Camino accidentado

En el análisis estocástico , una trayectoria irregular es una generalización de la noción clásica de trayectoria suave. Extiende el cálculo y la teoría de ecuaciones diferenciales para manejar señales irregulares: trayectorias demasiado irregulares para el análisis tradicional, como un proceso de Wiener . Esto permite definir y resolver ecuaciones diferenciales controladas de la forma${\displaystyle \mathrm {d} y_{t}=f(y_{t})\mathrm {d} x_{t},\quad y_{0}=a}$incluso cuando la ruta de conducción${\displaystyle x_{t}}$carece de diferenciabilidad clásica . La teoría fue introducida en la década de 1990 por Terry Lyons . ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

La teoría de trayectorias irregulares describe cómo interactúan los sistemas no lineales con entradas altamente oscilatorias o ruidosas . Se basa en la teoría de la integración de LC Young , el álgebra geométrica de Kuo-Tsai Chen y la teoría de la función de Lipschitz de Hassler Whitney , manteniendo la compatibilidad con ideas clave del cálculo estocástico . Esta teoría también extiende la teoría de Itô sobre ecuaciones diferenciales estocásticas mucho más allá del contexto de las semimartingalas . Sus definiciones y estimaciones uniformes conforman un marco robusto que permite recuperar resultados clásicos —como el teorema de Wong-Zakai , el teorema de soporte de Stroock-Varadhan y la construcción de flujos estocásticos— sin depender de propiedades probabilísticas como las martingalas o la predictibilidad.

Un concepto central en la teoría es la Firma de una trayectoria: una transformación no conmutativa que codifica la trayectoria como una secuencia de integrales iteradas . Formalmente, es un homomorfismo del monoide de trayectorias (bajo concatenación) a los elementos de tipo grupo de un álgebra tensorial . La Firma es fiel —caracteriza de forma única las trayectorias salvo ciertas modificaciones insignificantes—, lo que la convierte en una herramienta poderosa para representar y comparar trayectorias. Estas integrales iteradas desempeñan un papel similar al de los monomios en un desarrollo de Taylor : proporcionan un sistema de coordenadas que captura las características esenciales de una trayectoria. Así como el teorema de Taylor permite aproximar localmente una función suave mediante polinomios , los términos de la Firma ofrecen un resumen jerárquico y estructurado del comportamiento de una trayectoria. Esta representación enriquecida constituye la base para definir una trayectoria aproximada y permite el análisis sin examinar directamente su estructura a pequeña escala.

La teoría tiene amplias aplicaciones en matemáticas y campos aplicados. En particular, Martin Hairer utilizó técnicas de trayectorias aproximadas para ayudar a construir una teoría de soluciones para la ecuación KPZ [ ^{4 ] y} posteriormente desarrolló la teoría más general de estructuras de regularidad ^{[ 5 ]} , por la cual recibió la Medalla Fields en 2014.

La teoría de trayectorias irregulares pretende dar sentido a la ecuación diferencial controlada.

${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}^{i}=\sum _{j=1}^{d}V_{j}^{i}(Y_{t})\,\mathrm {d} X_{t}^{j}.}$

donde el control, la trayectoria continua${\displaystyle X_{t}}$que toman valores en un espacio de Banach , no necesariamente deben ser diferenciables ni de variación acotada . Un ejemplo frecuente de la ruta controlada${\displaystyle X_{t}}$es la trayectoria de muestra de un proceso de Wiener . En este caso, la ecuación diferencial controlada mencionada anteriormente puede interpretarse como una ecuación diferencial estocástica y la integración con respecto a "${\displaystyle \mathrm {d} X_{t}^{j}}$" puede definirse en el sentido de Itô . Sin embargo, el cálculo de Itô se define en el sentido de${\displaystyle L^{2}}$y en particular no es una definición de trayectoria. Las trayectorias irregulares proporcionan una definición de trayectoria casi segura de ecuaciones diferenciales estocásticas. La noción de solución de trayectoria irregular está bien planteada en el sentido de que si${\displaystyle X(n)_{t}}$es una secuencia de caminos suaves que convergen a${\displaystyle X_{t}}$en el${\displaystyle p}$-métrica de variación (descrita a continuación), y

