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El teorema de Roth sobre las progresiones aritméticas

El teorema de Roth sobre progresiones aritméticas es un resultado de combinatoria aditiva que trata sobre la existencia de progresiones aritméticas en subconjuntos de los número...

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El teorema de Roth sobre progresiones aritméticas es un resultado de combinatoria aditiva que trata sobre la existencia de progresiones aritméticas en subconjuntos de los números naturales . Fue demostrado por primera vez por Klaus Roth en 1953. [ 1 ] El teorema de Roth es un caso especial del teorema de Szemerédi para el casok=3{\displaystyle k=3}.

Declaración

Se dice que un subconjunto A de los números naturales tiene densidad superior positiva si

límite superiornorte→∞|A∩{1,2,3,…,norte}|norte>0{\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {|A\cap \{1,2,3,\dotsc ,n\}|}{n}}>0}.

Teorema de Roth sobre progresiones aritméticas (versión infinita) : Un subconjunto de los números naturales con densidad superior positiva contiene una progresión aritmética de 3 términos .

Una formulación alternativa y más cualitativa del teorema se refiere al tamaño máximo de un conjunto de Salem-Spencer que es un subconjunto de[norte]={1,…,norte}{\displaystyle [N]=\{1,\dots ,N\}}. Dejarr3([norte]){\displaystyle r_{3}([N])}sea ​​el tamaño del subconjunto más grande de[norte]{\displaystyle [N]}que no contiene ninguna progresión aritmética de 3 términos .

Teorema de Roth sobre progresiones aritméticas (versión finita) :r3([norte])=o(norte).{\displaystyle r_{3}([N])=o(N).}

Mejorar los límites superior e inferior enr3([norte]){\displaystyle r_{3}([N])}Sigue siendo un problema de investigación abierto.

Historia

El primer resultado en esta dirección fue el teorema de Van der Waerden en 1927, que establece que para N suficientemente grande, colorear los enteros1,…,norte{\displaystyle 1,\dots ,n}conr{\displaystyle r}los colores darán como resultado unk{\displaystyle k}progresión aritmética de término. [ 2 ]

Más tarde, en 1936, Erdős y Turán conjeturaron un resultado mucho más fuerte: que cualquier subconjunto de los enteros con densidad positiva contiene progresiones aritméticas arbitrariamente largas. En 1942, Raphaël Salem y Donald C. Spencer proporcionaron una construcción de un conjunto libre de 3-AP (es decir, un conjunto sin progresiones aritméticas de 3 términos ) de tamañonortemiO(registro⁡norte/registro⁡registro⁡norte){\displaystyle {\frac {N}{e^{O(\log N/\log \log N)}}}}, [ 3 ] refutando una conjetura adicional de Erdős y Turán de quer3([norte])=norte1−δ{\displaystyle r_{3}([N])=N^{1-\delta }}para algunosδ>0{\displaystyle \delta >0}. [ 4 ]

En 1953, Roth resolvió parcialmente la conjetura inicial al demostrar, mediante métodos analíticos de Fourier, que debían contener una progresión aritmética de longitud 3. Finalmente, en 1975, Szemerédi demostró el teorema de Szemerédi utilizando técnicas combinatorias, resolviendo por completo la conjetura original.

Técnicas de demostración

La demostración original presentada por Roth utilizó métodos analíticos de Fourier. Posteriormente se presentó otra demostración utilizando el lema de regularidad de Szemerédi .

Bosquejo de demostración mediante análisis de Fourier

En 1953, Roth utilizó el análisis de Fourier para demostrar una cota superior der3([norte])=O(norteregistro⁡registro⁡norte){\displaystyle r_{3}([N])=O\left({\frac {N}{\log \log N}}\right)}A continuación se muestra un esquema de esta demostración.

Definir la transformada de Fourier de una funciónF:Z→do{\displaystyle f:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {C} }ser la funciónF^:[0,1)→do{\displaystyle {\widehat {f}}:[0,1)\rightarrow \mathbb {C} }satisfactorio

F^(θ)=∑incógnita∈ZF(incógnita)mi(−incógnitaθ){\displaystyle {\widehat {f}}(\theta )=\sum _{x\in \mathbb {Z} }f(x)e(-x\theta )},

dóndemi(t)=mi2πit{\displaystyle e(t)=e^{2\pi it}}.

