Sistema radicular

Sea E un espacio vectorial euclidiano de dimensión finita , con el producto interno euclidiano estándar denotado por${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$. Un sistema de raíces${\displaystyle \Phi }$en E es un conjunto finito de vectores no nulos (llamados raíces ) que satisfacen las siguientes condiciones: ^{[ 2 ] [ 3 ]}

1. Las raíces abarcan E.
2. Los únicos múltiplos escalares de una raíz${\displaystyle \alpha \in \Phi }$que pertenecen a${\displaystyle \Phi }$son${\displaystyle \alpha }$sí mismo y${\displaystyle -\alpha }$.
3. Para cada raíz${\displaystyle \alpha \in \Phi }$, el conjunto${\displaystyle \Phi }$está cerrado bajo reflexión a través del hiperplano perpendicular a${\displaystyle \alpha }$.
4. ( Integridad ) Si${\displaystyle \alpha }$y${\displaystyle \beta }$tienen raíces en${\displaystyle \Phi }$, entonces la proyección de${\displaystyle \beta }$en la línea a través de${\displaystyle \alpha }$es un múltiplo entero o medio entero de${\displaystyle \alpha }$.

Las formas equivalentes de escribir las condiciones 3 y 4, respectivamente, son las siguientes:

3. Para cualesquiera dos raíces${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi }$, el conjunto${\displaystyle \Phi }$contiene el elemento${\displaystyle \sigma _{\alpha }(\beta ):=\beta -2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}}\alpha .}$
4. Para cualesquiera dos raíces${\displaystyle \alpha ,\beta \in \Phi }$, el número${\displaystyle \langle \beta,\alpha \rangle$ :=2{\frac {(\alpha ,\beta )}{(\alpha ,\alpha )}}} es un número entero .

Algunos autores solo incluyen las condiciones 1 a 3 en la definición de un sistema de raíces. ^{[ 4 ]} En este contexto, un sistema de raíces que también satisface la condición de integralidad se conoce como un sistema de raíces cristalográfico . ^{[ 5 ]} Otros autores omiten la condición 2; entonces llaman a los sistemas de raíces que satisfacen la condición 2 reducidos . ^{[ 6 ]} En este artículo, se supone que todos los sistemas de raíces son reducidos y cristalográficos.

En vista de la propiedad 3, la condición de integralidad es equivalente a afirmar que β y su reflexión σ _α ( β ) difieren en un múltiplo entero de α . Nótese que el operador  $${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle \colon \Phi \times \Phi \to \mathbb {Z} }$$ Definido por la propiedad 4, no es un producto interno. No es necesariamente simétrico y es lineal solo en el primer argumento.

El rango de un sistema de raíces Φ es la dimensión de E. Dos sistemas de raíces pueden combinarse considerando los espacios euclidianos que generan como subespacios mutuamente ortogonales de un espacio euclidiano común. Un sistema de raíces que no surge de dicha combinación, como los sistemas _A₂ , B₂ _y G₂ representados a la derecha _, se denomina irreducible .

Dos sistemas de raíces ( E ₁ ,  Φ ₁ ) y ( E ₂ ,  Φ ₂ ) se denominan isomorfos si existe una transformación lineal invertible E ₁  → E ₂ que envía Φ ₁ a Φ ₂ tal que para cada par de raíces, el número   ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$se conserva. ^{[ 7 ]}

ElLa red de raíces de un sistema deraíces Φ es elZ-submódulo deEgenerado por Φ. Es unaredenE. 

El grupo de isometrías de E generado por reflexiones a través de hiperplanos asociados a las raíces de Φ se llama grupo de Weyl de Φ. Como actúa fielmente sobre el conjunto finito Φ, el grupo de Weyl es siempre finito. Los planos de reflexión son los hiperplanos perpendiculares a las raíces, indicados para    ${\displaystyle A_{2}}$representados con líneas discontinuas en la figura siguiente. El grupo de Weyl es el grupo de simetría de un triángulo equilátero , que tiene seis elementos. En este caso, el grupo de Weyl no es el grupo de simetría completo del sistema de raíces (por ejemplo, una rotación de 60 grados es una simetría del sistema de raíces, pero no un elemento del grupo de Weyl).

