dispersión de Coulomb

En un experimento de 1909, Geiger y Marsden descubrieron que las láminas metálicas podían dispersar algunas partículas alfa en todas direcciones, a veces más de 90°. ^{[ 6 ] : 4} Esto debería haber sido imposible según el modelo atómico de pudín de pasas vigente en ese momento. ^{[ 6 ] : 4} Según este modelo, de JJ Thomson , el átomo consiste en una esfera de carga positiva llena de electrones circulantes.

La extrema dispersión observada obligó a Rutherford a revisar el modelo del átomo. ^{[ 7 ] : 25} El problema en el modelo de Thomson era que las cargas eran demasiado difusas para producir una fuerza electrostática suficientemente fuerte que causara tal repulsión. En el nuevo modelo de Rutherford, la carga positiva no llena todo el volumen del átomo, sino que constituye un pequeño núcleo al menos 10 000 veces más pequeño que el átomo en su conjunto. Toda esa carga positiva concentrada en un volumen mucho menor produce un campo eléctrico mucho más fuerte cerca de su superficie. El núcleo también contenía la mayor parte de la masa del átomo. Esto significaba que podía desviar las partículas alfa hasta 180° dependiendo de la distancia a la que pasaran. Los electrones rodean este núcleo, dispersos por todo el volumen del átomo. Debido a que su carga negativa es difusa y su masa combinada es baja, tienen un efecto insignificante sobre la partícula alfa. ^{[ 8 ]}

Para verificar su modelo, Rutherford desarrolló un modelo científico para predecir la intensidad de las partículas alfa en los diferentes ángulos de dispersión al salir de la lámina de oro, suponiendo que toda la carga positiva se concentraba en el centro del átomo. Este modelo fue validado en un experimento realizado en 1913. Su modelo explicaba tanto los resultados de dispersión beta de Thomson como los resultados de dispersión alfa de Geiger y Marsden. ^{[ 5 ] : 285}

Rutherford comienza su análisis cuantitativo considerando una colisión frontal entre la partícula alfa y el átomo. Esto establecerá la distancia mínima entre ellos, un valor que utilizará a lo largo de sus cálculos. ^{[ 1 ] : 670}

Suponiendo que no existen fuerzas externas y que inicialmente las partículas alfa se encuentran lejos del núcleo, la ley del inverso del cuadrado entre las cargas de la partícula alfa y el núcleo proporciona la energía potencial que gana la partícula al acercarse al núcleo. En colisiones frontales entre partículas alfa y el núcleo, toda la energía cinética de la partícula alfa se transforma en energía potencial , la partícula se detiene y regresa. ^{[ 6 ] : 5}

Donde la partícula se detiene a una distancia${\displaystyle r_{\text{min}}}$Desde el centro, la energía potencial coincide con la energía cinética original: ^{[ 10 ] : 620 [ 11 ] : 320}

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}=k{\frac {q_{\text{a}}q_{\text{g}}}{r_{\text{min}}}}}$$

dónde

$${\displaystyle k={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}}$$

Reorganizando: ^{[ 1 ] : 671}$${\displaystyle r_{\text{min}}=k{\frac {2q_{\text{a}}q_{\text{g}}}{mv^{2}}}}$$

Para una partícula alfa: ^{[ nota 1 ]}

• m (masa) =6,644 24 × 10 ⁻²⁷  kg =3,7273 × 10⁹ ^eV  / c²^​
• q _a (para la partícula alfa) = 2 ×1,6 × 10 ⁻¹⁹  C =3,2 × 10 ⁻¹⁹  C
• q _g (para el oro) = 79 ×1,6 × 10 ⁻¹⁹  C =1,27 × 10 ⁻¹⁷  C
• v (velocidad inicial) =2 × 10⁷ ^m  /s (para este ejemplo)

La distancia desde la partícula alfa hasta el centro del núcleo ( r _min ) en este punto es un límite superior para el radio nuclear. Sustituyendo estos valores se obtiene un valor aproximado de2,7 × 10 ⁻¹⁴  m , o 27 fm . (El radio real es de aproximadamente 7,3 fm.) El radio real del núcleo no se recupera en estos experimentos porque las partículas alfa no tienen suficiente energía para penetrar más de 27 fm del centro nuclear, como se ha señalado, cuando el radio real del oro es de 7,3 fm.    

