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Articulo de referencia

Fórmula de rotación de Rodrigues

En la teoría de la rotación tridimensional , la fórmula de rotación de Rodrigues , que lleva el nombre de Olinde Rodrigues , es un algoritmo eficiente para rotar un vector en el...

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En la teoría de la rotación tridimensional , la fórmula de rotación de Rodrigues , que lleva el nombre de Olinde Rodrigues , es un algoritmo eficiente para rotar un vector en el espacio, dados un eje y un ángulo de rotación . Por extensión, esto se puede usar para transformar los tres vectores base y calcular una matriz de rotación en SO(3) , el grupo de todas las matrices de rotación, a partir de una representación eje-ángulo . En términos de la teoría de Lie , esta fórmula de Rodrigues proporciona un algoritmo para calcular la aplicación exponencial del álgebra de Lie so (3) a su grupo de Lie SO(3) .

Esta fórmula se atribuye indistintamente a Leonhard Euler , a Olinde Rodrigues o a una combinación de ambos. Un análisis histórico detallado de 1989 concluyó que la fórmula debía atribuirse a Euler y recomendó llamarla «fórmula de rotación finita de Euler». [ 1 ] Esta propuesta ha recibido un apoyo notable, [ 2 ] pero otros han considerado la fórmula como una de las muchas variaciones de la fórmula de Euler-Rodrigues , atribuyéndola así a ambos. [ 3 ]

Declaración

Si v es un vector en ℝ³ y k es un vector unitario que describe un eje de rotación alrededor del cual v gira un ángulo θ según la regla de la mano derecha , la fórmula de Rodrigues para el vector rotado v rot es

vrot=vporque⁡θ+(k×v)pecado⁡θ+k (k⋅v)(1−porque⁡θ).{\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {v} \cos \theta +(\mathbf {k} \times \mathbf {v} )\sin \theta +\mathbf {k} ~(\mathbf {k} \cdot \mathbf {v} )(1-\cos \theta )\,.}

La intuición de la fórmula anterior es que el primer término reduce el vector, mientras que el segundo lo desvía (mediante la suma de vectores ) hacia la nueva posición de rotación. El tercer término vuelve a sumar la altura (relativa ak{\displaystyle {\textbf {k}}}) que se perdió en el primer mandato.

Una formulación alternativa consiste en escribir el vector del eje como un producto vectorial a × b de dos vectores no nulos cualesquiera a y b que definen el plano de rotación , y el sentido del ángulo θ se mide alejándose de a y acercándose a b . Si denotamos por α el ángulo entre estos vectores, los dos ángulos θ y α no son necesariamente iguales, pero se miden en el mismo sentido. Entonces, el vector del eje unitario se puede escribir

k=a×b|a×b|=a×b|a||b|pecado⁡α.{\displaystyle \mathbf {k} ={\frac {\mathbf {a} \times \mathbf {b} }{|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |}}={\frac {\mathbf {a} \times \mathbf {b} }{|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \alpha }}\,.}

Esta forma puede resultar más útil cuando intervienen dos vectores que definen un plano. Un ejemplo en física es la precesión de Thomas , que incluye la rotación dada por la fórmula de Rodrigues, en términos de dos velocidades de impulso no colineales, cuyo eje de rotación es perpendicular a su plano.

Derivación

La fórmula de rotación de Rodrigues rota v un ángulo θ alrededor del vector k descomponiéndolo en sus componentes paralelas y perpendiculares a k , y rotando solo la componente perpendicular.
Geometría vectorial de la fórmula de rotación de Rodrigues, así como su descomposición en componentes paralelas y perpendiculares.

Sea k un vector unitario que define un eje de rotación, y sea v cualquier vector que gire alrededor de k un ángulo θ ( regla de la mano derecha , en sentido antihorario en la figura), produciendo el vector rotado.vputrefacción{\displaystyle \mathbb {v} _{\text{rot}}}.

Utilizando los productos escalar y vectorial , el vector v puede descomponerse en componentes paralelas y perpendiculares al eje k ,

v=v∥+v⊥,{\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} _{\parallel }+\mathbf {v} _{\perp }\,,}

donde el componente paralelo a k se llama proyección vectorial de v sobre k ,

v∥=(v⋅k)k{\displaystyle \mathbf {v} _ {\parallel }=(\mathbf {v} \cdot \mathbf {k} )\mathbf {k} },

y la componente perpendicular a k se llama vector de rechazo de v respecto a k :

v⊥=v−v∥=v−(k⋅v)k=−k×(k×v){\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }=\mathbf {v} -\mathbf {v} _{\parallel }=\mathbf {v} -(\mathbf {k} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {k} =-\mathbf {k} \times (\mathbf {k} \times \mathbf {v} )},

