de búsqueda exhaustiva y enumeraron los mejores RPD para 12, 16 y 20 ensayos. Debido a que el trabajo de búsqueda exhaustiva es tan exhaustivo, los mejores diseños para tamaños de ensayo mayores a menudo no están disponibles fácilmente. En ese caso, se pueden utilizar otros métodos estadísticos para fraccionar una matriz de Hadamard de manera que solo se permita una cantidad tolerable de aliasing. Se han desarrollado algoritmos eficientes, como la selección hacia adelante y la eliminación hacia atrás, para los FFD, pero debido a la complejidad del aliasing introducido al distinguir entre variables de control y ruido, estos métodos aún no han demostrado ser efectivos para los RPD. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

Para comprender plenamente los criterios de diseño, es necesario conocer la historia y los diseños factoriales fraccionados. Estos diseños buscan comprender qué factores influyen en una respuesta y optimizarla mediante la determinación de los parámetros adecuados. A diferencia de los diseños de regresión discreta (DDR), los diseños factoriales fraccionados no distinguen entre variables de control y variables de ruido.

Resolución generalizada y aberración mínima generalizada

Fontana, Pistone y Rogantin ^{[ 9 ]} crearon una función indicadora para diseños factoriales fraccionados de dos niveles, y en 2003 Ye amplió la función indicadora para diseños regulares y no regulares. ^{[ 10 ]} Al hacerlo, Ye estableció la resolución generalizada y la aberración mínima generalizada. Mientras que los diseños regulares son diseños con un tamaño de ejecución igual a una potencia de dos, los diseños no regulares pueden ser cualquier múltiplo de cuatro. En los diseños no regulares, los efectos pueden estar completamente aliaseados, parcialmente aliaseados o no estar aliaseados en absoluto. La aberración mínima generalizada y la resolución generalizada toman en cuenta este alias parcial.

Formalmente, Ye (2003) distingue entre diseños regulares y no regulares y afirma que cualquier función polinómica puede escribirse como

${\displaystyle {\begin{aligned}F(x)&=\sum _{J\in P}b_{J}X_{J}(x)\\&=\sum _{J\in PC}\sum _{K\in PN}b_{J\cup K}X_{J\cup K}(x)\end{aligned}}}$Dónde:

${\displaystyle b_{L}={\frac {1}{2^{m}}}\sum _{x\in F}X_{L}(x);\quad b_{0}={\frac {n}{2^{m}}}}$

Si${\displaystyle \left|{\frac {b_{J\cup K}}{b_{0}}}\right|=1}$En ese caso, el diseño es regular; de lo contrario, existe un aliasing parcial.

Mientras Ye desarrollaba esta función indicadora, Bingham y Sitter trabajaban en la clarificación de la resolución y la aberración para diseños de parámetros robustos. En 2006, Leoppky, Bingham y Sitter publicaron el patrón de longitud de palabra extendida y la función indicadora para diseños de parámetros robustos. Debido a que los RPD se preocupan por minimizar la variación del proceso debido a factores de ruido, la prioridad de los efectos cambia de la jerarquía de efectos de los FFD. Los efectos principales siguen siendo la primera prioridad, y las interacciones de dos factores siguen siendo la segunda prioridad; pero si alguna interacción tiene una interacción de control por ruido (CN), entonces esa interacción aumenta en 0,5 en la escala de prioridad. Por ejemplo, una interacción de tres factores CCN sería una prioridad 3 en un FFD porque las interacciones de tres factores son la tercera prioridad, las interacciones de dos factores son la segunda prioridad y los efectos principales son la primera prioridad. Sin embargo, dado que los RPD se preocupan por las variables de ruido, la interacción CCN es un efecto de prioridad 2,5. La interacción CN aumenta la prioridad en 0,5; Así, la prioridad tradicional 3 menos el 0,5 de la interacción CN resulta en una prioridad de 2,5. Una tabla completa de prioridades se puede encontrar en Leoppky, Bingham y Sitter (2006). ^{[ 11 ]}

Una investigación más profunda de los principios presentados permitirá comprender mejor la comparación de diseños.

En los diseños factoriales fraccionales regulares, la longitud de la palabra determinará qué tipos de aliasing estarán presentes. Por ejemplo, la palabra "2367" se puede dividir en estructuras de aliasing de la siguiente manera:

La palabra 2367 tiene una longitud de 4, y el peor caso de aliasing es que los efectos principales se confunden con interacciones de tres factores, y las interacciones de dos factores se confunden con otras interacciones de dos factores.