El artículo de Rutherford de 1911 ^{[ 1 ]} comenzaba con una fórmula ligeramente diferente adecuada para la colisión frontal con una esfera de carga positiva:

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}=NeE\cdot \left({\frac {1}{b}}-{\frac {3}{2R}}+{\frac {b^{2}}{2R^{3}}}\right)}$$

En la notación de Rutherford, e es la carga elemental , N es el número de carga del núcleo (ahora también conocido como número atómico ) y E es la carga de una partícula alfa. La convención en la época de Rutherford era medir la carga en unidades electrostáticas , la distancia en centímetros, la fuerza en dinas y la energía en ergios . La convención moderna es medir la carga en culombios , la distancia en metros, la fuerza en newtons y la energía en julios . El uso de culombios requiere el uso de la constante de Coulomb ( k ) en la ecuación. Rutherford usó b como la distancia del punto de inflexión (llamada r _min arriba) y R es el radio del átomo. El primer término es la repulsión de Coulomb utilizada arriba. Esta forma supone que la partícula alfa podría penetrar la carga positiva. En la época del artículo de Rutherford, el modelo del pudín de pasas de Thomson proponía una carga positiva con el radio de un átomo, miles de veces mayor que el r _min encontrado arriba. La figura 1 muestra cuán concentrado está este potencial en comparación con el tamaño del átomo. Muchos de los resultados de Rutherford se expresan en términos de esta distancia de punto de inflexión r _min , lo que simplifica los resultados y limita la necesidad de unidades a este cálculo del punto de inflexión.

A partir de sus resultados para una colisión frontal, Rutherford sabe que la dispersión de partículas alfa ocurre cerca del centro de un átomo, en un radio 10.000 veces menor que el átomo. Los electrones tienen un efecto insignificante. Comienza asumiendo que no hay pérdida de energía en la colisión, es decir, ignora el retroceso del átomo objetivo. Retomará cada uno de estos temas más adelante en su artículo. ^{[ 1 ] : 672} Bajo estas condiciones, la partícula alfa y el átomo interactúan a través de una fuerza central , un problema físico estudiado por primera vez por Isaac Newton . ^{[ 12 ]} Una fuerza central solo actúa a lo largo de una línea entre las partículas y cuando la fuerza varía con el inverso del cuadrado, como la fuerza de Coulomb en este caso, se desarrolló una teoría detallada bajo el nombre del problema de Kepler . ^{[ 4 ] : 76} Las soluciones bien conocidas al problema de Kepler se llaman órbitas y las órbitas no ligadas son hipérbolas . Así, Rutherford propuso que la partícula alfa seguirá una trayectoria hiperbólica en la fuerza repulsiva cerca del centro del átomo, como se muestra en la Figura 2.

Para aplicar las soluciones de trayectoria hiperbólica al problema de la partícula alfa, Rutherford expresa los parámetros de la hipérbola en términos de la geometría de dispersión y las energías. Comienza con la conservación del momento angular . Cuando la partícula de masa${\displaystyle m}$y velocidad inicial${\displaystyle v_{0}}$está lejos del átomo, su momento angular alrededor del centro del átomo será${\displaystyle mbv_{0}}$dónde${\displaystyle b}$es el parámetro de impacto , que es la distancia lateral entre la trayectoria de la partícula alfa y el átomo. En el punto de máxima aproximación, etiquetado como A en la Figura 2, el momento angular será${\displaystyle mr_{\text{A}}v_{\text{A}}}$. Por lo tanto ^{[ 5 ] : 270}

$${\displaystyle mbv_{0}=sr_{\text{A}}v_{\text{A}}}$$

$${\displaystyle v_{\text{A}}={\frac {bv_{0}}{r_{\text{A}}}}}$$

Rutherford también aplica la ley de conservación de la energía entre esos mismos dos puntos:

$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}mv_{0}^{2}={\tfrac {1}{2}}mv_{\text{A}}^{2}+{\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{r_{\text{A}}}}}$$

El lado izquierdo y el primer término del lado derecho representan las energías cinéticas de la partícula en los dos puntos; el último término es la energía potencial debida a la fuerza de Coulomb entre la partícula alfa y el átomo en el punto de máxima aproximación (A). q _a es la carga de la partícula alfa, q _g es la carga del núcleo y k es la constante de Coulomb . ^{[ 14 ]}

La ecuación de energía se puede reordenar de la siguiente manera:

$${\displaystyle v_{\text{A}}^{2}=v_{0}^{2}\left(1-{\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{{\tfrac {1}{2}}mv_{0}^{2}r_{\text{A}}}}\right)}$$

Para mayor comodidad, las variables físicas no geométricas en esta ecuación ^{[ 1 ] : 674} pueden estar contenidas en una variable${\displaystyle r_{\text{min}}}$, que es el punto de aproximación más cercana en un escenario de colisión frontal ^{[ 1 ] : 671} que se exploró en una sección anterior de este artículo:

$${\displaystyle r_{\text{min}}={\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{{\tfrac {1}{2}}mv_{0}^{2}}}}$$

Esto permite a Rutherford simplificar la ecuación de energía a:

$${\displaystyle v_{\text{A}}^{2}=v_{0}^{2}\left(1-{\frac {r_{\text{min}}}{r_{\text{A}}}}\right)}$$