DejarA{\displaystyle A}ser un subconjunto libre de 3-AP{1,…,norte}{\displaystyle \{1,\dots ,N\}}La demostración se realiza en 3 pasos.

  1. Demuestra que unA{\displaystyle A}admite un coeficiente de Fourier grande.
  2. Deduce que existe una subprogresión de{1,…,norte}{\displaystyle \{1,\dots ,N\}}de tal manera queA{\displaystyle A}tiene un incremento de densidad cuando se restringe a esta subprogresión.
  3. Repita el paso 2 para obtener un límite superior en|A|{\displaystyle |A|}.

Paso 1

Para funciones,F,gramo,h:Z→do,{\displaystyle f,g,h:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {C} ,}definir

Λ(F,gramo,h)=∑incógnita,y∈ZF(incógnita)gramo(incógnita+y)h(incógnita+2y){\displaystyle \Lambda (f,g,h)=\sum _{x,y\in \mathbb {Z} }f(x)g(x+y)h(x+2y)}

Lema de conteoF,gramo:Z→do{\displaystyle f,g:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {C} }satisfacer∑norte∈Z|F(norte)|2,∑norte∈Z|gramo(norte)|2≤METRO{\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }|f(n)|^{2},\sum _{n\in \mathbb {Z} }|g(n)|^{2}\leq M}. DefinirΛ3(F)=Λ(F,F,F){\displaystyle \Lambda _{3}(f)=\Lambda (f,f,f)}. Entonces|Λ3(F)−Λ3(gramo)|≤3METRO‖F−gramo^‖∞{\displaystyle |\Lambda _ {3}(f)-\Lambda _ {3}(g)|\leq 3M\|{\widehat {fg}}\|_{\infty }}.

El lema de conteo nos dice que si las transformadas de Fourier deF{\displaystyle f}ygramo{\displaystyle g}Si son "cercanos", entonces el número de progresiones aritméticas de 3 términos entre los dos también debería ser "cercano".α=|A|/norte{\displaystyle \alpha =|A|/N}sea ​​la densidad deA{\displaystyle A}. Definir las funcionesF=1A{\displaystyle f=\mathbf {1} _{A}}(es decir, la función indicadora deA{\displaystyle A}), ygramo=α⋅1[norte]{\displaystyle g=\alpha \cdot \mathbf {1} _{[N]}}El paso 1 se puede deducir aplicando el lema de conteo aF{\displaystyle f}ygramo{\displaystyle g}, lo que nos dice que existe algunaθ{\displaystyle \theta }de tal manera que

|∑norte=1norte(1A−α)(norte)mi(θnorte)|≥α210norte{\displaystyle \left|\sum _{n=1}^{N}(1_{A}-\alpha )(n)e(\theta n)\right|\geq {\frac {\alpha ^{2}}{10}}N}.

Paso 2

Dado queθ{\displaystyle \theta }Desde el paso 1, primero mostramos que es posible dividir[norte]{\displaystyle [N]}en subprogresiones relativamente grandes de tal manera que el personajeincógnita↦mi(incógnitaθ){\displaystyle x\mapsto e(x\theta )}es aproximadamente constante en cada subprogresión.

Lema 1: Sea0<η<1,θ∈R{\displaystyle 0<\eta <1,\theta \in \mathbb {R} }. Supongamos quenorte>doη−6{\displaystyle N>C\eta ^{-6}}para una constante universaldo{\displaystyle C}Entonces es posible particionar.[norte]{\displaystyle [N]}en progresiones aritméticasPAGi{\displaystyle P_{i}}con longitudnorte1/3≤|PAGi|≤2norte1/3{\displaystyle N^{1/3}\leq |P_{i}|\leq 2N^{1/3}}de tal manera quesorberincógnita,y∈PAGi|mi(incógnitaθ)−mi(yθ)|<η{\displaystyle \sup _{x,y\in P_{i}}|e(x\theta )-e(y\theta )|<\eta }a pesar dei{\displaystyle i}.