${\displaystyle \mathrm {d} Y(n)_{t}^{i}=\sum _{j=1}^{d}V_{j}^{i}(Y_{t})\,\mathrm {d} X(n)_{t}^{j};}$

${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}^{i}=\sum _{j=1}^{d}V_{j}^{i}(Y_{t})\,\mathrm {d} X_{t}^{j},}$

entonces${\displaystyle Y(n)}$converge a${\displaystyle Y}$en el${\displaystyle p}$-métrica de variación. Esta propiedad de continuidad y la naturaleza determinista de las soluciones hacen posible simplificar y fortalecer muchos resultados en el análisis estocástico, como la teoría de grandes desviaciones de Freidlin-Wentzell ^{[ 6 ],} así como resultados sobre flujos estocásticos.

De hecho, la teoría de trayectorias aproximadas puede ir mucho más allá del alcance del cálculo de Itô y Stratonovich y permite dar sentido a ecuaciones diferenciales impulsadas por trayectorias no semimartingalas , como los procesos gaussianos y los procesos de Markov . ^{[ 7 ]}

Los caminos irregulares son caminos que toman valores en el álgebra tensorial libre truncada (más precisamente: en el grupo nilpotente libre incrustado en el álgebra tensorial libre), que esta sección recuerda brevemente. Las potencias tensoriales de${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$, denotado${\displaystyle {\big (}\mathbb {R} ^{d}{\big )}^{\otimes n}}$, están equipados con la norma proyectiva${\displaystyle \Vert \cdot \Vert }$(véase Producto tensorial topológico , tenga en cuenta que la teoría de caminos aproximados funciona de hecho para una clase más general de normas). Sea${\displaystyle T^{(n)}(\mathbb {R} ^{d})}$sea ​​el álgebra tensorial truncada

${\displaystyle T^{(n)}(\mathbb {R} ^{d})=\bigoplus _{i=0}^{n}{\big (}\mathbb {R} ^{d}{\big )}^{\otimes i},}$donde por convención${\displaystyle (\mathbb {R} ^{d})^{\otimes 0}\cong \mathbb {R} }$.

Dejar${\displaystyle \triangle _{0,1}}$ser el simplex${\displaystyle \{(s,t):0\leq s\leq t\leq 1\}}$. Dejar${\displaystyle p\geq 1}$. Dejar${\displaystyle \mathbf {X} }$y${\displaystyle \mathbf {Y} }$ser mapas continuos${\displaystyle \triangle _{0,1}\to T^{(\lfloor p\rfloor )}(\mathbb {R} ^{d})}$. Dejar${\displaystyle \mathbf {X} ^{j}}$denota la proyección de${\displaystyle \mathbf {X} }$sobre${\displaystyle j}$-tensores y de igual manera para${\displaystyle \mathbf {Y} ^{j}}$. El${\displaystyle p}$-La métrica de variación se define como

${\displaystyle d_{p}\left(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} \right):=\max _{j=1,\ldots ,\lfloor p\rfloor }\sup _{0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=1}\left(\sum _{i=0}^{n-1}\Vert \mathbf {X} _{t_{i},t_{i+1}}^{j}-\mathbf {Y} _{t_{i},t_{i+1}}^{j}\Vert ^{\frac {p}{j}}\right)^{\frac {j}{p}}}$

donde el supremo se toma sobre todas las particiones finitas${\displaystyle \{0=t_{0}<t_{1}<\cdots <t_{n}=1\}}$de${\displaystyle [0,1]}$.

Una función continua${\displaystyle \mathbf {X}$ :\triangle _{0,1}\rightarrow T^{(\lfloor p\rfloor )}(\mathbb {R} ^{d})} es un${\displaystyle p}$-trayectoria geométrica aproximada si existe una secuencia de trayectorias con variación finita de orden 1 (o, equivalentemente, de variación acotada)${\displaystyle X(1),X(2),\ldots }$de tal manera que

${\displaystyle \mathbf {X} (n)_{s,t}=\left(1,\int _{s<s_{1}<t}\mathrm {d} X(n)_{s_{1}},\ldots ,\int _{s<s_{1}<\cdots <s_{\lfloor p\rfloor }<t}\,\mathrm {d} X(n)_{s_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathrm {d} X(n)_{s_{\lfloor p\rfloor }}\right)}$

converge en el${\displaystyle p}$-métrica de variación a${\displaystyle \mathbf {X} }$como${\displaystyle n\rightarrow \infty }$. ^{[ 8 ]}

