Propiedad de Rothenberg

En la teoría de conjuntos diatónicos , la propiedad de Rothenberg es un concepto importante, la falta de contradicción y ambigüedad, en la teoría general de las escalas musicales que fue introducida por David Rothenberg en una serie de artículos fundamentales en 1978. El concepto fue descubierto de forma independiente en un contexto más restringido por Gerald Balzano , quien lo denominó coherencia .

"Rothenberg llama a una escala 'estrictamente propia' si posee un orden genérico, 'propia' si admite ambigüedades pero no contradicciones, e 'impropia' si admite contradicciones." ^{[ 1 ]} Una escala es estrictamente propia si todos los intervalos de dos pasos son mayores que cualquier intervalo de un paso, todos los intervalos de tres pasos son mayores que cualquier intervalo de dos pasos, y así sucesivamente. Por ejemplo, con la escala diatónica , los intervalos de un paso son el semitono (1) y el tono (2), los intervalos de dos pasos son la tercera menor (3) y la tercera mayor (4), los intervalos de tres pasos son la cuarta (5) y el tritono (6), los intervalos de cuatro pasos son la quinta (7) y el tritono (6), los intervalos de cinco pasos son la sexta menor (8) y la sexta mayor (9), y los intervalos de seis pasos son la séptima menor (t) y la séptima mayor (e). Por lo tanto, no es estrictamente correcto porque los intervalos de tres pasos y los de cuatro pasos comparten un tamaño de intervalo (el tritono), lo que causa ambigüedad ("dos intervalos [específicos], que suenan igual, se corresponden con códigos diferentes [intervalos generales]" ^{[ 2 ]} ). Dicha escala simplemente se denomina "correcta".

Por ejemplo, la escala pentatónica mayor es estrictamente propia:

Las escalas pentatónicas que son apropiadas, pero no estrictamente, son: ^{[ 2 ]}

• {0,1,4,6,8}
• {0,2,4,6,8} ( escala de tonos enteros )
• {0,1,4,6,9} ( acorde gamma )
• {0,2,4,6,9} ( acorde de novena dominante )
• {0,1,3,6,9} ( acorde de novena menor dominante )

La única escala pentatónica estrictamente correcta:

• {0,2,4,7,9} (pentatónica mayor)

Las escalas heptatónicas que son apropiadas, pero no estrictamente, son: ^{[ 2 ]}

• {0,1,3,4,6,8,9} ( escala menor armónica )
• {0,1,3,5,6,8,t} ( escala diatónica )
• {0,1,3,4,6,8,t} ( Escala modificada )
• {0,1,2,4,6,8,t} ( Escala napolitana mayor )

La propiedad también puede considerarse como escalas cuya estabilidad = 1, con la estabilidad definida como "la razón del número de intervalos no ambiguos no dirigidos... al número total de intervalos no dirigidos", en cuyo caso la escala diatónica tiene una estabilidad de 20/21 . ^{[ 2 ]}

La escala de doce iguales es estrictamente propia , al igual que cualquier escala temperada igual, porque tiene solo un tamaño de intervalo para cada número de pasos. La mayoría de las escalas temperadas también son propias. Como otro ejemplo, el fragmento armónico otonal 5/4 , 6/4 , 7/4, 8/4 es estrictamente propio , con los intervalos de un paso que varían en tamaño de 8/7 a 5/4 , los intervalos de dos pasos varían de 4/3 a 3/2 , los intervalos de tres pasos de 8/5 a 7/4 .

Rothenberg plantea la hipótesis de que las escalas adecuadas proporcionan un punto o marco de referencia que ayuda a la percepción (" gestalt estable ") y que las contradicciones de las escalas inadecuadas requieren un zumbido u ostinato para proporcionar un punto de referencia. ^{[ 3 ]}

Un ejemplo de escala inadecuada es la escala japonesa Hirajōshi .

Sus pasos en semitonos son 2, 1, 4, 1, 4. Los intervalos de un paso varían desde el semitono de G a A ♭ hasta la tercera mayor de A ♭ a C. Los intervalos de dos pasos varían desde la tercera menor de C a E ♭ y el tritono, de A ♭ a D. Allí, la tercera menor como intervalo de dos pasos es menor que la tercera mayor que aparece como intervalo de un paso, creando una contradicción ("una contradicción ocurre... cuando el orden de dos intervalos específicos es opuesto al orden de sus intervalos genéricos correspondientes." ^{[ 2 ]} ).

Rothenberg definió la propiedad en un contexto muy general; sin embargo, para casi todos los propósitos basta con considerar lo que en contextos musicales se suele llamar escala periódica , aunque de hecho estas corresponden a lo que los matemáticos llaman función cuasiperiódica . Estas son escalas que se repiten a un cierto intervalo fijo más alto cada nota en un cierto conjunto finito de notas. El intervalo fijo suele ser una octava , por lo que la escala consta de todas las notas que pertenecen a un número finito de clases de altura . Si β _i denota un elemento de escala para cada entero i, entonces β _{i + ℘} = β _i  + Ω , donde Ω suele ser una octava de 1200 cents, aunque podría ser cualquier cantidad fija de cents; y ℘ es el número de elementos de escala en el período Ω, que a veces se denomina tamaño de la escala. 

Para cualquier i se puede considerar el conjunto de todas las diferencias por i pasos entre los elementos de la escala class( i ) = { β _{n + i} − β _n }. Podemos, de la forma habitual, extender el orden de los elementos de un conjunto a los conjuntos mismos, diciendo A < B si y solo si para todo a ∈ A y b ∈ B tenemos a < b . Entonces una escala es estrictamente propia si i < j implica class( i ) < class( j ). Es propia si i ≤ j implica class( i ) ≤ class( j ). La propiedad estricta implica propiedad, pero una escala propia no tiene por qué ser estrictamente propia; un ejemplo es la escala diatónica en temperamento igual , donde el intervalo tritono pertenece tanto a la clase de la cuarta (como cuarta aumentada ) como a la clase de la quinta (como quinta disminuida ). La propiedad estricta es lo mismo que la coherencia en el sentido de Balzano.  