Esto deja dos ecuaciones simultáneas para${\displaystyle v_{\text{A}}^{2}}$, la primera derivada de la ecuación de conservación del momento y la segunda de la ecuación de conservación de la energía. Eliminando${\displaystyle v_{\text{A}}}$y${\displaystyle v_{0}}$da una nueva fórmula para${\displaystyle r_{\text{min}}}$:

$${\displaystyle v_{\text{A}}^{2}={\frac {b^{2}v_{0}^{2}}{r_{\text{A}}^{2}}}=v_{0}^{2}\left(1-{\frac {r_{\text{min}}}{r_{\text{A}}}}\right)}$$

$${\displaystyle r_{\text{min}}=r_{\text{A}}-{\frac {b^{2}}{r_{\text{A}}}}}$$

El siguiente paso es encontrar una fórmula para${\displaystyle r_{\text{A}}}$. De la Figura 2,${\displaystyle r_{\text{A}}}$es la suma de dos distancias relacionadas con la hipérbola, SO y OA. Usando la siguiente lógica, estas distancias se pueden expresar en términos de ángulo${\displaystyle \Phi }$y parámetro de impacto${\displaystyle b}$.

La excentricidad de una hipérbola es un valor que describe la forma de la hipérbola. Se puede calcular dividiendo la distancia focal por la longitud del semieje mayor, que según la Figura 2 es SO / OA . Como se puede ver en la Figura 3, la excentricidad también es igual a${\displaystyle \sec \Phi }$, dónde${\displaystyle \Phi }$es el ángulo entre el eje mayor y la asíntota. ^{[ 15 ] : 219} Por lo tanto:

$${\displaystyle {\frac {\text{SO}}{\text{OA}}}=\sec \Phi }$$

Como se puede deducir de la Figura 2, la distancia focal SO es

$${\displaystyle {\text{SO}}=b\csc \Phi }$$

y por lo tanto

$${\displaystyle {\text{OA}}={\frac {\text{SO}}{\sec \Phi }}=b\cot \Phi }$$

Con estas fórmulas para SO y OA, la distancia${\displaystyle r_{\text{A}}}$puede escribirse en términos de${\displaystyle \Phi }$y simplificada usando una identidad trigonométrica conocida como fórmula del semiángulo : ^{[ 13 ] : 673}

$${\displaystyle r_{\text{A}}={\text{SO}}+{\text{OA}}}$$

$${\displaystyle =b\csc \Phi +b\cot \Phi }$$

$${\displaystyle =b\cot {\frac {\Phi }{2}}}$$

Aplicando una identidad trigonométrica conocida como la fórmula del ángulo doble de la cotangente y la ecuación anterior para${\displaystyle r_{\text{A}}}$Esto proporciona una relación más simple entre las variables físicas y geométricas:

$${\displaystyle r_{\text{min}}=r_{\text{A}}-{\frac {b^{2}}{r_{\text{A}}}}}$$

$${\displaystyle =b\cot {\frac {\Phi }{2}}-{\frac {b^{2}}{b\cot {\frac {\Phi }{2}}}}}$$

$${\displaystyle =b{\frac {\cot ^{2}{\frac {\Phi }{2}}-1}{\cot {\frac {\Phi }{2}}}}}$$

$${\displaystyle =2b\cot \Phi }$$

El ángulo de dispersión de la partícula es${\displaystyle \theta =\pi -2\Phi }$y por lo tanto${\displaystyle \Phi ={\tfrac {\pi -\theta }{2}}}$. Con la ayuda de una identidad trigonométrica conocida como fórmula de reflexión , la relación entre θ y b se puede resolver como: ^{[ 1 ] : 673}

$${\displaystyle r_{\text{min}}=2b\cot {\frac {\pi -\theta }{2}}}$$

$${\displaystyle =2b\tan {\frac {\theta }{2}}}$$

$${\displaystyle \cot {\frac {\theta }{2}}={\frac {2b}{r_{\text{min}}}}}$$

que se puede reorganizar para dar

$${\displaystyle \theta =2\arctan {\frac {r_{\text{min}}}{2b}}=2\arctan {\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{mv_{0}^{2}b}}}$$

Rutherford proporciona algunos valores ilustrativos como se muestra en esta tabla: ^{[ 1 ] : 673}

El enfoque de Rutherford para este problema de dispersión sigue siendo un tratamiento estándar en los libros de texto ^{[ 16 ] : 151 [ 17 ] : 240 [ 18 ] : 400} sobre mecánica clásica .

Para comparar con los experimentos, la relación entre el parámetro de impacto y el ángulo de dispersión debe convertirse en probabilidad versus ángulo. La sección transversal de dispersión proporciona la intensidad relativa por ángulos: ^{[ 4 ] : 81}$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \sigma }{\mathrm {d} \Omega }}(\Omega )\mathrm {d} \Omega ={\frac {{\text{number of particles scattered into solid angle }}\mathrm {d} \Omega {\text{ per unit time}}}{\text{incident intensity}}}}$$