A continuación, aplicamos el Lema 1 para obtener una partición en subprogresiones. Luego usamos el hecho de queθ{\displaystyle \theta }Se obtuvo un coeficiente grande en el paso 1 para demostrar que una de estas subprogresiones debe tener un incremento de densidad:

Lema 2: SeaA{\displaystyle A}ser un subconjunto libre de 3-AP[norte]{\displaystyle [N]}, con|A|=αnorte{\displaystyle |A|=\alpha N}ynorte>doα−12{\displaystyle N>C\alpha ^{-12}}. Entonces, existe una subprogresiónPAG⊂[norte]{\displaystyle P\subset [N]}de tal manera que|PAG|≥norte1/3{\displaystyle |P|\geq N^{1/3}}y|A∩PAG|≥(α+α2/40)|PAG|{\displaystyle |A\cap P|\geq (\alpha +\alpha ^{2}/40)|P|}.

Paso 3

Ahora repetimos el paso 2. Dejemosat{\displaystyle a_{t}}sea ​​la densidad deA{\displaystyle A}después de lat{\displaystyle t}iteración. Tenemos esoα0=α,{\displaystyle \alpha _{0}=\alpha ,}yαt+1≥α+α2/40.{\displaystyle \alpha _{t+1}\geq \alpha +\alpha ^{2}/40.}Primero, vea queα{\displaystyle \alpha }dobles (es decir, alcanzarT{\displaystyle T}de tal manera queαT≥2α0{\displaystyle \alpha _{T}\geq 2\alpha _{0}}) después de como máximo40/α+1{\displaystyle 40/\alpha +1}pasos. Duplicamosα{\displaystyle \alpha }de nuevo (es decir, alcanzar)αT≥4α0{\displaystyle \alpha _{T}\geq 4\alpha _{0}}) después de como máximo20/α+1{\displaystyle 20/\alpha +1}pasos. Desdeα≤1{\displaystyle \alpha \leq 1}, este proceso debe finalizar después de como máximoO(1/α){\displaystyle O(1/\alpha )}pasos.

Dejarnortet{\displaystyle N_{t}}ser el tamaño de nuestra progresión actual despuést{\displaystyle t}iteraciones. Por el Lema 2, siempre podemos continuar el proceso cuandonortet≥doαt−12,{\displaystyle N_{t}\geq C\alpha _{t}^{-12},}y por lo tanto, cuando el proceso termina tenemos quenortet≤doαt−12≤doα−12.{\displaystyle N_{t}\leq C\alpha _{t}^{-12}\leq C\alpha ^{-12}.}Además, tenga en cuenta que cuando pasamos a una subprogresión, el tamaño de nuestro conjunto disminuye en una raíz cúbica . Por lo tanto,

norte≤nortet3t≤(doα−12)3O(1/α)=mimiO(1/α).{\displaystyle N\leq N_{t}^{3^{t}}\leq (C\alpha ^{-12})^{3^{O(1/\alpha )}}=e^{e^{O(1/\alpha )}}.}

Por lo tantoα=O(1/registro⁡registro⁡norte),{\displaystyle \alpha =O(1/\log \log N),}entonces|A|=O(norteregistro⁡registro⁡norte),{\displaystyle |A|=O\left({\frac {N}{\log \log N}}\right),}como se desee.◼{\displaystyle \blacksquare }

Desafortunadamente, esta técnica no se generaliza directamente a progresiones aritméticas mayores para demostrar el teorema de Szemerédi. Una extensión de esta demostración eludió a los matemáticos durante décadas hasta 1998, cuando Timothy Gowers desarrolló el campo del análisis de Fourier de orden superior específicamente para generalizar la demostración anterior y demostrar el teorema de Szemerédi. [ 5 ]

Bosquejo de demostración mediante regularidad gráfica

Del lema de regularidad de Szemerédi y del lema de conteo se obtiene el lema de eliminación de grafos y, como corolario, lo siguiente:

Lema sin diamantes. Cualquier grafoGRAMO{\displaystyle G}ennorte{\displaystyle n}vértices en los que cada arista se encuentra en un triángulo únicoo(norte2){\displaystyle o(n^{2})}bordes.