Existe un único sistema de raíces de rango 1, que consta de dos vectores distintos de cero.${\displaystyle \{\alpha ,-\alpha \}}$Este sistema de raíces se llama${\displaystyle A_{1}}$.

En el rango 2 hay cuatro posibilidades, que corresponden a${\displaystyle \sigma _{\alpha }(\beta )=\beta +n\alpha }$, dónde${\displaystyle n=0,1,2,3}$. ^{[ 8 ]} La figura de la derecha muestra estas posibilidades, pero con algunas redundancias:${\displaystyle A_{1}\times A_{1}}$es isomorfo a${\displaystyle D_{2}}$y${\displaystyle B_{2}}$es isomorfo a${\displaystyle C_{2}}$.

Cabe señalar que un sistema radicular no está determinado por la red que genera:${\displaystyle A_{1}\times A_{1}}$y${\displaystyle B_{2}}$ambos generan una red cuadrada mientras${\displaystyle A_{2}}$y${\displaystyle G_{2}}$ambos generan una red hexagonal .

Siempre que Φ sea un sistema de raíces en E y S sea un subespacio de E generado por Ψ  =  Φ  ∩ S , entonces Ψ es un sistema de raíces en S. Por lo tanto, la lista exhaustiva de cuatro sistemas de raíces de rango 2 muestra las posibilidades geométricas para cualquier par de raíces elegidas de un sistema de raíces de rango arbitrario. En particular, dos de dichas raíces deben encontrarse en un ángulo de 0, 30, 45, 60, 90, 120, 135, 150 o 180 grados.    

Si${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es un álgebra de Lie semisimple compleja y${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$es una subálgebra de Cartan , podemos construir un sistema de raíces de la siguiente manera. Decimos que${\displaystyle \alpha \in {\mathfrak {h}}^{*}}$es una raíz de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$relativo a${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$si${\displaystyle \alpha \neq 0}$y existe algo${\displaystyle X\neq 0\in {\mathfrak {g}}}$de tal manera que $${\displaystyle [H,X]=\alpha (H)X}$$ a pesar de${\displaystyle H\in {\mathfrak {h}}}$. Se puede demostrar ^{[ 9 ]} que existe un producto interno para el cual el conjunto de raíces forma un sistema de raíces. El sistema de raíces de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$es una herramienta fundamental para analizar la estructura de${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$y clasificando sus representaciones. (Véase la sección siguiente sobre sistemas de raíces y teoría de Lie).

Si Φ es un sistema de raíces en E , la correraíz α ^∨ de una raíz α se define por $${\displaystyle \alpha ^{\vee }={2 \over (\alpha ,\alpha )}\,\alpha .}$$

El conjunto de correraíces también forma un sistema de raíces Φ ^∨ en E , llamado sistema de raíces dual (o a veces sistema de raíces inverso ). Mediante cálculo directo, α ^∨∨ = α, de modo que Φ es el sistema de raíces dual de Φ ^∨ . La red en E generada por Φ ^∨ se llama red de correraíces . Tanto Φ como Φ ^∨ tienen el mismo grupo de Weyl W y, para s en W , $${\displaystyle (s\alpha )^{\vee }=s(\alpha ^{\vee }).}$$

Si Δ es un conjunto de raíces simples para Φ, entonces Δ ^∨ es un conjunto de raíces simples para Φ ^∨ . ^{[ 17 ]}

En la clasificación descrita a continuación, los sistemas radiculares de tipo${\displaystyle A_{n}}$y${\displaystyle D_{n}}$junto con los excepcionales sistemas de raíces${\displaystyle E_{6},E_{7},E_{8},F_{4},G_{2}}$son todos autoduales, lo que significa que el sistema de raíces dual es isomorfo al sistema de raíces original. Por el contrario, el${\displaystyle B_{n}}$y${\displaystyle C_{n}}$Los sistemas radiculares son duales entre sí, pero no isomorfos (excepto cuando${\displaystyle n=2}$).

