Mapa de Rulkov

El mapa de Rulkov es un mapa iterativo bidimensional utilizado para modelar una neurona biológica . Fue propuesto por Nikolai F. Rulkov en 2001. ^{[ 1 ]} El uso de este mapa para estudiar redes neuronales presenta ventajas computacionales, ya que es más fácil de iterar que un sistema dinámico continuo . Esto ahorra memoria y simplifica el cálculo de grandes redes neuronales.

El mapa de Rulkov, con${\displaystyle n}$como tiempo discreto, puede representarse mediante las siguientes ecuaciones dinámicas:

${\displaystyle x_{n+1}={\frac {\alpha }{1+x_{n}^{2}}}+y_{n}}$

${\displaystyle y_{n+1}=y_{n}-\mu (x_{n}-\sigma )}$

dónde${\displaystyle x}$representa el potencial de membrana de la neurona. La variable${\displaystyle y}$en el modelo es una variable lenta debido a un valor muy pequeño de${\displaystyle \mu }$${\displaystyle (0<\mu <<1)}$A diferencia de las variables${\displaystyle x}$, variable${\displaystyle y}$no tiene un significado biológico explícito, aunque se puede establecer cierta analogía con las variables de compuerta . ^{[ 2 ]} El parámetro${\displaystyle \sigma }$puede pensarse como una corriente continua externa aplicada a la neurona y${\displaystyle \alpha }$es un parámetro de no linealidad del mapa. Diferentes combinaciones de parámetros${\displaystyle \sigma }$y${\displaystyle \alpha }$dan lugar a diferentes estados dinámicos de la neurona, como el reposo, la activación tónica y las ráfagas caóticas . La activación caótica se habilita arriba${\displaystyle \alpha >4}$

La dinámica del mapa de Rulkov puede analizarse analizando la dinámica de su submapa rápido unidimensional. Dado que la variable${\displaystyle y}$evoluciona muy lentamente, durante un tiempo moderado puede tratarse como un parámetro con valor constante en el${\displaystyle x}$ecuación de evolución de la variable (que ahora llamamos submapa rápido unidimensional porque en comparación con${\displaystyle y}$,${\displaystyle x}$es una variable rápida). Dependiendo del valor de${\displaystyle y}$, este submapa puede tener uno o tres puntos fijos. Uno de estos puntos fijos es estable, otro es inestable y el tercero puede cambiar la estabilidad. ^{[ 3 ]} Como${\displaystyle y}$aumenta, dos de estos puntos fijos (uno estable y otro inestable) se fusionan y desaparecen por bifurcación de nodo de silla .

Irina Bashkirtseva y Alexander Pisarchik investigaron el acoplamiento de dos neuronas, explorando las transiciones entre regímenes estacionarios, periódicos, cuasiperiódicos y caóticos. ^{[ 4 ]} También abordaron las consecuencias adicionales de las perturbaciones aleatorias en este sistema, que conducen a transiciones inducidas por ruido entre oscilaciones estocásticas periódicas y caóticas. ^{[ 5 ]}

Las adaptaciones del mapa de Rulkov han encontrado aplicaciones en la economía laboral e industrial, particularmente en el ámbito de la dinámica corporativa. ^{[ 6 ]} El marco propuesto aprovecha la sincronización y la regularización del caos para dar cuenta de las transiciones dinámicas entre múltiples equilibrios, incorporar la asimetría y los elementos idiosincrásicos, y revelar la influencia del esfuerzo en la rentabilidad corporativa. Los resultados se sustentan mediante validación empírica con datos del mundo real. ^{[ 6 ]} Orlando y Bufalo introdujeron un modelo determinista basado en el mapa de Rulkov, ^{[ 7 ]} modelando eficazmente las fluctuaciones de volatilidad en los rendimientos y diferenciales corporativos, incluso durante períodos de crisis como la COVID-19. Comparándolo con el modelo ARIMA-EGARCH, diseñado para manejar varios aspectos de la volatilidad, ambos modelos arrojan resultados comparables. Sin embargo, la naturaleza determinista del modelo del mapa de Rulkov puede proporcionar capacidades explicativas mejoradas. ^{[ 8 ]}

Otras aplicaciones del mapa de Rulkov incluyen memristores, ^{[ 9 ] [ 10 ]} mercados financieros, ^{[ 11 ] [ 12 ]} sistemas biológicos, ^{[ 13 ]} etc.

• Modelo biológico de neurona
• Modelo de Hodgkin-Huxley
• Modelo de FitzHugh-Nagumo
• Mapa de Chialvo