Esfera de colina

La esfera de Hill es un modelo común para el cálculo de una esfera de influencia gravitacional . Es el modelo más utilizado para calcular la extensión espacial de la influencia gravitacional de un cuerpo astronómico ( m ) en la que domina sobre la influencia gravitacional de otros cuerpos, particularmente un cuerpo primario ( M ). ^{[ 1 ]} A veces se confunde con otros modelos de influencia gravitacional, como la esfera de Laplace ^{[ 1 ]} o la esfera de Roche , esta última causa confusión con el límite de Roche . ^{[ 2 ] [ 3 ]} Fue definida por el astrónomo estadounidense George William Hill , basándose en el trabajo del astrónomo francés Édouard Roche .

Para ser retenido por un objeto astrofísico más masivo, y por lo tanto con mayor poder gravitatorio —un planeta por una estrella, una luna por un planeta—, el cuerpo menos masivo debe tener una órbita que se encuentre dentro del potencial gravitatorio representado por la esfera de Hill del cuerpo más masivo. Esa luna, a su vez, tendría su propia esfera de Hill, y cualquier objeto dentro de esa distancia tendería a convertirse en un satélite de la luna, en lugar de uno del planeta mismo.

Una visión simple de la extensión del Sistema Solar es que está limitado por la esfera de Hill del Sol (generada por la interacción del Sol con el núcleo galáctico u otras estrellas más masivas). ^{[ 4 ]} Un ejemplo más complejo es el de la derecha, la esfera de Hill de la Tierra, que se extiende entre los puntos de Lagrange L ₁ y L ₂ , que se encuentran a lo largo de la línea de centros de la Tierra y del Sol, más masivo. La influencia gravitatoria del cuerpo menos masivo es mínima en esa dirección, y por lo tanto actúa como factor limitante para el tamaño de la esfera de Hill; más allá de esa distancia, un tercer objeto en órbita alrededor de la Tierra pasaría al menos parte de su órbita fuera de la esfera de Hill, y sería perturbado progresivamente por las fuerzas de marea del cuerpo más masivo, el Sol, terminando finalmente orbitando este último.

Para dos cuerpos masivos con potenciales gravitatorios y cualquier energía dada de un tercer objeto de masa despreciable que interactúa con ellos, se puede definir una superficie de velocidad cero en el espacio que no se puede atravesar, el contorno de la integral de Jacobi . Cuando la energía del objeto es baja, la superficie de velocidad cero rodea completamente al cuerpo menos masivo (de este sistema restringido de tres cuerpos ), lo que significa que el tercer objeto no puede escapar; a mayor energía, habrá uno o más huecos o cuellos de botella por los que el tercer objeto puede escapar del cuerpo menos masivo y entrar en órbita alrededor del más masivo. Si la energía está en el límite entre estos dos casos, entonces el tercer objeto no puede escapar, pero la superficie de velocidad cero que lo confina toca una superficie de velocidad cero mayor alrededor del cuerpo menos masivo en uno de los puntos de Lagrange cercanos , formando allí un punto en forma de cono. En el lado opuesto del cuerpo menos masivo, la superficie de velocidad cero se acerca al otro punto de Lagrange.

El radio o esfera de Hill (este último definido por el radio anterior ) se ha descrito como "la región alrededor de un cuerpo planetario donde su propia gravedad (en comparación con la del Sol u otros cuerpos cercanos) es la fuerza dominante en la atracción de satélites", tanto naturales como artificiales. ^{[ 5 ]}

Como describen de Pater y Lissauer, todos los cuerpos dentro de un sistema como el Sistema Solar del Sol "sienten la fuerza gravitatoria de los demás", y mientras que los movimientos de solo dos cuerpos que interactúan gravitatoriamente —constituyendo un "problema de dos cuerpos"— son "completamente integrables ([es decir]...existe una integral o restricción independiente por grado de libertad)" y, por lo tanto, tienen una solución analítica exacta, las interacciones de tres (o más) de estos cuerpos "no pueden deducirse analíticamente", requiriendo en cambio soluciones mediante integración numérica, cuando sea posible. ^{[ 6 ] : p.26} Este es el caso, a menos que la masa despreciable de uno de los tres cuerpos permita aproximar el sistema como un problema de dos cuerpos, conocido formalmente como un "problema restringido de tres cuerpos". ^{[ 6 ] : p.26}

Para problemas de dos o tres cuerpos restringidos como sus ejemplos más simples, por ejemplo, un cuerpo astrofísico primario más masivo, masa de${\displaystyle m_{1}}$y un cuerpo secundario menos masivo, masa de${\displaystyle m_{2}}$—el concepto de radio o esfera de Hill es del límite aproximado de la "dominación gravitacional" de la masa secundaria, ^{[ 6 ]} un límite definido por "la extensión" de su esfera de Hill, que se representa matemáticamente de la siguiente manera: ^{[ 6 ] : p.29 [ 7 ]}