Un vector${\displaystyle \lambda }$En E se denomina integral ^{[ 18 ]} si su producto interno con cada raíz común es un número entero: $${\displaystyle 2{\frac {(\lambda ,\alpha )}{(\alpha ,\alpha )}}\in \mathbb {Z} ,\quad \alpha \in \Phi .}$$ Dado que el conjunto de${\displaystyle \alpha ^{\vee }}$con${\displaystyle \alpha \in \Delta }$forma una base para el sistema de raíces duales, para verificar que${\displaystyle \lambda }$es integral, basta con comprobar la condición anterior para${\displaystyle \alpha \in \Delta }$.

El conjunto de elementos enteros se denomina retículo de pesos asociado al sistema de raíces dado. Este término proviene de la teoría de representaciones de álgebras de Lie semisimples , donde los elementos enteros forman los posibles pesos de representaciones de dimensión finita.

La definición de un sistema de raíces garantiza que las raíces mismas sean elementos enteros. Por lo tanto, toda combinación lineal entera de raíces también es entera. Sin embargo, en la mayoría de los casos, habrá elementos enteros que no son combinaciones enteras de raíces. Es decir, en general, la red de pesos no coincide con la red de raíces.

Dado un sistema radicular, seleccione un conjunto Δ de raíces simples como en la sección anterior. Los vértices del diagrama de Dynkin asociado corresponden a las raíces en Δ. Se trazan aristas entre los vértices según los ángulos. (Tenga en cuenta que el ángulo entre raíces simples siempre es de al menos 90 grados).

• No hay arista si los vectores son ortogonales,
• Un borde único no dirigido si forman un ángulo de 120 grados,
• Un doble filo dirigido si forman un ángulo de 135 grados, y
• Un triple filo dirigido si forman un ángulo de 150 grados.

El término "arista dirigida" significa que las aristas dobles y triples se marcan con una flecha que apunta hacia el vector más corto. (Considerar la flecha como un signo de "mayor que" deja claro hacia dónde debe apuntar).

Tenga en cuenta que, según las propiedades elementales de las raíces mencionadas anteriormente, las reglas para crear el diagrama de Dynkin también se pueden describir de la siguiente manera: No hay arista si las raíces son ortogonales; para raíces no ortogonales, una arista simple, doble o triple según si la relación de longitud de la más larga a la más corta es 1,${\displaystyle {\sqrt {2}}}$,${\displaystyle {\sqrt {3}}}$. En el caso de la${\displaystyle G_{2}}$sistema radicular por ejemplo, hay dos raíces simples en un ángulo de 150 grados (con una relación de longitud de${\displaystyle {\sqrt {3}}}$Así, el diagrama de Dynkin tiene dos vértices unidos por una arista triple, con una flecha que apunta desde el vértice asociado a la raíz más larga hacia el otro vértice. (En este caso, la flecha es un tanto redundante, ya que el diagrama es equivalente independientemente de la dirección de la flecha).

Aunque un sistema radicular dado tenga más de un conjunto posible de raíces simples, el grupo de Weyl actúa transitivamente sobre dichas elecciones. ^{[ 19 ]} En consecuencia, el diagrama de Dynkin es independiente de la elección de raíces simples; está determinado por el propio sistema radicular. Por el contrario, dados dos sistemas radiculares con el mismo diagrama de Dynkin, se pueden emparejar las raíces, comenzando por las raíces de la base, y demostrar que los sistemas son, de hecho, el mismo. ^{[ 20 ]}

Así, el problema de clasificar sistemas de raíces se reduce al problema de clasificar diagramas de Dynkin posibles. Un sistema de raíces es irreducible si y solo si su diagrama de Dynkin es conexo. ^{[ 21 ]} Los diagramas conexos posibles se muestran en la figura. Los subíndices indican el número de vértices del diagrama (y, por lo tanto, el rango del sistema de raíces irreducible correspondiente).