Aplicación al teorema de Roth

En primer lugar, observe que un conjuntoA⊆{1,…,norte}{\displaystyle A\subseteq \{1,\dots ,N\}}tiene una progresión aritmética de 3 términos si y solo si su reducción móduloMETRO:=2norte+1{\displaystyle M:=2N+1}hace.

ArreglarA⊆{1,…,norte}{\displaystyle A\subseteq \{1,\dots ,N\}}Sin progresión aritmética de 3 términos. Construya un grafo tripartito.GRAMO{\displaystyle G}con piezasincógnita,Y,Z{\displaystyle X,Y,Z}, cada uno una copia deZ/METROZ{\displaystyle \mathbb {Z} /M\mathbb {Z} }. Agregue los bordes de la siguiente manera:

  • incógnita∈incógnita{\displaystyle x\in X}ay∈Y{\displaystyle y\in Y}siy−incógnita∈A{\displaystyle y-x\in A};
  • y∈Y{\displaystyle y\in Y}az∈Z{\displaystyle z\in Z}siz−y∈A{\displaystyle z-y\in A};
  • z∈Z{\displaystyle z\in Z}aincógnita∈incógnita{\displaystyle x\in X}si(incógnita−z)/2∈A{\displaystyle (x-z)/2\in A}(ya que 2 es un módulo invertibleMETRO{\displaystyle M}).

Siincógnita,y,z{\displaystyle x,y,z}formen un triángulo, luego y−incógnita, incógnita−z2, z−y∈A{\displaystyle y-x,\ {\frac {x-z}{2}},\ z-y\in A}Estos tres números forman una progresión aritmética en ese orden con paso(incógnita+z−2y)/2{\displaystyle (x+z-2y)/2}. PorqueA{\displaystyle A}no tiene ninguna progresión aritmética de 3 términos no trivial, son iguales, por lo tanto (incógnita+z−2y)/2=0{\displaystyle (x+z-2y)/2=0}. Por lo tanto, si fijamos cualesquiera dos vértices deGRAMO{\displaystyle G}conectados por una arista, cada triángulo que extiende esta arista debe satisfacerincógnita+z−2y=0{\displaystyle x+z-2y=0}, lo que produce una elección única del tercer vértice. Además, dicha elección garantiza la existencia de las otras dos aristas en ese triángulo. Por lo tanto, se aplica el lema libre de diamante, ymi(GRAMO)=o((3METRO)2)=o(norte2){\displaystyle e(G)=o((3M)^{2})=o(N^{2})}.

Observe ahora que cada elementoa∈A{\displaystyle a\in A}aporta exactamente una arista por cada vértice en una parte: por ejemplo, por cadaincógnita∈incógnita{\displaystyle x\in X}, hay exactamente unoy∈Y{\displaystyle y\in Y}de tal manera quey−incógnita≡a(modMETRO){\displaystyle y-x\equiv a{\pmod {M}}}, entoncesa{\displaystyle a}da exactamenteMETRO{\displaystyle M}bordes entreincógnita{\displaystyle X}yY{\displaystyle Y}Lo mismo ocurre con los otros dos pares, por lo tantomi(GRAMO)=3|A|METRO{\displaystyle e(G)=3|A|M}. Como consecuencia,

|A|=mi(GRAMO)3METRO=o(norte2)3(2norte+1)=o(norte){\displaystyle |A|={\frac {e(G)}{3M}}={\frac {o(N^{2})}{3(2N+1)}}=o(N)}

demostrando el teorema de Roth.

Extensiones y generalizaciones

El teorema de Szemerédi resolvió la conjetura original y generalizó el teorema de Roth a progresiones aritméticas de longitud arbitraria. Desde entonces, se ha extendido de diversas maneras para generar resultados nuevos e interesantes.