En mecánica clásica, el ángulo de dispersión${\displaystyle \theta }$está determinada de forma única por la energía cinética inicial de las partículas incidentes y el parámetro de impacto b . ^{[ 4 ] : 82} Por lo tanto, el número de partículas dispersadas en un ángulo entre${\displaystyle \theta }$y${\displaystyle \theta +\mathrm {d} \theta }$debe ser igual al número de partículas con parámetros de impacto asociados entre b y b + db . Para una intensidad incidente I , esto implica:

$${\displaystyle 2\pi Ib\cdot \left|\mathrm {d} b\right|=-2\pi \cdot \sigma (\theta )\cdot I\cdot \sin(\theta )\cdot \mathrm {d} \theta }$$

Por lo tanto, la sección transversal depende del ángulo de dispersión como:

$${\displaystyle \sigma (\theta )=-{\frac {b}{\sin \theta }}\cdot {\frac {\mathrm {d} b}{\mathrm {d} \theta }}}$$

Utilizando el parámetro de impacto como función del ángulo, b ( θ ) , del resultado de dispersión simple anterior se obtiene la sección transversal de dispersión de Rutherford: ^{[ 4 ] : 84}

$${\displaystyle s={\frac {Xnt\cdot \csc ^{4}{\frac {\phi }{2}}}{16r^{2}}}\cdot {\left({\frac {2kq_{\text{n}}q_{\text{a}}}{mv^{2}}}\right)}^{2}}$$

• s = el número de partículas alfa que caen sobre una unidad de área con un ángulo de deflexión ɸ
• r = distancia desde el punto de incidencia de los rayos α sobre el material dispersor.
• X = número total de partículas que caen sobre el material dispersor
• n = número de átomos en un volumen unitario del material
• t = espesor de la lámina
• q _n = carga positiva del núcleo atómico
• q _a = carga positiva de las partículas alfa
• m = masa de una partícula alfa
• v = velocidad de la partícula alfa

Esta fórmula predijo los resultados que Geiger midió al año siguiente. La probabilidad de dispersión en ángulos pequeños supera ampliamente la probabilidad en ángulos mayores, lo que refleja el pequeño núcleo rodeado de espacio vacío. Sin embargo, en encuentros cercanos poco frecuentes, la dispersión en ángulos grandes ocurre con un solo objetivo. ^{[ 19 ] : 19}

Al final del desarrollo de su fórmula de sección transversal, Rutherford enfatiza que los resultados se aplican a la dispersión simple y, por lo tanto, requieren mediciones con láminas delgadas. Para láminas delgadas, el grado de dispersión es proporcional al espesor de la lámina, en concordancia con las mediciones de Geiger. ^{[ 1 ]}

En el momento de la publicación del artículo de Rutherford, J.J. Thomson era el "maestro mundial indiscutible en el diseño de átomos". ^{[ 5 ] : 296} Rutherford necesitaba comparar su nuevo enfoque con el de Thomson. El modelo de Thomson, presentado en 1910, ^{[ 20 ]} modelaba las colisiones de electrones con órbitas hiperbólicas de su artículo de 1906 ^{[ 21 ]} combinadas con un factor para la esfera positiva. Múltiples pequeñas deflexiones resultantes se acumulaban mediante un paseo aleatorio . ^{[ 5 ] : 277}

En su artículo, Rutherford enfatizó que la dispersión simple por sí sola podría explicar los resultados de Thomson si la carga positiva estuviera concentrada en el centro. Rutherford calcula la probabilidad de dispersión simple de una carga compacta y demuestra que es tres veces mayor que la probabilidad de dispersión múltiple de Thomson. Rutherford completa su análisis incluyendo los efectos de la densidad y el espesor de la lámina, y luego concluye que las láminas delgadas se rigen por la dispersión simple, no por la dispersión múltiple. ^{[ 5 ] : 298}

Análisis posteriores demostraron que el modelo de dispersión de Thomson no podía explicar la dispersión a gran escala. La desviación angular máxima debida a la dispersión de electrones o a la esfera positiva es inferior a 0,02° en ambos casos; incluso la acumulación de muchos de estos eventos de dispersión daría como resultado una desviación promedio inferior a un grado y una probabilidad de dispersión a través de 90° inferior a una entre ^{10³⁵⁰⁰} . ^{[ 22 ] : 106}

El análisis de Rutherford asumió que las trayectorias de las partículas alfa giraban en el centro del átomo, pero la velocidad de salida no se reducía. ^{[ 23 ] : 253} Esto equivale a suponer que la carga concentrada en el centro tenía masa infinita o estaba anclada en su lugar. Rutherford analiza las limitaciones de esta suposición comparando la dispersión de átomos más ligeros, como el aluminio, con la de átomos más pesados, como el oro. Si la carga concentrada es más ligera, retrocederá tras la interacción, ganando momento, mientras que la partícula alfa pierde momento y, en consecuencia, disminuye su velocidad. ^{[ 13 ] : 676}

Los tratamientos modernos analizan este tipo de dispersión de Coulomb en el sistema de referencia del centro de masas . Las seis coordenadas de las dos partículas (también llamadas "cuerpos") se convierten en tres coordenadas relativas entre las dos partículas y tres coordenadas del centro de masas que se mueven en el espacio (llamado sistema de referencia del laboratorio). La interacción solo ocurre en las coordenadas relativas, lo que da un problema equivalente de un cuerpo ^{[ 4 ] : ​​58} tal como lo resolvió Rutherford, pero con diferentes interpretaciones para la masa y el ángulo de dispersión.