Si${\displaystyle \Phi }$es un sistema de raíces, el diagrama de Dynkin para el sistema de raíces dobles${\displaystyle \Phi ^{\vee }}$se obtiene del diagrama de Dynkin de${\displaystyle \Phi }$manteniendo todos los mismos vértices y aristas, pero invirtiendo las direcciones de todas las flechas. Así, podemos ver en sus diagramas de Dynkin que${\displaystyle B_{n}}$y${\displaystyle C_{n}}$son duales entre sí.

Sea E el subespacio de R ^{n +1} para el cual las coordenadas suman 0, y sea Φ el conjunto de vectores en E de longitud √ 2 y que son vectores enteros, es decir, tienen coordenadas enteras en R ^{n +1} . Dicho vector debe tener todas menos dos coordenadas iguales a 0, una coordenada igual a 1 y una igual a −1, por lo que hay n ² + n raíces en total. Una elección de raíces simples expresadas en la base estándar es α _i = e _i − e _{i +1} para 1 ≤ i ≤ n .

La reflexión σ _i a través del hiperplano perpendicular a α _i es lo mismo que la permutación de las coordenadas adyacentes i y ( i  +  1) . Tales transposiciones generan el grupo de permutación completo . Para raíces simples adyacentes, σ _i ( α _{i +1} ) = α _{i +1} + α _i = σ _{i +1} ( α _i ) = α _i + α _{i +1} , es decir, la reflexión es equivalente a sumar un múltiplo de 1; pero la reflexión de una raíz simple perpendicular a una raíz simple no adyacente la deja sin cambios, diferenciándose en un múltiplo de 0.        

La red de raíces A _n – es decir, la red generada por las raíces A _n – se describe más fácilmente como el conjunto de vectores enteros en R ^{n +1} cuyas componentes suman cero.

La red de raíces A ₂ es la disposición de vértices del teselado triangular .

La red de raíz A ₃ es conocida por los cristalógrafos como la red cúbica centrada en las caras (o cúbica compacta ). ^{[ 29 ]} Es la disposición de vértices del panal tetraédrico-octaédrico .

El sistema radicular A ₃ (así como los demás sistemas radiculares de tercer rango) se puede modelar en el conjunto de construcción Zometool . ^{[ 30 ]}

En general, la red de raíces A _n es la disposición de vértices del panal simplicial n -dimensional .

Sea E = R ⁿ , y sea Φ el conjunto de todos los vectores enteros en E de longitud 1 o √ 2 . El número total de raíces es 2 n ² . Una elección de raíces simples es α _i = e _i – e _{i +1} para 1 ≤ i ≤ n – 1 (la elección anterior de raíces simples para A _{n −1} ), y la raíz más corta α _n = e _n .

La reflexión σ _n a través del hiperplano perpendicular a la raíz corta α _n es, por supuesto, simplemente la negación de la n -ésima coordenada. Para la raíz simple larga α _{n −1} , σ _{n −1} ( α _n ) = α _n + α _{n −1} , pero para la reflexión perpendicular a la raíz corta, σ _n ( α _{n −1} ) = α _{n −1} + 2 α _n , una diferencia por un múltiplo de 2 en lugar de 1.

La red de raíces B _n —es decir, la red generada por las raíces B _n— consta de todos vectores enteros.

B ₁ es isomorfo a A ₁ mediante escalamiento por √ 2 , y por lo tanto no es un sistema de raíces distinto.

Sea E = R ⁿ , y sea Φ el conjunto de todos los vectores enteros en E de longitud √ 2 junto con todos los vectores de la forma 2 λ , donde λ es un vector entero de longitud 1. El número total de raíces es 2 n ² . Una elección de raíces simples es: α _i = e _i − e _{i +1} , para 1 ≤ i ≤ n − 1 (la elección anterior de raíces simples para A _{n −1} ), y la raíz más larga α _n = 2 e _n . La reflexión σ _n ( α _{n −1} ) = α _{n −1} + α _n , pero σ _{n −1} ( α _n ) = α _n + 2 α _{n −1} .

La red de raíces C _n —es decir, la red generada por las raíces C _n— consta de todos los vectores enteros cuyas componentes suman un número entero par.