donde la última igualdad se deduce de la fórmula del triple producto vectorial :a×(b×do)=(a⋅do)b−(a⋅b)do{\textstyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} }. Finalmente, el vectork×v⊥=k×v{\displaystyle \mathbf {k} \times \mathbf {v} _{\perp }=\mathbf {k} \times \mathbf {v} }es una copia dev⊥{\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }}girado 90° alrededork{\displaystyle \mathbf {k} }. Por lo tanto, los tres vectoresk, v⊥,k×v{\displaystyle \mathbf {k} \,,\ \mathbf {v} _{\perp }\,,\,\mathbf {k} \times \mathbf {v} }formen una base ortogonal dextrógira deR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}, con los dos últimos vectores de igual longitud.

Ilustración geométrica animada de la fórmula de rotación de Rodrigues: un vector se descompone en componentes paralelas y perpendiculares al eje de rotación, y la componente perpendicular se rota en su plano.

Bajo la rotación, el componentev∥{\displaystyle \mathbf {v} _{\parallel }}Paralelo al eje no cambiará ni magnitud ni dirección:

v∥rot=v∥;{\displaystyle \mathbf {v} _{\parallel \mathrm {rot} }=\mathbf {v} _{\parallel }\,;}

mientras que el componente perpendicular conservará su magnitud pero rotará su dirección en el plano perpendicular abarcado porv⊥{\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }}yk×v{\displaystyle \mathbf {k} \times \mathbf {v} }, de acuerdo a

v⊥rot=porque⁡(θ)v⊥+pecado⁡(θ)k×v⊥=porque⁡(θ)v⊥+pecado⁡(θ)k×v,{\displaystyle \mathbf {v} _{\perp \mathrm {rot} }=\cos(\theta )\mathbf {v} _{\perp }+\sin(\theta )\mathbf {k} \times \mathbf {v} _{\perp }=\cos(\theta )\mathbf {v} _{\perp }+\sin(\theta )\mathbf {k} \times \mathbf {v} \,,}

en analogía con las coordenadas polares planas ( r , θ ) en la base cartesiana e x , e y :

r=rporque⁡(θ)miincógnita+rpecado⁡(θ)miy.{\displaystyle \mathbf {r} =r\cos(\theta )\mathbf {e} _ {x}+r\sin(\theta )\mathbf {e} _{y}\,.}

Ahora el vector rotado completo es:

vrot=v∥rot+v⊥rot=v∥+porque⁡(θ)v⊥+pecado⁡(θ)k×v.{\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {v} _{\parallel \mathrm {rot} }+\mathbf {v} _{\perp \mathrm {rot} }=\mathbf {v} _{\parallel }+\cos(\theta )\,\mathbf {v} _{\perp }+\sin(\theta )\mathbf {k} \times \mathbf {v} .}

Sustituyendov⊥=v−v‖{\displaystyle \mathbf {v} _{\perp }=\mathbf {v} -\mathbf {v} _{\|}}ov‖=v−v⊥{\displaystyle \mathbf {v} _{\|}=\mathbf {v} -\mathbf {v} _{\perp }}en la última expresión se obtiene respectivamente:

vputrefacción=porque⁡(θ)v+pecado⁡(θ)k×v+(1−porque⁡θ)(k⋅v)k{\displaystyle \mathbf {v} _{\text{rot}}=\cos(\theta )\,\mathbf {v} +\sin(\theta )\mathbf {k} \times \mathbf {v} +(1-\cos \theta )(\mathbf {k} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {k} }
vputrefacción=v+pecado⁡(θ)k×v+(1−porque⁡θ)k×(k×v).{\displaystyle {\phantom {\mathbf {v} _{\text{rot}}}}=\mathbf {v} +\sin(\theta )\mathbf {k} \times \mathbf {v} +(1-\cos \theta )\mathbf {k} \times (\mathbf {k} \times \mathbf {v} ).}

Notación matricial

La transformación lineal env∈R3{\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{3}}definido por el producto cruzadov↦k×v{\displaystyle \mathbf {v} \mapsto \mathbf {k} \times \mathbf {v} }se da en coordenadas representando v y k × v como matrices columna :

