datum raíz

En la teoría matemática de grupos , el dato raíz de un grupo algebraico reductivo escindido conexo sobre un cuerpo es una generalización de un sistema de raíces que determina el grupo salvo isomorfismo. Fueron introducidos por Michel Demazure en SGA III , publicado en 1970.

Un dato raíz consta de una cuádrupla

${\displaystyle (X^{\ast },\Phi ,X_{\ast },\Phi ^{\vee })}$,

dónde

• ${\displaystyle X^{\ast }}$y${\displaystyle X_{\ast }}$son grupos abelianos libres de rango finito junto con un emparejamiento perfecto entre ellos con valores en${\displaystyle \mathbb {Z} }$que denotamos por ( , ) (en otras palabras, cada uno se identifica con el dual del otro).
• ${\displaystyle \Phi }$es un subconjunto finito de${\displaystyle X^{\ast }}$y${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$es un subconjunto finito de${\displaystyle X_{\ast }}$y hay una biyección desde${\displaystyle \Phi }$sobre${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$, denotado por${\displaystyle \alpha \mapsto \alpha ^{\vee }}$.
• Para cada${\displaystyle \alpha \in \Phi }$,${\displaystyle (\alpha ,\alpha ^{\vee })=2}$.
• Para cada${\displaystyle \alpha \in \Phi }$, el mapa${\displaystyle x\mapsto x-(x,\alpha ^{\vee })\alpha }$induce un automorfismo del dato raíz (en otras palabras, mapea)${\displaystyle \Phi }$a${\displaystyle \Phi }$y la acción inducida sobre${\displaystyle X_{\ast }}$mapas${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$a${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$)

Los elementos de${\displaystyle \Phi }$se denominan las raíces del dato raíz y los elementos de${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$se llaman coroots .

Si${\displaystyle \Phi }$no contiene${\displaystyle 2\alpha }$para cualquier${\displaystyle \alpha \in \Phi }$, entonces el dato raíz se llama reducido .

Si${\displaystyle G}$es un grupo algebraico reductivo sobre un cuerpo algebraicamente cerrado${\displaystyle K}$con un toro máximo dividido${\displaystyle T}$ entonces su dato raíz es un cuádruple

${\displaystyle (X^{*},\Phi ,X_{*},\Phi ^{\vee })}$,

dónde

• ${\displaystyle X^{*}}$es la red de caracteres del toro maximal,
• ${\displaystyle X_{*}}$es la red dual (dada por los subgrupos de 1 parámetro),
• ${\displaystyle \Phi }$es un conjunto de raíces,
• ${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$es el conjunto correspondiente de co-raíces.

Un grupo algebraico reductivo dividido conexo sobre${\displaystyle K}$ Está determinado unívocamente (salvo isomorfismo) por su dato raíz, que siempre es reducido. A la inversa, para cualquier dato raíz existe un grupo algebraico reductivo. Un dato raíz contiene algo más de información que el diagrama de Dynkin , porque también determina el centro del grupo.

Para cualquier dato raíz${\displaystyle (X^{*},\Phi ,X_{*},\Phi ^{\vee })}$, podemos definir un dato raíz dual${\displaystyle (X_{*},\Phi ^{\vee },X^{*},\Phi )}$intercambiando los caracteres con los subgrupos de 1 parámetro, e intercambiando las raíces con las corraíces.

Si${\displaystyle G}$es un grupo algebraico reductivo conexo sobre el cuerpo algebraicamente cerrado${\displaystyle K}$, luego su grupo dual de Langlands${\displaystyle {}^{L}G}$es el grupo reductivo conectado complejo cuyo dato raíz es dual al de${\displaystyle G}$.

• Michel Demazure , Exp. XXI en SGA 3 vol 3
• TA Springer , Grupos reductivos , en Formas automórficas, representaciones y funciones L, vol. 1 ISBN 0-8218-3347-2