Un resultado central en la teoría de caminos irregulares es el Teorema del Límite Universal de Lyons . ^{[ 1 ]} Una versión (débil) del resultado es la siguiente: Sea${\displaystyle X(n)}$Sea una secuencia de caminos con variación total finita y sea

${\displaystyle \mathbf {X} (n)_{s,t}=\left(1,\int _{s<s_{1}<t}\mathrm {d} X(n)_{s_{1}},\ldots ,\int _{s<s_{1}<\ldots <s_{\lfloor p\rfloor }<t}\mathrm {d} X(n)_{s_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathrm {d} X(n)_{s_{\lfloor p\rfloor }}\right)}$denotan el camino aproximado de elevación de${\displaystyle X(n)}$.

Supongamos que${\displaystyle \mathbf {X} (n)}$converge en el${\displaystyle p}$-métrica de variación a una${\displaystyle p}$-trayectoria geométrica aproximada${\displaystyle \mathbf {X} }$como${\displaystyle n\to \infty }$. Dejar${\displaystyle (V_{j}^{i})_{j=1,\ldots ,d}^{i=1,\ldots ,n}}$sean funciones que tengan al menos${\displaystyle \lfloor p\rfloor }$derivadas acotadas y la${\displaystyle \lfloor p\rfloor }$Las derivadas -ésimas son${\displaystyle \alpha }$-Hölder continuo durante algunos${\displaystyle \alpha >p-\lfloor p\rfloor }$. Dejar${\displaystyle Y(n)}$sea ​​la solución a la ecuación diferencial

${\displaystyle \mathrm {d} Y(n)_{t}^{i}=\sum _{j=1}^{d}V_{j}^{i}(Y(n)_{t})\,\mathrm {d} X(n)_{t}^{j}}$

y dejar${\displaystyle \mathbf {Y} (n)}$ser definido como

${\displaystyle \mathbf {Y} (n)_{s,t}=\left(1,\int _{s<s_{1}<t}\,\mathrm {d} Y(n)_{s_{1}},\ldots ,\int _{s<s_{1}<\ldots <s_{\lfloor p\rfloor }<t}\mathrm {d} Y(n)_{s_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathrm {d} Y(n)_{s_{\lfloor p\rfloor }}\right).}$

Entonces${\displaystyle \mathbf {Y} (n)}$converge en el${\displaystyle p}$-métrica de variación a una${\displaystyle p}$-trayectoria geométrica aproximada${\displaystyle \mathbf {Y} }$.

Además,${\displaystyle \mathbf {Y} }$es la solución a la ecuación diferencial

${\displaystyle \mathrm {d} Y_{t}^{i}=\sum _{j=1}^{d}V_{j}^{i}(Y_{t})\,\mathrm {d} X_{t}^{j}\qquad (\star )}$

impulsado por la trayectoria geométrica irregular${\displaystyle \mathbf {X} }$.

El teorema puede interpretarse como que el mapa de solución (también conocido como mapa de Itô-Lyons)${\displaystyle \Phi :G\Omega _{p}(\mathbb {R} ^{d})\to G\Omega _{p}(\mathbb {R} ^{e})}$del RDE${\displaystyle (\star )}$es continuo (y de hecho localmente lipschitziano) en el${\displaystyle p}$-topología de variación. Por lo tanto, la teoría de trayectorias irregulares demuestra que al considerar las señales de conducción como trayectorias irregulares, se obtiene una teoría de solución robusta para ecuaciones diferenciales estocásticas clásicas y más allá.

Los caminos rugosos controlados, introducidos por M. Gubinelli, ^{[ 15 ]} son ​​caminos${\displaystyle \mathbf {Y} }$para la cual la integral aproximada

${\displaystyle \int _{s}^{t}\mathbf {Y} _{u}\,\mathrm {d} X_{u}}$

se puede definir para una trayectoria geométrica aproximada dada${\displaystyle X}$.

Más precisamente, dejemos${\displaystyle L(V,W)}$denotamos el espacio de aplicaciones lineales acotadas de un espacio de Banach.${\displaystyle V}$a otro espacio de Banach${\displaystyle W}$.