Furstenberg y Katznelson [ 6 ] utilizaron la teoría ergódica para demostrar una versión multidimensional, y Leibman y Bergelson [ 7 ] la extendieron también a progresiones polinómicas. Más recientemente, Green y Tao demostraron el teorema de Green-Tao , que afirma que los números primos contienen progresiones aritméticas arbitrariamente largas. Dado que los números primos son un subconjunto de densidad 0, introdujeron un teorema de Szemerédi "relativo" que se aplica a subconjuntos con densidad 0 que satisfacen ciertas condiciones de pseudoaleatoriedad . Posteriormente , Conlon , Fox y Zhao [ 8 ] [ 9 ] reforzaron este teorema debilitando la condición necesaria de pseudoaleatoriedad. En 2020, Bloom y Sisask [ 10 ] demostraron que cualquier conjuntoA{\displaystyle A}de tal manera que∑norte∈A1norte{\displaystyle \sum _{n\in A}{\frac {1}{n}}}Los conjuntos divergentes deben contener progresiones aritméticas de longitud 3; este es el primer caso no trivial de otra conjetura de Erdős que postula que cualquier conjunto de este tipo debe, de hecho, contener progresiones aritméticas arbitrariamente largas.

Mejorar los límites

También se ha trabajado en mejorar la cota del teorema de Roth. La cota de la demostración original del teorema de Roth mostraba que

r3([norte])≤do⋅norteregistro⁡registro⁡norte{\displaystyle r_{3}([N])\leq c\cdot {\frac {N}{\log \log N}}}

por alguna constantedo{\displaystyle c}. A lo largo de los años, este límite ha sido continuamente reducido por Szemerédi, [ 11 ] Heath-Brown , [ 12 ] Bourgain , [ 13 ] [ 14 ] y Sanders . [ 15 ] [ 16 ] El límite óptimo actual (julio de 2020) se debe a Bloom y Sisask [ 10 ] quienes han demostrado la existencia de una constante absoluta c>0 tal que

r3([norte])≤norte(registro⁡norte)1+do.{\displaystyle r_{3}([N])\leq {\frac {N}{(\log N)^{1+c}}}.}

En febrero de 2023, una preimpresión [ 17 ] [ 18 ] (publicada posteriormente [ 19 ] ) de Kelley y Meka dio un nuevo límite de:

r3([norte])≤2−Ω((registro⁡norte)1/12)⋅norte{\displaystyle r_{3}([N])\leq 2^{-\Omega ((\log N)^{1/12})}\cdot N}.

Cuatro días después, Bloom y Sisask publicaron una preimpresión que exponía el resultado [ 20 ] (publicado posteriormente [ 21 ] ), simplificando el argumento y generando algunas aplicaciones adicionales. Varios meses después, Bloom y Sisask obtuvieron una mejora adicional.r3([norte])≤exp⁡(−do(registro⁡norte)1/9)norte{\displaystyle r_{3}([N])\leq \exp(-c(\log N)^{1/9})N}y afirmaron (sin pruebas) que sus técnicas pueden utilizarse para demostrarr3([norte])≤exp⁡(−do(registro⁡norte)5/41)norte{\displaystyle r_{3}([N])\leq \exp(-c(\log N)^{5/41})N}. [ 22 ]

En una preimpresión de 2026, [ 23 ] Raghavan informó de límites mejorados adicionales, demostrando:

|A|≤exp⁡(−doregistro⁡(norte)1/6registro⁡registro⁡(norte)−1/6)norte{\displaystyle |A|\leq \exp(-c\log(N)^{1/6}\log \log(N)^{-1/6})N}.

También se ha trabajado en el otro extremo, construyendo el conjunto más grande sin progresiones aritméticas de 3 términos . La mejor construcción apenas se ha mejorado desde 1946, cuando Behrend [ 24 ] mejoró la construcción inicial de Salem y Spencer y demostró

r3([norte])≥norteexp⁡(−doregistro⁡norte){\displaystyle r_{3}([N])\geq N\exp(-c{\sqrt {\log N}})}.

Debido a la falta de mejoras en más de 70 años, se conjetura que el conjunto de Behrend es asintóticamente muy cercano en tamaño al conjunto más grande posible sin progresiones de 3 términos . [ 10 ] De ser correcta, la cota de Kelley-Meka demostrará esta conjetura.