C ₂ es isomorfo a B ₂ mediante escalamiento por √ 2 y una rotación de 45 grados, y por lo tanto no es un sistema de raíces distinto.

Sea E = R ⁿ , y sea Φ el conjunto de todos los vectores enteros en E de longitud √ 2 . El número total de raíces es 2 n ( n − 1) . Una elección de raíces simples es α _i = e _i − e _{i +1} para 1 ≤ i ≤ n − 1 (la elección anterior de raíces simples para A _{n −1} ) junto con α _n = e _{n −1} + e _n .

La reflexión a través del hiperplano perpendicular a α _n es equivalente a transponer y negar las coordenadas adyacentes n -ésima y ( n -1). Cualquier raíz simple y su reflexión perpendicular a otra raíz simple difieren en un múltiplo de 0 o 1 de la segunda raíz, no en un múltiplo mayor.

La red de raíces D _n —es decir, la red generada por las raíces D _n— consta de todos los vectores enteros cuyas componentes suman un entero par. Esto es lo mismo que la red de raíces C _n .

Las raíces D _n se expresan como los vértices de un n - ortoplex rectificado , diagrama de Coxeter-Dynkin : ... . Los 2 n ( n − 1) vértices existen en el medio de las aristas del n -ortoplex.

D ₃ coincide con A ₃ y, por lo tanto, no es un sistema de raíces distinto. Los doce vectores raíz D ₃ se expresan como los vértices de , una construcción de menor simetría del cuboctaedro .

D ₄ tiene una simetría adicional llamada trialidad . Los veinticuatro vectores raíz de D ₄ se expresan como los vértices de , una construcción de simetría inferior de la celda de 24 .

• El sistema de raíces E ₈ es cualquier conjunto de vectores en R ⁸ que sea congruente con el siguiente conjunto:$${\displaystyle D_{8}\cup \left\{{\frac {1}{2}}\left(\sum _{i=1}^{8}\varepsilon _{i}\mathbf {e} _{i}\right):\varepsilon _{i}=\pm 1,\,\varepsilon _{1}\cdots \varepsilon _{8}=+1\right\}.}$$

El sistema radicular tiene 240 raíces. El conjunto que se acaba de enumerar es el conjunto de vectores de longitud √2 en la red de raíces E8, también conocida simplemente como ^red E8 o Γ8 _. Este es el conjunto de puntos en R8 tales que:

1. todas las coordenadas son números enteros o todas las coordenadas son semienteros (no se permite una mezcla de números enteros y semienteros), y
2. La suma de las ocho coordenadas es un número entero par .

De este modo, $${\displaystyle E_{8}=\left\{\alpha \in \mathbb {Z} ^{8}\cup \left(\mathbb {Z} +{\tfrac {1}{2}}\right)^{8}:|\alpha |^{2}=\sum \alpha _{i}^{2}=2,\,\sum \alpha _{i}\in 2\mathbb {Z} .\right\}}$$

• El sistema de raíces E ₇ es el conjunto de vectores en E ₈ que son perpendiculares a una raíz fija en E _8. El sistema de raíces E ₇ tiene 126 raíces.
• El sistema de raíces E ₆ no es el conjunto de vectores en E ₇ que son perpendiculares a una raíz fija en E ₇ ; de hecho, de esa manera se obtiene D _6. Sin embargo, E ₆ es el subsistema de E _{8 perpendicular a dos raíces de} E ₈ elegidas adecuadamente . El sistema de raíces E ₆ tiene 72 raíces.

Una descripción alternativa de la red E ₈ que a veces resulta conveniente es como el conjunto Γ' ₈ de todos los puntos en R ⁸ tales que

• todas las coordenadas son números enteros y la suma de las coordenadas es par, o
• Todas las coordenadas son semienteros y la suma de las coordenadas es impar.

Las redes Γ ₈ y Γ' ₈ son isomorfas ; se puede pasar de una a otra cambiando los signos de cualquier número impar de coordenadas. La red Γ ₈ a veces se denomina sistema de coordenadas pares para E _8, mientras que la red Γ' ₈ se denomina sistema de coordenadas impares .