La longitud de las palabras se vuelve menos simplista al hablar de RPD porque la prioridad de los efectos ha cambiado. Consideremos la palabra 23578, donde los factores 2, 3 y 5 son variables de control y los factores 7 y 8 son variables de ruido. Las siguientes cadenas de alias se pueden derivar de esta palabra:

2=3578, 3=2578 5=2378 o C=CCNN 7=2358, 8=2357 o N=CCCN 23=578, 25=378, 35=278 o CC=CNN 27=358 y 28=357 o CN=CCN 235=78 o CCC=NN

Ahora que se pueden identificar los tipos de aliasing que se producen, es necesario utilizar la prioridad de efectos de Leoppky, Bingham y Sitter para determinar la cantidad máxima de aliasing presente. Esto significa que cualquier interacción CN aumenta dicha prioridad en 0,5; y la longitud de la palabra se obtiene sumando cada lado de la cadena de aliasing. La tabla siguiente muestra las sumas para cada tipo de aliasing presente en la palabra 23578.

Dado que las sumas más bajas indican un aliasing peor, esta palabra tiene el aliasing del peor caso de longitud 4. Es importante entender que en un FFD no se tendría en cuenta la diferenciación entre control y ruido, y esta palabra sería de longitud 5; pero los RPD se preocupan por esta distinción y, aunque la palabra parezca tener longitud 5, los criterios de diseño determinan la prioridad 4. Ahora, supongamos que el diseño D1 contiene solo la palabra que acabamos de analizar (23578). Si D1 se comparara con D2, y el aliasing del peor caso encontrado en D2 fuera de prioridad 3.5, entonces D1 sería el mejor diseño. Sin embargo, si el aliasing del peor caso de D2 fuera de prioridad 4, entonces se debe tener en cuenta la aberración mínima. Para cada diseño, calcularíamos las frecuencias de cada tipo de aliasing del peor caso. El mejor diseño se elegiría como el diseño que minimiza la aparición del aliasing del peor caso. Estas frecuencias se pueden organizar utilizando el patrón de longitud de palabra extendida (EWLP).

El diseño de experimentos (DOE) es una parte fundamental de la experimentación, el modelado y la simulación. Banks ^{[ 12 ]} afirma: «El diseño experimental se centra en reducir el tiempo y el esfuerzo asociados a la simulación, identificando la información que se debe recopilar de cada réplica de la simulación, cuántas réplicas se deben realizar y qué cambios en los parámetros del modelo se deben comparar». Una vez que un modelo conceptual se ha implementado como un modelo programado, el DOE es necesario para realizar la experimentación y obtener resultados de simulación de la manera más oportuna y rentable. Los siguientes ejemplos demuestran situaciones en las que los RPD se pueden utilizar para extraer conclusiones significativas.

Dado que los diseños de parcelas divididas (RPD) guardan una estrecha relación con los diseños de campo completo (FFD), se pueden aplicar los mismos métodos de análisis. El análisis de varianza (ANOVA) permite determinar qué factores son significativos. Se pueden utilizar puntos centrales para determinar si existe curvatura. Muchos paquetes de software estadístico incluyen diseños de parcelas divididas preconfigurados y listos para el análisis. Los RPD son diseños de cribado y se utilizan con frecuencia para reducir el número de factores que se cree que influyen en la respuesta.

• Box, GEP, (1988), Relaciones señal/ruido, criterios de rendimiento y transformaciones (con discusión), Technometrics, 30 1-40.
• Box, GEP, Hunter, WG y Hunter, JS (1978), Estadística para experimentadores . Wiley.
• Castillo, E. (2007), Optimización de procesos: un enfoque estadístico . Springer.
• Deng, LY y Tang, B. (1999), Resolución generalizada y criterios de aberración mínima para diseños factoriales no regulares de Plackett-Burman y otros, Statistica Sinica, 9 1071-1082.
• Deng, LY y Tang, B. (2002), Selección y clasificación de diseños para matrices de Hadamard utilizando criterios generalizados de mínima aberración, Technometrics, 44 173-184.
• Lawson, J. y Erjavec, J. (2001), Estadística moderna para la ingeniería y la mejora de la calidad . Duxbury.
• Loeppky, J. (2004), Clasificación de diseños no regulares. Disertación, Universidad Simon Fraser.
• Novosad, S. y Ingram, D. (2006), Diseños óptimos no regulares que ofrecen una alternativa a los diseños factoriales fraccionales regulares de 16 y 32 ensayos. Universidad Estatal de Arkansas, Universidad Estatal, AR.
• Pistone, G. y Wynn, HP (1996), Confusión generalizada con bases de Gröbner, Biometrika, 83 653-666.
• Taguchi, G. (1986), Introducción a la ingeniería de calidad . Nueva York: Quality Resources.
• Tang, B. y Deng. LY (1999), Aberración G2 mínima para diseños factoriales fraccionales no regulares, The Annals of Statistics , 27 1914-1926.
• Wiley, A. y Ingram, D. (2007), Descubriendo los patrones complejos de alias de algunos diseños no regulares. Tesis de honor de último año, Universidad Estatal de Arkansas, State University, AR.