En lugar de la masa de la partícula alfa, la fórmula más precisa que incluye el retroceso utiliza la masa reducida : ^{[ 4 ] : 80}

$${\displaystyle \mu ={\cfrac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}.}$$

Para la dispersión de partículas alfa de Rutherford en oro, con una masa de 197, la masa reducida es muy cercana a la masa de la partícula alfa:

$${\displaystyle \mu _{\text{Au}}={\cfrac {4\times 197}{4+197}}=3.92\approx 4}$$

Para el aluminio más ligero, con una masa de 27, el efecto es mayor:

$${\displaystyle \mu _{\text{Al}}={\cfrac {4\times 27}{4+27}}=3.48}$$

una diferencia de masa del 13%. Rutherford observa esta diferencia y sugiere que se realicen experimentos con átomos más ligeros. ^{[ 1 ] : 677}

El segundo efecto es un cambio en el ángulo de dispersión. El ángulo en el sistema de coordenadas relativo o marco del centro de masas debe convertirse a un ángulo en el marco del laboratorio. ^{[ 4 ] : 85} En el marco del laboratorio, denotado por un subíndice L, el ángulo de dispersión para un potencial central general es

$${\displaystyle \tan \Theta _{\text{L}}={\frac {\sin \Theta }{\cos \Theta +{\frac {m_{1}}{m_{2}}}}}}$$

Para una partícula pesada como el oro utilizado por Rutherford, el factor${\displaystyle {\tfrac {m_{1}}{m_{2}}}={\tfrac {4}{197}}\approx 0.02}$puede despreciarse en casi todos los ángulos. Entonces el ángulo de laboratorio y los ángulos relativos son los mismos,${\displaystyle \Theta _{\text{L}}\approx \Theta }$.

El cambio en el ángulo de dispersión altera la fórmula para la sección transversal diferencial necesaria para la comparación con el experimento. En general, el cálculo es complejo. Para el caso de la dispersión de partículas alfa por átomos de oro, este efecto sobre la sección transversal es bastante pequeño. ^{[ 4 ] : 88}

En 1919, Rutherford analizó la dispersión de partículas alfa por átomos de hidrógeno, ^{[ 24 ]} mostrando los límites de la fórmula de 1911 incluso con correcciones por masa reducida. ^{[ 25 ] : 191} Problemas similares con desviaciones menores para helio, magnesio y aluminio ^{[ 26 ]} llevaron a la conclusión de que la partícula alfa penetraba el núcleo en estos casos. Esto permitió las primeras estimaciones del tamaño de los núcleos atómicos. ^{[ 23 ] : 255} Experimentos posteriores basados ​​en la aceleración ciclotrónica de partículas alfa que impactaban núcleos más pesados ​​proporcionaron datos para el análisis de la interacción entre la partícula alfa y la superficie nuclear. Sin embargo, a energías que empujan las partículas alfa más profundamente, son fuertemente absorbidas por los núcleos, una interacción más compleja. ^{[ 25 ] : 228 [ 27 ] : 441}

El tratamiento de Rutherford de la dispersión de partículas alfa se basa en la mecánica clásica, pero las partículas son de dimensiones subatómicas y se describen mejor mediante la mecánica cuántica. Los aspectos críticos de la teoría se basan en última instancia en la conservación del momento y la energía. Estos conceptos se aplican por igual en regímenes clásicos y cuánticos para la dispersión simple: las ideas de dispersión desarrolladas por Rutherford se aplican a problemas de dispersión elástica subatómica como la dispersión neutrón-protón. ^{[ 4 ] : 89} Sin embargo, tanto para la difracción de electrones como para las ondas de materia , a menudo se necesita un enfoque mecánico cuántico completo, que incluya fenómenos como la preservación del momento cristalino como una generalización de la conservación del momento. ^{[ 28 ] [ 29 ]} Una cuestión clave es la coherencia del proceso de dispersión. Por ejemplo, para la imagen de campo oscuro anular de alto ángulo, la dispersión está dominada por el promedio temporal de fonones incoherentes , por lo que a menudo se utilizan las ecuaciones clásicas de Rutherford. ^{[ 30 ]}

Consideremos una partícula alfa que pasa cerca de una esfera de carga positiva pura (sin electrones) de radio R. La esfera es mucho más pesada que la partícula alfa, por lo que no se tiene en cuenta el retroceso. Su posición es fija. La partícula alfa pasa lo suficientemente cerca como para rozar el borde de la esfera, que es donde el campo eléctrico de la esfera es más intenso.