Una opción de raíces simples para E ₈ en el sistema de coordenadas pares con filas ordenadas por orden de nodo en los diagramas de Dynkin alternativos (no canónicos) (arriba) es:

α _i = e _i − e _{i +1} , para 1 ≤ i ≤ 6, y

α ₇ = e ₇ + e ₆

(la elección anterior de raíces simples para D ₇ ) junto con $${\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}_{8}={\boldsymbol {\beta }}_{0}=-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{8}\mathbf {e} _{i}=(-1/2,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2,-1/2).}$$

Una opción de raíces simples para E ₈ en el sistema de coordenadas impares con filas ordenadas por orden de nodo en diagramas de Dynkin alternativos (no canónicos) (arriba) es

α _i = e _i − e _{i +1} , para 1 ≤ i ≤ 7

(la elección anterior de raíces simples para A ₇ ) junto con

α ₈ = β ₅ , donde

${\textstyle {\boldsymbol {\beta }}_{j}={\frac {1}{2}}\left(-\sum _{i=1}^{j}e_{i}+\sum _{i=j+1}^{8}e_{i}\right).}$

(Usar β ₃ daría un resultado isomorfo. Usar β _1,7 o β _2,6 simplemente daría A ₈ o D _8. En cuanto a β ₄ , sus coordenadas suman 0, y lo mismo ocurre con α _1...7 , por lo que solo abarcan el subespacio de 7 dimensiones para el cual las coordenadas suman 0; de hecho, −2 β ₄ tiene coordenadas (1,2,3,4,3,2,1) en la base ( α _i ).)

Dado que la perpendicularidad a α ₁ significa que las dos primeras coordenadas son iguales, E ₇ es entonces el subconjunto de E ₈ donde las dos primeras coordenadas son iguales, y de manera similar E ₆ es el subconjunto de E ₈ donde las tres primeras coordenadas son iguales. Esto facilita las definiciones explícitas de E ₇ y E ₆ como

mi ₇ = { α ∈ Z ⁷ ∪ ( Z +1/2 ) ⁷  : Σ α _i ² + α ₁ ² = 2, Σ α _i + α ₁ ∈ 2 Z },

mi ₆ = { α ∈ Z ⁶ ∪ ( Z +1/2 ) ⁶  : Σ α _yo ² + 2 α ₁ ² = 2, Σ α _yo + 2 α ₁ ∈ 2 Z }

Nótese que al eliminar α ₁ y luego α ₂ se obtienen conjuntos de raíces simples para E ₇ y E _6. Sin embargo, estos conjuntos de raíces simples se encuentran en subespacios E ₇ y E _{6 de} E ₈ diferentes a los escritos anteriormente, ya que no son ortogonales a α ₁ ni a α ₂ .

Para F ₄ , sea E = R ⁴ , y sea Φ el conjunto de vectores α de longitud 1 o √ 2 tales que las coordenadas de 2α son todos enteros y son todos pares o todos impares. Hay 48 raíces en este sistema. Una elección de raíces simples es: la elección de raíces simples dada anteriormente para B ₃ , más${\textstyle {\boldsymbol {\alpha }}_{4}=-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{4}e_{i}}$.

La red de raíces F ₄ —es decir, la red generada por el sistema de raíces F _4— es el conjunto de puntos en R ⁴ tales que todas las coordenadas son números enteros o todas las coordenadas son semienteros (no se permite una mezcla de números enteros y semienteros). Esta red es isomorfa a la red de cuaterniones de Hurwitz .

El sistema de raíces _G2 tiene 12 raíces, que forman los vértices de un hexagrama . Véase la imagen de arriba .

Una opción de raíces simples es ( α ₁ , β = α ₂ − α ₁ ) donde α _i = e _i − e _{i +1} para i = 1, 2 es la opción anterior de raíces simples para A ₂ .

La red de raíces G ₂ —es decir, la red generada por las raíces G _2— es la misma que la red de raíces A ₂ .