La clase de intervalo class(i) módulo Ω depende solo de i módulo ℘, por lo que también podemos definir una versión de clase, Class( i ), para clases de altura módulo Ω , que se denominan intervalos genéricos . Las clases de altura específicas que pertenecen a Class(i) se denominan entonces intervalos específicos . La clase del unísono , Class(0), consiste únicamente en múltiplos de Ω y normalmente se excluye de la consideración, de modo que el número de intervalos genéricos es ℘ − 1. Por lo tanto, los intervalos genéricos se numeran del 1 al ℘ − 1, y una escala es propia si para cualesquiera dos intervalos genéricos i < j implica class( i ) < class( j ). Si representamos los elementos de Class( i ) mediante intervalos reducidos a aquellos entre el unísono y Ω, podemos ordenarlos como de costumbre, y así definir la propiedad indicando que i < j para clases genéricas implica Class( i ) < Class( j ). Este procedimiento, si bien es bastante más complejo que la definición tal como se planteó originalmente, es la forma en que normalmente se aborda el tema en la teoría de conjuntos diatónicos .    

Consideremos la escala diatónica (mayor) en el temperamento igual de 12 tonos, que sigue el patrón (en semitonos) 2-2-1-2-2-2-1. Ningún intervalo en esta escala, abarcando un número determinado de grados de la escala, es más estrecho (consta de menos semitonos) que un intervalo que abarca menos grados de la escala. Por ejemplo, no se puede encontrar una cuarta en esta escala que sea menor que una tercera: las cuartas más pequeñas tienen cinco semitonos de ancho, y las terceras más grandes tienen cuatro semitonos. Por lo tanto, la escala diatónica es propia. Sin embargo, existe un intervalo que contiene el mismo número de semitonos que un intervalo que abarca menos grados de la escala: la cuarta aumentada (FGAB) y la quinta disminuida (BCDEF) tienen ambos seis semitonos de ancho. Por lo tanto, la escala diatónica es propia, pero no estrictamente propia.

Por otro lado, consideremos la escala enigmática , que sigue el patrón 1-3-2-2-2-1-1. En esta escala, es posible encontrar intervalos más estrechos que otros intervalos que abarcan menos grados: por ejemplo, la cuarta construida sobre el sexto grado tiene una amplitud de tres semitonos, mientras que la tercera construida sobre el segundo grado tiene una amplitud de cinco semitonos. Por lo tanto, la escala enigmática no es propiamente dicha.

Balzano introdujo la idea de intentar caracterizar la escala diatónica en términos de propiedad. No existen escalas de siete notas estrictamente propias en el temperamento igual de 12 tonos ; sin embargo, existen cinco escalas propias, una de las cuales es la escala diatónica. Aquí, la transposición y los modos no se cuentan por separado, de modo que la escala diatónica abarca tanto la escala diatónica mayor como la escala menor natural que comienza con cualquier nota. Cada una de estas escalas, si se escribe correctamente, tiene una versión en cualquier afinación de tono medio , y cuando la quinta es menor que 700 cents , todas se convierten en estrictamente propias. En particular, cinco de las siete escalas de siete notas estrictamente propias en el temperamento igual de 19 tonos son una de estas escalas. Las cinco escalas son:

• Diatónica : CDEFGAB
• Melódica/menor ascendente/menor de jazz : CDE ♭ FGAB
• Menor armónica : CDE ♭ FGA ♭ B
• Mayor armónica : CDEFGA ♭ B
• Locria mayor : CDEFG ♭ A ♭ B ♭

En cualquier sistema mesotónico con quintas más bemoles que 700 cents, también se tiene la siguiente escala estrictamente propia: CD ♭ EF ♭ GA ♭ B ♭ (que es la escala frigia dominante ♭ 4 ).

La escala diatónica, la menor ascendente, la menor armónica, la mayor armónica y esta última escala sin nombre contienen círculos completos de tres terceras mayores y cuatro menores, dispuestas de diversas maneras. La escala mayor locria tiene un círculo de cuatro terceras mayores y dos menores, junto con una tercera disminuida , que en el temperamento mesotónico séptimo se aproxima a una segunda mayor séptima de proporción 8/7 . Las demás escalas son todas las escalas con un círculo completo de tres terceras mayores y cuatro menores, que dado que ( 5/4 )³(6/5) ^⁴ = 81/20 , temperado ^a dos octavas en mesotónico , es indicativo de mesotónico.

Las tres primeras escalas son de importancia básica para la música de práctica común , y la escala mayor armónica se usa con frecuencia, y el hecho de que la escala diatónica no se destaque por conveniencia es quizás menos interesante que el hecho de que todas las escalas fundamentales de la práctica diatónica sí lo sean.

• Propiedad a gran escala

• Gerald J. Balzano, Descripción teórica de grupos de sistemas de tono de 12 pliegues y microtonales , Computer Music Journal 4/4 (1980) 66 – 84
• Gerald J. Balzano, El conjunto de tonos como nivel de descripción para el estudio de la percepción del tono musical , en Música, mente y cerebro, Manfred Clynes, ed., Plenum Press, 1982.
• David Rothenberg, Un modelo para la percepción de patrones con aplicaciones musicales Parte I: Estructuras de tono como mapas que preservan el orden , Teoría de sistemas matemáticos 11 (1978) 199 – 234