[(k×v)incógnita(k×v)y(k×v)z]=[kyvz−kzvykzvincógnita−kincógnitavzkincógnitavy−kyvincógnita]=[0 −kzkykz0 −kincógnita−kykincógnita0 ][vincógnitavyvz].{\displaystyle {\begin{bmatrix}(\mathbf {k} \times \mathbf {v} )_{x}\\(\mathbf {k} \times \mathbf {v} )_{y}\\(\mathbf {k} \times \mathbf {v} )_{z}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}k_{y}v_{z}-k_{z}v_{y}\\k_{z}v_{x}-k_{x}v_{z}\\k_{x}v_{y}-k_{y}v_{x}\end{bmatrix}}=\left[{\begin{array}{rrr}0\ \,&-k_{z}&k_{y}\\k_{z}&0\ \,&-k_{x}\\-k_{y}&k_{x}&0\ \,\end{array}}\right]{\begin{bmatrix}v_{x}\\v_{y}\\v_{z}\end{bmatrix}}\,.}

Es decir, la matriz de esta transformación lineal (con respecto a las coordenadas estándar) es la matriz de producto vectorial :

K=[0 −kzkykz0 −kincógnita−kykincógnita0 ].{\displaystyle \mathbf {K} =\left[{\begin{array}{rrr}0\ \,&-k_{z}&k_{y}\\k_{z}&0\ \,&-k_{x}\\-k_{y}&k_{x}&0\ \,\end{array}}\right]\,.}

Es decir,

k×v=Kv,k×(k×v)=K(Kv)=K2v.{\displaystyle \mathbf {k} \times \mathbf {v} =\mathbf {K} \mathbf {v} ,\qquad \qquad \mathbf {k} \times (\mathbf {k} \times \mathbf {v} )=\mathbf {K} (\mathbf {K} \mathbf {v} )=\mathbf {K} ^{2}\mathbf {v} \,.}

Por lo tanto, la última fórmula de la sección anterior se puede escribir como:

vrot=v+(pecado⁡θ)Kv+(1−porque⁡θ)K2v.{\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {rot} }=\mathbf {v} +(\sin \theta )\mathbf {K} \mathbf {v} +(1-\cos \theta )\mathbf {K} ^{2}\mathbf {v} \,.}

La agrupación de términos permite la expresión compacta

vrot=Rv{\displaystyle \mathbf {v} _ {\mathrm {rot} }=\mathbf {R} \mathbf {v} }

dónde

R=I+(pecado⁡θ)K+(1−porque⁡θ)K2{\displaystyle \mathbf {R} =\mathbf {I} +(\sin \theta )\mathbf {K} +(1-\cos \theta )\mathbf {K} ^{2}}

es la matriz de rotación a través de un ángulo θ en sentido antihorario alrededor del eje k , e I la matriz identidad de 3 × 3. [ 4 ] Esta matriz R es un elemento del grupo de rotación SO(3) deR3{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}y K es un elemento del álgebra de Lie.so(3){\displaystyle {\mathfrak {entonces}}(3)}generando ese grupo de Lie (nótese que K es antisimétrico , lo que caracterizaso(3){\displaystyle {\mathfrak {entonces}}(3)}).

En términos de la exponencial matricial,

R=exp⁡(θK).{\displaystyle \mathbf {R} =\exp(\theta \mathbf {K} )\,.}

Para comprobar que la última identidad se mantiene, se observa que

R(θ)R(ϕ)=R(θ+ϕ),R(0)=I,{\displaystyle \mathbf {R} (\theta )\mathbf {R} (\phi )=\mathbf {R} (\theta +\phi ),\quad \mathbf {R} (0)=\mathbf {I} \,,}

característica de un subgrupo de un parámetro , es decir exponencial, y que las fórmulas coinciden para θ infinitesimal .

Para una derivación alternativa basada en esta relación exponencial, consulte el mapa exponencial deso(3){\displaystyle {\mathfrak {entonces}}(3)}a SO(3) . Para el mapeo inverso, vea el mapa logarítmico de SO(3) aso(3){\displaystyle {\mathfrak {entonces}}(3)}.

El resultado anterior se puede escribir en notación de índices de la siguiente manera. Los elementos de la matriz para una rotación activa por un ánguloθ{\displaystyle \theta }alrededor de un eje k vienen dados por

Rij=porque⁡θδij+(1−porque⁡θ)kikj−pecado⁡θϵijlkl.{\displaystyle R_{ij}=\cos \theta \,\delta _{ij}+(1-\cos \theta )k_{i}k_{j}-\sin \theta \,\epsilon _{ijl}k_{l}.}

Aquí, i , j y l etiquetan los componentes cartesianos (x, y, z) o (1, 2, 3) ,δij{\displaystyle \delta _{ij}}yϵijl{\displaystyle \epsilon _ {ijl}}son los símbolos de Kronecker y Levi-Civita, y hay una suma implícita sobre índices repetidos. Más explícitamente, sus entradas vienen dadas por:

R=[do+(1−do)kincógnita2(1−do)kincógnitaky−skz(1−do)kincógnitakz+sky(1−do)kincógnitaky+skzdo+(1−do)ky2(1−do)kykz−skincógnita(1−do)kincógnitakz−sky(1−do)kykz+skincógnitado+(1−do)kz2],{\displaystyle \mathbf {R} =\left[{\begin{array}{lll}c+(1-c)k_{x}^{2}&(1-c)k_{x}k_{y}-sk_{z}&(1-c)k_{x}k_{z}+sk_{y}\\(1-c)k_{x}k_{y}+sk_{z}&c+(1-c)k_{y}^{2}&(1-c)k_{y}k_{z}-sk_{x}\\(1-c)k_{x}k_{z}-sk_{y}&(1-c)k_{y}k_{z}+sk_{x}&c+(1-c)k_{z}^{2}\end{array}}\right]\,,}

dónde s=pecado⁡θ{\displaystyle s=\sin \theta }ydo=porque⁡θ{\displaystyle c=\cos \theta }.

El dual de Hodge de la rotaciónR{\displaystyle \mathbf {R} }es soloR∗=−pecado⁡(θ)k{\displaystyle \mathbf {R} ^{*}=-\sin(\theta )\mathbf {k} }lo que permite extraer tanto el eje de rotación como el seno del ángulo de rotación de la propia matriz de rotación, con la ambigüedad habitual,

pecado⁡(θ)=σ|R∗|k=−σR∗|R∗|{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta )&=\sigma \left|\mathbf {R} ^{*}\right|\\[3pt]\mathbf {k} &=-{\frac {\sigma \mathbf {R} ^{*}}{\left|\mathbf {R} ^{*}\right|}}\end{aligned}}}

dóndeσ=±1{\displaystyle \sigma =\pm 1}La expresión simple anterior resulta del hecho de que los duales de Hodge deI{\displaystyle \mathbf {I} }yK2{\displaystyle \mathbf {K} ^{2}}son cero yK∗=−k{\displaystyle \mathbf {K} ^{*}=-\mathbf {k} }.

Véase también

Referencias

  1. ↑ Cheng, Hui; Gupta, KC (marzo de 1989). "Una nota histórica sobre rotaciones finitas" (PDF) . Journal of Applied Mechanics . 56 (1). Sociedad Estadounidense de Ingenieros Mecánicos: 139–145 . Bibcode : 1989JAM....56..139C . doi : 10.1115/1.3176034 . Consultado el 11 de abril de 2022 .
  2. ↑ Fraiture, Luc (2009). "Historia de la descripción de la rotación finita tridimensional" . The Journal of the Astronautical Sciences . 57 ( 1–2 ). Springer: 207–232 . Bibcode : 2009JAnSc..57..207F . doi : 10.1007/BF03321502 . Consultado el 15 de abril de 2022 .
  3. ↑ Dai, Jian S. (octubre de 2015). "Variaciones de la fórmula de Euler-Rodrigues, conjugación de cuaterniones y conexiones intrínsecas" . Mechanism and Machine Theory . 92. Elsevier: 144–152 . doi : 10.1016/j.mechmachtheory.2015.03.004 .
  4. ↑ Belongie, Serge. "Fórmula de rotación de Rodrigues" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 7 de abril de 2021 .
  • Leonhard Euler , "Problema algebraicum ob afectos prorsus singulares memorabile", Commentatio 407 Indicis Enestoemiani, Novi Comm. Acad. Ciencia. Petropolitanae 15 (1770), 75-106.
  • Olinde Rodrigues , "Des lois géométriques qui régissent les déplacements d'un système solide dans l'espace, et de la variación des coordonnées provenant de ces déplacements considérés indépendants des cause qui peuvent les produire", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 5 (1840), 380–440. en línea .
  • Richard M. Friedberg (2022) " Rodrigues, Olinde: "Des lois géométriques qui régissent les déplacements d'un systéme solide...", traducción y comentario ". arXiv:2211.07787 .
  • Don Koks, (2006) Exploraciones en física matemática , Springer Science+Business Media, LLC. ISBN 0-387-30943-8Cap. 4, págs. 147 y siguientes. Una ruta indirecta hacia el álgebra geométrica.
  • Johan E. Mebius, Derivación de la fórmula de Euler-Rodrigues para rotaciones tridimensionales a partir de la fórmula general para rotaciones cuatridimensionales. , arXiv General Mathematics 2007.
  • Para otro ejemplo descriptivo, véase: https://chrishecker.com/Rigid_Body_Dynamics#Physics_Articles , Chris Hecker, sección de física, parte 4. "La tercera dimensión" – en la página 3, sección Eje y ángulo , https://chrishecker.com/images/b/bb/Gdmphys4.pdf