Dato raíz

En teoría matemática de grupos , el dato raíz de un grupo algebraico reductivo dividido conexo sobre un cuerpo es una generalización de un sistema raíz que determina el grupo hasta el isomorfismo. Fueron introducidos por Michel Demazure en SGA III , publicado en 1970.

Un dato raíz consta de un cuádruple

${\displaystyle (X^{\ast },\Phi ,X_{\ast },\Phi ^{\vee })}$,

dónde

• ${\displaystyle X^{\ast}}$y son grupos abelianos libres de rango finito junto con un emparejamiento perfecto entre ellos con valores que denotamos por ( , ) (en otras palabras, cada uno se identifica con el dual del otro).${\displaystyle X_{\ast}}$${\displaystyle \mathbb {Z}}$
• ${\estilo de visualización \Phi}$es un subconjunto finito de y es un subconjunto finito de y existe una biyección de sobre , denotada por .${\displaystyle X^{\ast}}$${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$${\displaystyle X_{\ast}}$${\estilo de visualización \Phi}$${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$${\displaystyle \alpha \mapsto \alpha ^{\vee }}$
• Para cada , .${\estilo de visualización \alpha}$${\displaystyle (\alpha ,\alpha ^{\vee })=2}$
• Para cada , el mapa induce un automorfismo del dato raíz (en otras palabras, se asigna a y la acción inducida sobre se asigna a ).${\estilo de visualización \alpha}$${\displaystyle x\mapsto x-(x,\alpha ^{\vee })\alpha }$${\estilo de visualización \Phi}$${\estilo de visualización \Phi}$${\displaystyle X_{\ast}}$${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$

Los elementos de se denominan raíces del dato raíz, y los elementos de se denominan co-raíces . ${\estilo de visualización \Phi}$${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$

Si no contiene ningún , entonces el dato raíz se llama reducido . ${\estilo de visualización \Phi}$${\estilo de visualización 2\alfa}$${\displaystyle \alpha \en \Phi }$

Si es un grupo algebraico reductivo sobre un cuerpo algebraicamente cerrado con un toro máximo dividido , entonces su dato raíz es un cuádruple ${\estilo de visualización G}$ ${\estilo de visualización K}$${\estilo de visualización T}$

${\displaystyle (X^{*},\Phi ,X_{*},\Phi ^{\vee })}$,

dónde

• ${\estilo de visualización X^{*}}$es la red de caracteres del toro máximo,
• $Estilo de visualización X_{*}}$es la red dual (dada por los subgrupos de 1 parámetro),
• ${\estilo de visualización \Phi}$es un conjunto de raíces,
• ${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$es el conjunto correspondiente de cororraíces.

Un grupo algebraico reductivo dividido y conexo está determinado de forma única (salvo isomorfismo) por su dato raíz, que siempre está reducido. A la inversa, para cualquier dato raíz existe un grupo algebraico reductivo. Un dato raíz contiene algo más de información que el diagrama de Dynkin , porque también determina el centro del grupo. ${\estilo de visualización K}$

Para cualquier dato raíz , podemos definir un dato raíz dual intercambiando los caracteres con los subgrupos de 1 parámetro y cambiando las raíces con las co-raíces. ${\displaystyle (X^{*},\Phi ,X_{*},\Phi ^{\vee })}$ ${\displaystyle (X_{*},\Phi ^{\vee },X^{*},\Phi )}$

Si es un grupo algebraico reductivo conexo sobre el cuerpo algebraicamente cerrado , entonces su grupo dual de Langlands es el grupo reductivo complejo conexo cuyo dato raíz es dual al de . ${\estilo de visualización G}$${\estilo de visualización K}$ ${\displaystyle {}^{L}G}$${\estilo de visualización G}$

• Michel Demazure , Exp. XXI en SGA 3 vol. 3
• TA Springer , Grupos reductivos, en Formas automórficas, representaciones y funciones L vol 1 ISBN  0-8218-3347-2