En una sección anterior de este artículo se presentó una ecuación que modela cómo una partícula cargada incidente es desviada por otra partícula cargada en una posición fija (es decir, de masa infinita).

$${\displaystyle \theta =2\arctan {\frac {kq_{1}q_{2}}{mv^{2}b}}}$$

Esta ecuación se puede utilizar para calcular el ángulo de deflexión en el caso especial de la Figura 4, estableciendo el parámetro de impacto b al mismo valor que el radio de la esfera R. Mientras la partícula alfa no penetre la esfera, no hay diferencia entre una esfera cargada y una carga puntual.

• q _g = carga positiva del átomo de oro =79 q _e  =1,26 × 10 ⁻¹⁷  C
• q _a = carga de la partícula alfa =2 q _e  =3,20 × 10 ⁻¹⁹  C
• R = radio del átomo de oro =1,44 × 10 ⁻¹⁰  m
• v = velocidad de la partícula alfa =1,53 × 10⁷ ^m  /s
• m = masa de la partícula alfa =6,64 × 10 ⁻²⁷  kg
• k = constante de Coulomb =8,987 × 10⁹ ^N  · ^m² / ^C²

Uso: ^{[ nota 1 ]}$${\displaystyle \theta _{2}=2\arctan {\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{mv^{2}R}}\approx 0.02{\text{ degrees}}}$$

Esto demuestra que la mayor desviación posible será muy pequeña, hasta el punto de que la trayectoria de la partícula alfa que atraviesa la esfera positiva de un átomo de oro es casi una línea recta. Por lo tanto , al calcular la desviación promedio, que será aún menor, trataremos la trayectoria de la partícula a través de la esfera como una cuerda de longitud L.

Dentro de una esfera de carga positiva uniformemente distribuida, la fuerza ejercida sobre la partícula alfa en cualquier punto a lo largo de su trayectoria a través de la esfera es ^{[ 34 ] [ 35 ] : 106}

$${\displaystyle F={\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{r^{2}}}\cdot {\frac {r^{3}}{R^{3}}}}$$

El componente lateral de esta fuerza es

$${\displaystyle F_{\text{y}}={\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{r^{2}}}\cdot {\frac {r^{3}}{R^{3}}}\cdot \cos \varphi ={\frac {bkq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{R^{3}}}}$$

Por lo tanto , el cambio lateral en el momento p _y es

$${\displaystyle \Delta p_{\text{y}}=F_{\text{y}}t={\frac {bkq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{R^{3}}}\cdot {\frac {L}{v}}}$$

El ángulo de deflexión${\displaystyle \theta _{2}}$es dado por

$${\displaystyle \tan \theta _{2}={\frac {\Delta p_{\text{y}}}{p_{\text{x}}}}={\frac {bkq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{R^{3}}}\cdot {\frac {L}{v}}\cdot {\frac {1}{mv}}}$$

donde p _x es el momento horizontal promedio, que primero se reduce y luego se restaura a medida que la fuerza horizontal cambia de dirección cuando la partícula alfa atraviesa la esfera. Dado que la desviación es muy pequeña,${\displaystyle \tan \theta _{2}}$puede ser tratado como igual a${\displaystyle \theta _{2}}$La longitud de la cuerda${\displaystyle L=2{\sqrt {R^{2}-b^{2}}}}$, según el teorema de Pitágoras .

El ángulo de deflexión promedio${\displaystyle {\bar {\theta }}_{2}}$suma el ángulo para los valores de b y L en toda la esfera y lo divide por la sección transversal de la esfera:

$${\displaystyle {\bar {\theta }}_{2}={\frac {1}{\pi R^{2}}}\int _{0}^{R}{\frac {bkq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{R^{3}}}\cdot {\frac {2{\sqrt {R^{2}-b^{2}}}}{v}}\cdot {\frac {1}{mv}}\cdot 2\pi b\cdot \mathrm {d} b}$$

$${\displaystyle ={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{mv^{2}R}}}$$

Esto coincide con la fórmula de Thomson en su artículo de 1910.

Consideremos una partícula alfa que atraviesa un átomo de radio R siguiendo una trayectoria de longitud L. Se ignora el efecto de la esfera positiva para aislar el efecto de los electrones atómicos. Al igual que con la esfera positiva, se espera que la desviación causada por los electrones sea muy pequeña, hasta el punto de que la trayectoria sea prácticamente una línea recta.

Para los electrones que se encuentran a una distancia arbitraria s de la trayectoria de la partícula alfa, su distancia media será 1/2 s . Por lo tanto, la desviación promedio por electrón será

$${\displaystyle 2\arctan {\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{e}}}{mv^{2}{\tfrac {1}{2}}s}}\approx {\frac {4kq_{\text{a}}q_{\text{e}}}{mv^{2}s}}}$$

donde q _e es la carga elemental . La desviación neta promedio de todos los electrones dentro de este cilindro de efecto arbitrario alrededor de la trayectoria de la partícula alfa es

$${\displaystyle \theta _{1}={\frac {4kq_{\text{a}}q_{\text{e}}}{mv^{2}s}}{\sqrt {N_{0}\pi s^{2}L}}}$$

donde N ₀ es el número de electrones por unidad de volumen y${\displaystyle \pi s^{2}L}$es el volumen de este cilindro.

