Invariante de Rost

En matemáticas, el invariante de Rost es un invariante cohomológico de un grupo algebraico simplemente conexo absolutamente simple G sobre un cuerpo k , que asocia un elemento del grupo de cohomología de Galois H ³ ( k , Q / Z (2)) a un espacio homogéneo principal para G. Aquí, el grupo de coeficientes Q / Z (2) es el producto tensorial del grupo de raíces de la unidad de una clausura algebraica de k consigo mismo. Markus Rost ^{[ 1 ]} introdujo por primera vez el invariante para grupos de tipo F ₄ y posteriormente lo extendió a grupos más generales en un trabajo inédito que fue resumido por Serre en 1995. ^{[ 2 ]}

El invariante de Rost es una generalización del invariante de Arason .

Supongamos que G es un grupo algebraico simplemente conexo absolutamente casi simple sobre un cuerpo k . El invariante de Rost asocia un elemento a ( P ) del grupo de cohomología de Galois H ³ ( k , Q / Z (2)) a un G -torsor P .

El elemento a ( P ) se construye de la siguiente manera. Para cualquier extensión K de k existe una secuencia exacta.

${\displaystyle 0\rightarrow H^{3}(K,\mathbf {Q} /\mathbf {Z} (2))\rightarrow H_{et}^{3}(P_{K},\mathbf {Q} /\mathbf {Z} (2))\rightarrow \mathbf {Q} /\mathbf {Z} }$

donde el grupo medio es el grupo de cohomología étale y Q / Z es la parte geométrica de la cohomología. Elija una extensión finita K de k tal que G se escinda sobre K y P tenga un punto racional sobre K. Entonces la secuencia exacta se escinde canónicamente como una suma directa, por lo que el grupo de cohomología étale contiene Q / Z canónicamente. El invariante a ( P ) es la imagen del elemento 1/[ K : k ] de Q / Z bajo la aplicación traza de H ³ _et ( P _K , Q / Z (2)) a H ³ _et ( P , Q / Z (2)), que se encuentra en el subgrupo H ³ ( k , Q / Z (2)).

Estos invariantes a ( P ) son funtoriales en extensiones de cuerpo K de k ; en otras palabras, se combinan para formar un elemento del grupo cíclico Inv ³ ( G , Q / Z (2)) de invariantes cohomológicos del grupo G , que consiste en morfismos del functor K →H ¹ ( K , G ) al functor K →H ³ ( K , Q / Z (2)). Este elemento de Inv ³ ( G , Q / Z (2)) es un generador del grupo y se llama invariante de Rost de G .

• Garibaldi, Ryan Skip (2001), "El invariante de Rost tiene un núcleo trivial para grupos cuasi-divididos de bajo rango", Comment. Math. Helv. , 76 (4): 684– 711, arXiv : math/0205305 , doi : 10.1007/s00014-001-8325-8 , MR 1881703 
• Garibaldi, Skip ; Merkurjev, Alexander ; Serre, Jean-Pierre (2003), "Invariantes de Rost de grupos algebraicos simplemente conexos", Invariantes cohomológicos en cohomología de Galois , University Lecture Series, vol.  28, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 0-8218-3287-5, MR 1999383 , Zbl 1159.12311