Dado un${\displaystyle p}$-trayectoria geométrica aproximada

${\displaystyle \mathbf {X} =(1,\mathbf {X} ^{1},\ldots ,\mathbf {X} ^{\lfloor p\rfloor })}$

en${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$, a${\displaystyle \gamma }$- la ruta controlada es una función${\displaystyle \mathbf {Y} _{s}=(\mathbf {Y} _{s}^{0},\mathbf {Y} _{s}^{1},\ldots ,\mathbf {Y} _{s}^{\lfloor \gamma \rfloor })}$de tal manera que${\displaystyle \mathbf {Y} ^{j}:[0,1]\rightarrow L((\mathbb {R} ^{d})^{\otimes j+1},\mathbb {R} ^{n})}$y que existe${\displaystyle M>0}$de tal manera que para todos${\displaystyle 0\leq s\leq t\leq 1}$y${\displaystyle j=0,1,\ldots ,\lfloor \gamma \rfloor }$,

${\displaystyle \Vert \mathbf {Y} _{s}^{j}\Vert \leq M}$

y

${\displaystyle \left\|\mathbf {Y} _{t}^{j}-\sum _{i=0}^{\lfloor \gamma \rfloor -j}\mathbf {Y} _{s}^{j+i}\mathbf {X} _{s,t}^{i}\right\|\leq M|t-s|^{\frac {\gamma -j}{p}}.}$

Dejar${\displaystyle X:[0,1]\rightarrow \mathbb {R} ^{d}}$Sea una función continua con variación total finita. Defina

${\displaystyle S(X)_{s,t}=\left(1,\int _{s<s_{1}<t}\mathrm {d} X_{s_{1}},\int _{s<s_{1}<s_{2}<t}\mathrm {d} X_{s_{1}}\otimes \mathrm {d} X_{s_{2}},\ldots ,\int _{s<s_{1}<\cdots <s_{n}<t}\mathrm {d} X_{s_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathrm {d} X_{s_{n}},\ldots \right).}$

La firma de una ruta se define como${\displaystyle S(X)_{0,1}}$.

La firma también se puede definir para trayectorias geométricas aproximadas.${\displaystyle \mathbf {X} }$ser un camino geométrico aproximado y dejar${\displaystyle \mathbf {X} (n)}$sea ​​una secuencia de caminos con variación total finita tal que

${\displaystyle \mathbf {X} (n)_{s,t}=\left(1,\int _{s<s_{1}<t}\,\mathrm {d} X(n)_{s_{1}},\ldots ,\int _{s<s_{1}<\cdots <s_{\lfloor p\rfloor }<t}\,\mathrm {d} X(n)_{s_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathrm {d} X(n)_{s_{\lfloor p\rfloor }}\right).}$

converge en el${\displaystyle p}$-métrica de variación a${\displaystyle \mathbf {X} }$. Entonces

${\displaystyle \int _{s<s_{1}<\cdots <s_{N}<t}\,\mathrm {d} X(n)_{s_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathrm {d} X(n)_{s_{N}}}$

converge como${\displaystyle n\rightarrow \infty }$para cada${\displaystyle N}$. La firma del camino geométrico rugoso${\displaystyle \mathbf {X} }$puede definirse como el límite de${\displaystyle S(X(n))_{s,t}}$como${\displaystyle n\rightarrow \infty }$.

La firma satisface la identidad de Chen, ^{[ 16 ]} que

${\displaystyle S(\mathbf {X} )_{s,u}\otimes S(\mathbf {X} )_{u,t}=S(\mathbf {X} )_{s,t}}$

a pesar de${\displaystyle s\leq u\leq t}$.

También es posible extender los resultados centrales de la teoría de caminos aproximados a dimensiones infinitas, siempre que la norma en el álgebra tensorial satisfaga cierta condición de admisibilidad. ^{[ 21 ]}

• Lejay, Antoine (2009). "Otra introducción más a los caminos difíciles". En Donati-Martin, Catherine; et  al. (eds.). Seminario de Probabilidades XLII . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol.  1979. Berlín: Springer. págs. 1 a 101. ISBN  978-3-642-01762-9.