${\displaystyle R_{\mathrm {H} }\approx a{\sqrt[{3}]{\frac {m_{2}}{3(m_{1}+m_{2})}}}\approx a{\sqrt[{3}]{\frac {1}{3({\frac {m_{1}}{m_{2}}}+1)}}}}$,

donde, en esta representación, semieje mayor "${\displaystyle a}$" puede entenderse como la "distancia heliocéntrica instantánea" entre las dos masas (en otros lugares abreviada r p ). ^{[ 6 ] : p.29 [ 7 ]}

En términos más generales, si el cuerpo menos masivo,${\displaystyle m_{2}}$, orbita un cuerpo más masivo,${\displaystyle m_{1}}$(por ejemplo, como un planeta que orbita alrededor del Sol) y tiene un semieje mayor.${\displaystyle a}$y una excentricidad de${\displaystyle e}$, entonces el radio o esfera de Hill,${\displaystyle R_{\mathrm {H} }}$del cuerpo menos masivo, calculado en el pericentro , es aproximadamente: ^{[ 8 ]}

${\displaystyle R_{\mathrm {H} }=a{\frac {(1-e^{2})}{(1+e\cos(\theta ))}}{\sqrt[{3}]{\frac {m_{2}}{3(m_{1}+m_{2})}}}=a{\frac {(1-e^{2})}{(1+e\cos(\theta ))}}{\sqrt[{3}]{\frac {1}{3({\frac {m_{1}}{m_{2}}}+1)}}}}$dónde${\displaystyle \theta }$es la verdadera anomalía para el cuerpo menos masivo en su órbita alrededor del cuerpo más masivo, un ángulo contenido entre 0° y 360°,

con${\displaystyle \cos(\theta )}$variando entre +1 en el periapsis ,${\displaystyle \theta =0}$y -1 en el apoapsis ,${\displaystyle \theta =180}$.

Con${\displaystyle (1-e^{2})=(1+e)(1-e)}$,

${\displaystyle R_{\mathrm {H} }=a(1-e){\sqrt[{3}]{\frac {m_{2}}{3(m_{1}+m_{2})}}}=a(1-e){\sqrt[{3}]{\frac {1}{3({\frac {m_{1}}{m_{2}}}+1)}}}}$en el perigeo y

${\displaystyle R_{\mathrm {H} }=a(1+e){\sqrt[{3}]{\frac {m_{2}}{3(m_{1}+m_{2})}}}=a(1+e){\sqrt[{3}]{\frac {1}{3({\frac {m_{1}}{m_{2}}}+1)}}}}$en el apogeo , en el caso del sistema Tierra-Luna, por ejemplo,${\displaystyle {\frac {m_{2}}{m_{1}}}=0.0123000371(4)}$y${\displaystyle {\frac {m_{1}}{m_{2}}}\approx 81.300568}$,${\displaystyle a=384,399\ km}$,${\displaystyle e=0.05490}$y el radio de Hill de la Luna en el perigeo es${\displaystyle R_{\mathrm {H} }=57,910\ km}$y en el apogeo es${\displaystyle 64,638\ km}$.

Cuando la excentricidad es despreciable (el caso más favorable para la estabilidad orbital), esta expresión se reduce a la presentada anteriormente.

En el ejemplo Tierra-Sol, la Tierra (5,97 × 10 ²⁴  kg ) orbita alrededor del Sol (1,99 × 10³⁰ kg  ) a una distancia de 149,6 millones de km, o una ^unidad astronómica (UA). La esfera de Hill para la Tierra se extiende así hasta aproximadamente 1,5 millones de km (0,01 UA). La órbita de la Luna, a una distancia de 0,384 millones de km de la Tierra, se encuentra cómodamente dentro de la esfera de influencia gravitacional de la Tierra y, por lo tanto, no corre el riesgo de ser atraída a una órbita independiente alrededor del Sol. La esfera de Hill del Sol tiene un límite máximo inestable de 230 000 UA (1,1 pc; 3,6 años luz) . ^{[ 10 ]}   

La fórmula anterior que ignora la excentricidad se puede reformular de la siguiente manera:

${\displaystyle {\frac {R_{\mathrm {H} }^{3}}{a^{3}}}\approx 1/3{\frac {m_{2}}{M}}}$, o ${\displaystyle 3{\frac {R_{\mathrm {H} }^{3}}{a^{3}}}\approx {\frac {m_{2}}{M}}}$,

donde M es la suma de las masas que interactúan.

