Grupo del cubo de Rubik

Consideramos dos subgrupos de G : Primero, el subgrupo C _o de orientaciones de cubos , los movimientos que dejan fija la posición de cada bloque, pero pueden cambiar las orientaciones de los bloques. Este grupo es un subgrupo normal de G. Se puede representar como la clausura normal de algunos movimientos que invierten algunas aristas o giran algunas esquinas. Por ejemplo, es la clausura normal de los dos movimientos siguientes:

${\displaystyle BR^{\prime }D^{2}RB^{\prime }U^{2}BR^{\prime }D^{2}RB^{\prime }U^{2},}$(gira dos esquinas)

${\displaystyle RUDB^{2}U^{2}B^{\prime }UBUB^{2}D^{\prime }R^{\prime }U^{\prime },}$(voltear dos bordes).

Segundo, tomamos el subgrupo${\displaystyle C_{\text{p}}}$de permutaciones de cubos , los movimientos que pueden cambiar las posiciones de los bloques, pero dejan la orientación fija. Para este subgrupo hay varias opciones, dependiendo de la forma precisa en que se defina la "orientación". ^{[ nota 2 ]} Una opción es el siguiente grupo, dado por generadores (el último generador es un ciclo de 3 en las aristas):

${\displaystyle C_{\text{p}}=[U^{2},D^{2},F,B,L^{2},R^{2},R^{2}U^{\prime }FB^{\prime }R^{2}F^{\prime }BU^{\prime }R^{2}].}$

Dado que C _o es un subgrupo normal y la intersección de C _o y C _p es la identidad y su producto es todo el grupo cúbico, se deduce que el grupo cúbico G es el producto semidirecto de estos dos grupos. Es decir,

${\displaystyle G=C_{\text{o}}\rtimes C_{\text{p}}.}$

A continuación podemos examinar más de cerca estos dos grupos. La estructura de C _o es

${\displaystyle \mathrm {Z} _{3}^{7}\times \mathrm {Z} _{2}^{11},}$

ya que el grupo de rotaciones de cada esquina (respectivamente, arista) del cubo es${\displaystyle \mathrm {Z} _ {3}}$(resp.${\displaystyle \mathrm {Z} _ {2}}$), y en cada caso todos menos uno pueden rotarse libremente, pero estas rotaciones determinan la orientación del último. Al observar que hay 8 vértices y 12 aristas, y que todos los grupos de rotación son abelianos, se obtiene la estructura anterior.

Las permutaciones cúbicas, C _p , son un poco más complicadas. Tienen los siguientes dos subgrupos normales disjuntos: el grupo de permutaciones pares en las esquinas A ₈ y el grupo de permutaciones pares en las aristas A ₁₂ . Complementario a estos dos subgrupos es una permutación que intercambia dos esquinas e intercambia dos aristas. Resulta que estas generan todas las permutaciones posibles, lo que significa

${\displaystyle C_{\text{p}}=(\mathrm {A} _{8}\times \mathrm {A} _{12})\,\rtimes \mathrm {Z} _{2}.}$

Al juntar todas las piezas obtenemos que el grupo del cubo es isomorfo a

${\displaystyle (\mathrm {Z} _{3}^{7}\times \mathrm {Z} _{2}^{11})\rtimes \,((\mathrm {A} _{8}\times \mathrm {A} _{12})\rtimes \mathrm {Z} _{2}).}$

Este grupo también puede describirse como el producto subdirecto.

${\displaystyle [(\mathrm {Z} _{3}^{7}\rtimes \mathrm {S} _{8})\times (\mathrm {Z} _{2}^{11}\rtimes \mathrm {S} _{12})]^{\frac {1}{2}},}$

en la notación de Griess .

Cuando se tienen en cuenta las simetrías de la faceta central, el grupo de simetría es un subgrupo de

${\displaystyle [\mathrm {Z} _{4}^{6}\times (\mathrm {Z} _{3}^{7}\rtimes \mathrm {S} _{8})\times (\mathrm {Z} _{2}^{11}\rtimes \mathrm {S} _{12})]^{\frac {1}{2}}.}$

(Esta poca importancia que se le da a las rotaciones de las facetas centrales es un ejemplo implícito de un grupo cociente en acción, que oculta al lector el grupo de automorfismos completo del objeto en cuestión).

El grupo de simetría del cubo de Rubik obtenido al desmontarlo y volver a montarlo es ligeramente mayor: es decir, es el producto directo.

${\displaystyle \mathrm {Z} _{4}^{6}\times (\mathrm {Z} _{3}\wr \mathrm {S} _{8})\times (\mathrm {Z} _{2}\wr \mathrm {S} _{12}).}$

El primer factor se explica únicamente por las rotaciones de las piezas centrales, el segundo únicamente por las simetrías de las esquinas y el tercero únicamente por las simetrías de las aristas. Los dos últimos factores son ejemplos de grupos simétricos generalizados , que a su vez son ejemplos de productos de coronas . (No existe ningún factor para las reordenaciones de las caras centrales, ya que en prácticamente todos los modelos de cubo de Rubik, reordenar estas caras es imposible con un simple desmontaje ).

Los grupos simples que aparecen como cocientes en la serie de composición del grupo cúbico estándar (es decir, ignorando las rotaciones de la pieza central) son:${\displaystyle \mathrm {A} _ {8}}$,${\displaystyle \mathrm {A} _ {12}}$,${\displaystyle \mathrm {Z} _ {3}}$(7 veces), y${\displaystyle \mathrm {Z} _ {2}}$(12 veces).

Se ha informado que el grupo del Cubo de Rubik tiene 81.120 clases de conjugación . ^{[ 7 ]} Este número se calculó contando por separado el número de clases de conjugación pares e impares en los grupos de aristas y vértices, y luego multiplicándolas, asegurando que la paridad total sea siempre par. Se debe tener especial cuidado al contar las llamadas clases de conjugación sensibles a la paridad , cuyos elementos siempre difieren al conjugarse con cualquier elemento par frente a cualquier elemento impar. ^{[ 8 ]}