Teorema de Roth en campos finitos

Como variación, podemos considerar el problema análogo sobre cuerpos finitos . Consideremos el cuerpo finito.F3norte{\displaystyle \mathbb {F} _{3}^{n}}y dejarr3(F3norte){\displaystyle r_{3}(\mathbb {F} _{3}^{n})}sea ​​el tamaño del subconjunto más grande deF3norte{\displaystyle \mathbb {F} _{3}^{n}}que no contiene ninguna progresión aritmética de 3 términos . Este problema es en realidad equivalente al problema del conjunto de tapa , que pide el subconjunto más grande deF3norte{\displaystyle \mathbb {F} _{3}^{n}}de tal manera que no haya 3 puntos sobre una línea. El problema del conjunto de tapas puede verse como una generalización del juego de cartas Set .

En 1982, Brown y Buhler [ 25 ] fueron los primeros en demostrar quer3(F3norte)=o(3norte).{\displaystyle r_{3}(\mathbb {F} _{3}^{n})=o(3^{n}).}En 1995, Roy Mesuhlam [ 26 ] utilizó una técnica similar a la demostración analítica de Fourier del teorema de Roth para demostrar quer3(F3norte)=O(3nortenorte).{\displaystyle r_{3}(\mathbb {F} _{3}^{n})=O\left({\frac {3^{n}}{n}}\right).}Este límite fue mejorado aO(3norte/norte1+ϵ){\displaystyle O(3^{n}/n^{1+\epsilon })}en 2012 por Bateman y Katz. [ 27 ]

En 2016, Ernie Croot , Vsevolod Lev, Péter Pál Pach, Jordan Ellenberg y Dion Gijswijt desarrollaron una nueva técnica basada en el método polinomial para demostrar quer3(F3norte)=O(2.756norte){\displaystyle r_{3}(\mathbb {F} _{3}^{n})=O(2.756^{n})}. [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ]

El límite inferior más conocido es2.2202norte{\displaystyle 2.2202^{n}}, descubierto en diciembre de 2023 por investigadores de Google DeepMind utilizando un modelo de lenguaje grande (LLM). [ 31 ]

Otra generalización del teorema de Roth muestra que, para subconjuntos de densidad positiva, no solo existe una progresión aritmética de 3 términos , sino que existen muchas progresiones aritméticas de 3 términos, todas con la misma diferencia común.

El teorema de Roth con diferencias populares: Para todoϵ>0{\displaystyle \epsilon >0}, existe algonorte0=norte0(ϵ){\displaystyle n_{0}=n_{0}(\epsilon )}de tal manera que para cadanorte>norte0{\displaystyle n>n_{0}}yA⊂F3norte{\displaystyle A\subset \mathbb {F} _{3}^{n}}con|A|=α3norte,{\displaystyle |A|=\alpha 3^{n},}existe algoy≠0{\displaystyle y\neq 0}de tal manera que|{incógnita:incógnita,incógnita+y,incógnita+2y∈A}|≥(α3−ϵ)3norte.{\displaystyle |\{x:x,x+y,x+2y\in A\}|\geq (\alpha ^{3}-\epsilon )3^{n}.}

SiA{\displaystyle A}se elige aleatoriamente deF3norte,{\displaystyle \mathbb {F} _{3}^{n},}entonces esperaríamos que hubieraα33norte{\displaystyle \alpha ^{3}3^{n}}progresiones para cada valor dey{\displaystyle y}El popular teorema de las diferencias establece, por lo tanto, que para cada|A|{\displaystyle |A|}con densidad positiva, hay algoy{\displaystyle y}de tal manera que el número de 3-AP con diferencia comúny{\displaystyle y}es cercano a lo que esperábamos.

Este teorema fue demostrado por primera vez por Green en 2005, [ 32 ] quien dio una cota denorte0=remolcar((1/ϵ)O(1)),{\displaystyle n_{0}={\text{tow}}((1/\epsilon )^{O(1)}),}dónderemolcar{\displaystyle {\text{tow}}}es la función de la torre. En 2019, Fox y Pham mejoraron recientemente el límite anorte0=remolcar(O(registro⁡1ϵ)).{\displaystyle n_{0}={\text{tow}}(O(\log {\frac {1}{\epsilon }})).}[ 33 ]

Una afirmación correspondiente también es verdadera enZ{\displaystyle \mathbb {Z} }para 3-AP y 4-AP. [ 34 ] Sin embargo, se ha demostrado que la afirmación es falsa para 5-AP. [ 35 ]

Referencias

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