La esfera de Hill es solo una aproximación, y otras fuerzas como la presión de radiación o el efecto Yarkovsky pueden eventualmente perturbar un objeto fuera de la esfera. ^{[ 11 ]} Como se indicó, el satélite (tercera masa) debería ser lo suficientemente pequeño como para que su gravedad contribuya de manera insignificante. ^{[ 6 ] : p.26 y ss.}

A grandes distancias de un cuerpo principal, las órbitas retrógradas permanecen estables en una región más amplia que las órbitas progradas . Se pensaba que esto explicaba la preponderancia de lunas retrógradas alrededor de Júpiter; sin embargo, Saturno tiene una mezcla más uniforme de lunas retrógradas/progradas, por lo que las razones son más complicadas. ^{[ 12 ]} En un sistema de dos planetas, el radio de Hill mutuo de los dos planetas debe ser mayor que${\displaystyle 2{\sqrt {3}}}$ser estable. Para sistemas con tres o más planetas, las configuraciones en las que los planetas vecinos están separados por menos de diez radios de Hill mutuos son inherentemente inestables, principalmente porque un tercer planeta introduce perturbaciones que drenan el momento angular. ^{[ 13 ]}

Es posible que una esfera de Hill sea tan pequeña que resulte imposible mantener una órbita alrededor de un cuerpo. Por ejemplo, un astronauta no podría haber puesto en órbita el transbordador espacial de 104 toneladas a 300 km de altitud, ya que un objeto de 104 toneladas a esa altura tiene una esfera de Hill de tan solo 120 cm de radio, mucho menor que la del transbordador. Una esfera de este tamaño y masa sería más densa que el plomo , y de hecho, en órbita terrestre baja , un cuerpo esférico debe ser más denso que el plomo para caber dentro de su propia esfera de Hill; de lo contrario, sería incapaz de mantener una órbita. Sin embargo, los satélites situados más lejos, en órbita geoestacionaria , solo necesitarían tener una densidad superior al 6 % de la del agua para caber dentro de su propia esfera de Hill.  

Dentro del Sistema Solar , el planeta con el mayor radio de Hill es Neptuno , con 116 millones de km, o 0,775 ua; su gran distancia del Sol compensa ampliamente su pequeña masa en relación con Júpiter (cuyo propio radio de Hill mide 53 millones de km). Sin embargo, si existe el Planeta Nueve , entonces asumiendo una masa de ~10 Tierras, un radio de ~15 000 km, una distancia de ~500 UA y una excentricidad de ~0,25, tendría un radio de Hill de 1200 millones de km, más de 10 veces el radio de Hill de Neptuno. Un asteroide del cinturón de asteroides tendrá una esfera de Hill que puede alcanzar los 220 000  km (para 1 Ceres ), disminuyendo rápidamente con la disminución de la masa. La esfera de Hill de 66391 Moshup , un asteroide que cruza Mercurio y que tiene una luna (llamada Squannit), mide 22  km de radio. ^{[ 14 ]}

Un típico " Júpiter caliente " extrasolar , HD 209458 b , ^{[ 15 ]} tiene un radio de esfera de Hill de 593 000 km, aproximadamente ocho veces su radio físico de aproximadamente 71 000 km. Incluso el planeta extrasolar más pequeño cercano, CoRoT-7b , ^{[ 16 ]} todavía tiene un radio de esfera de Hill (61 000 km), seis veces su radio físico (aproximadamente 10 000 km). Por lo tanto, estos planetas podrían tener pequeñas lunas cercanas, aunque no dentro de sus respectivos límites de Roche .    

La siguiente tabla y gráfica logarítmica muestran el radio de las esferas de Hill de algunos cuerpos del Sistema Solar calculado con la primera fórmula mencionada anteriormente (incluida la excentricidad orbital), utilizando valores obtenidos de la efeméride JPL DE405 y del sitio web de Exploración del Sistema Solar de la NASA. ^{[ 17 ]}

• Esfera de Laplace : Región del espacio donde la órbita de un satélite es estable. 
• Red de Transporte Interplanetario : Trayectorias de baja energía en el Sistema Solar 
• Problema de n cuerpos : un problema en física y mecánica celeste. 
• Lóbulo de Roche : región de unión gravitacional alrededor de una estrella en un sistema binario. 
• Esfera de influencia (astrodinámica) : Región del espacio dominada gravitacionalmente por un cuerpo determinado. 
• Esfera de influencia (agujero negro) : Región donde un agujero negro supermasivo domina gravitacionalmente su galaxia. 

• de Pater, Imke y Lissauer, Jack (2015). «Dinámica (El problema de los tres cuerpos, perturbaciones y resonancias)». Ciencias planetarias (2.ª  ed.). Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press. pp. 28–30 , 34. ISBN  9781316195697Consultado el 22 de julio de 2023 .{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
• de Pater, Imke y Lissauer, Jack (2015). «Formación planetaria (Formación de los planetas gigantes, satélites de planetas y planetas menores)». Ciencias planetarias (2.ª  ed.). Cambridge, Inglaterra: Cambridge University Press. pp.  539, 544. ISBN 9781316195697Consultado el 22 de julio de 2023 .{{cite book}}: CS1 maint: varios nombres: lista de autores ( enlace )
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• ¿Puede un astronauta orbitar el transbordador espacial?
• La luna que subió una colina, pero bajó un planeta. Archivado el 30/09/2008 en Wayback Machine.