Tratando a L como una línea recta, ${\displaystyle L=2{\sqrt {R^{2}-b^{2}}}}$donde b es la distancia de esta línea al centro. La media de${\displaystyle {\sqrt {L}}}$es por lo tanto

$${\displaystyle {\frac {1}{\pi R^{2}}}\int _{0}^{R}{\sqrt {2{\sqrt {R^{2}-b^{2}}}}}\cdot 2\pi b\cdot \mathrm {d} b={\frac {4}{5}}{\sqrt {2R}}}$$

Para obtener la desviación media${\displaystyle {\bar {\theta }}_{1}}$, reemplazar${\displaystyle {\sqrt {L}}}$en la ecuación para${\displaystyle \theta _{1}}$:

$${\displaystyle {\bar {\theta }}_{1}={\frac {4kq_{\text{a}}q_{\text{e}}}{mv^{2}s}}{\sqrt {N_{0}\pi s^{2}}}\cdot {\frac {4}{5}}{\sqrt {2R}}}$$

$${\displaystyle ={\frac {16}{5}}\cdot {\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{e}}}{mv^{2}R}}{\sqrt {\frac {3N}{2}}}}$$

donde N es el número de electrones en el átomo, igual a${\displaystyle N_{0}{\tfrac {4}{3}}\pi R^{3}}$.

La desviación parcial promedio causada por los electrones atómicos en una partícula beta incidente es

$${\displaystyle {\bar {\theta }}_{1}={\frac {16}{5}}\cdot {\frac {kq_{\text{e}}q_{\text{e}}}{mv^{2}R}}{\sqrt {\frac {3N}{2}}}}$$

y la desviación parcial promedio causada por la esfera positiva es

$${\displaystyle {\bar {\theta }}_{2}={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {kq_{\text{e}}q_{\text{g}}}{mv^{2}R}}}$$

donde q _e es la carga elemental, q _g es la carga positiva del átomo, m y v son la masa y la velocidad de la partícula incidente, N es el número de electrones en el átomo y R es el radio del átomo.

La deflexión neta viene dada por

$${\displaystyle {\bar {\theta }}={\sqrt {{\bar {\theta }}_{1}^{2}+{\bar {\theta }}_{2}^{2}}}}$$

Aplicando las ecuaciones de Thomson descritas anteriormente a una partícula alfa que colisiona con un átomo de oro, utilizando los siguientes valores:

• q _g = carga positiva del átomo de oro =79 q _e  =1,26 × 10 ⁻¹⁷  C
• q _a = carga de la partícula alfa =2 q _e  =3,20 × 10 ⁻¹⁹  C
• q _e = carga elemental =1,602 × 10 ⁻¹⁹  C
• R = radio del átomo de oro =1,44 × 10 ⁻¹⁰  m
• v = velocidad de la partícula alfa =1,53 × 10⁷ ^m  /s
• m = masa de la partícula alfa =6,64 × 10 ⁻²⁷  kg
• k = constante de Coulomb =8,987 × 10⁹ ^N  · ^m² / ^C²
• N = número de electrones en el átomo de oro = 79

proporciona el ángulo parcial promedio por el cual la partícula alfa debería ser desviada por los electrones atómicos como:

$${\displaystyle {\bar {\theta }}_{1}={\frac {16}{5}}\cdot {\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{e}}}{mv^{2}R}}{\sqrt {\frac {3N}{2}}}\approx 0.00007{\text{ radians or }}0.004{\text{ degrees}}}$$

y la desviación parcial promedio causada por la esfera positiva es:

$${\displaystyle {\bar {\theta }}_{2}={\frac {\pi }{4}}\cdot {\frac {kq_{\text{a}}q_{\text{g}}}{mv^{2}R}}\approx 0.00013{\text{ radians or 0.007 degrees}}}$$

La desviación neta para una sola colisión atómica es:

$${\displaystyle {\bar {\theta }}={\sqrt {{\bar {\theta }}_{1}^{2}+{\bar {\theta }}_{2}^{2}}}\approx 0.008{\text{ degrees}}}$$

En promedio, tanto la esfera positiva como los electrones proporcionan muy poca desviación en una sola colisión. El modelo de Thomson combinó muchos eventos de dispersión simple de los electrones del átomo y una esfera positiva. Cada colisión puede aumentar o disminuir el ángulo de dispersión total. Solo muy raramente una serie de colisiones se alinearían todas en la misma dirección. El resultado es similar al problema estadístico estándar llamado paseo aleatorio . Si el ángulo de desviación promedio de la partícula alfa en una sola colisión con un átomo es${\displaystyle {\bar {\theta }}}$, entonces la desviación promedio después de n colisiones es

$${\displaystyle {\bar {\theta }}_{n}={\bar {\theta }}{\sqrt {n}}}$$

La probabilidad de que una partícula alfa se desvíe un total de más de 90° después de n desviaciones viene dada por:

$${\displaystyle e^{-(90/{\bar {\theta }}_{n})^{2}}}$$

donde e es el número de Euler (≈2,71828...). Una lámina de oro con un espesor de 1,5 micrómetros tendría aproximadamente 10 000 átomos de espesor. Si la desviación promedio por átomo es de 0,008°, la desviación promedio después de 10 000 colisiones sería de 0,8°. La probabilidad de que una partícula alfa se desvíe más de 90° será ^{[ 35 ] : 109}

$${\displaystyle e^{-(90/0.8)^{2}}\approx e^{-12656}\approx 10^{-5946}}$$

Si bien en el modelo del pudín de pasas de Thomson es matemáticamente posible que una partícula alfa se desvíe más de 90° después de 10 000 colisiones, la probabilidad de tal evento es tan baja que resulta indetectable. Geiger y Marsden no deberían haber detectado ninguna partícula alfa que regresara en el experimento que realizaron en 1909 , y sin embargo lo hicieron.

An isolated point charge creates an electric field that extends to infinity, scattering particles no matter how distant. Consequently mathematical analysis of pure Coulomb scattering has challenges. For examples, the forward scattering amplitude is infinite and the asymptotic radial wavefunction never approaches the free particle wavefunction. These mathematical issues can be solved by applying parabolic coordinates leading to solutions in terms of confluent hypergeometric functions.^[36]:138 The broadly applied workaround for the divergence of the Born perturbation series is to apply a convergence or screening factor.^[38] Experimentally scattering from bare charges is anyway very difficult because there are always neutralizing charges around.^[37]:216

The screened Coulomb potential, $${\displaystyle V(r)=-{\frac {Ze^{2}}{r}}e^{-r/a},}$$ can be use as a convergence tool or as a model scattering of a charged particle, like an electron at radius r, from a neutral atom at the origin. Here the electron charge is e and atomic number is Z. The constant a is comparable to the atomic radius. Near the nucleus, with charge Ze, the value of r will be much smaller than the atomic radius, ${\displaystyle r\ll a}$, haciendo que el término exponencial sea cercano a 1.0. En esa región, este potencial apantallado coincide con un potencial de Coulomb; para${\displaystyle r\gg a}$El potencial tiende a cero evitando la divergencia. ^{[ 36 ] : 325}

El uso del potencial apantallado con simetría esférica en la aproximación de Born da como resultado una integral conocida como la transformada de Laplace de${\displaystyle \sin(qr)}$: ^{[ 38 ]}$${\displaystyle f(\theta )=-{\frac {2\mu }{\hbar ^{2}q}}\int _{0}^{\infty }r\sin(qr)e^{-r/a}dr}$$$${\displaystyle f(\theta )={\frac {2\mu Ze^{2}}{\hbar ^{2}(q^{2}+a^{-2})}},\ q=2k\sin(\theta /2)}$$ Siempre que la transferencia de momento medida por q sea grande en comparación con${\displaystyle 1/a}$, equivalente a una partícula clásica que pasa cerca del potencial, la sección transversal coincidirá con el resultado de Rutherford: ^{[ 37 ] : 216}$${\displaystyle |f(\theta )|^{2}\propto {\frac {1}{\sin ^{4}(\theta /2)}}.}$$ La aproximación fallará para electrones lentos que se dispersan al chocar con átomos y no es precisa para energías de colisión relativistas. ^{[ 36 ] : 326}

Cuando ambas partículas son núcleos, la dispersión de Coulomb se denomina dispersión de Rutherford en honor al papel de Ernest Rutherford en el desarrollo y la aplicación del concepto. ^{[ 9 ] : 81}

En física nuclear, cuando una de las partículas es un electrón de alta energía, la dispersión de Coulomb se denomina dispersión de Mott . Debido a que el electrón no tiene componentes internos, resulta especialmente útil para colisiones de alta energía diseñadas para sondear el interior de los núcleos. Sin embargo, el modelo de Rutherford para la dispersión ya no es válido en estos casos: también deben considerarse el espín del electrón, los efectos relativistas y la estructura interna del núcleo objetivo. ^{[ 9 ] : 112}

La dispersión de Coulomb que involucra electrones con energías en el rango de 1 keV a 1 MeV produce diversos efectos dependiendo de la energía y la coherencia del haz de electrones, las características del sólido y la geometría de dispersión. (A estas energías, la dispersión debida a la disposición interna del núcleo es despreciable y puede tratarse como una carga puntual). Esto se denomina difracción de electrones , y los resultados están determinados principalmente por la disposición de los átomos dispersores en el sólido, además de, a las energías más bajas, por la estructura electrónica del sólido, y requieren considerar la dispersión múltiple . ^{[ 28 ] [ 29 ]}

La dispersión de Coulomb electrón-electrón de muy alta energía (en el rango de energía de TeV) se denomina dispersión de Møller ; la dispersión electrón-positrón se denomina dispersión de Bhabha . Estas se utilizan en experimentos que ponen a prueba la electrodinámica cuántica .

Cualquier tipo de dispersión elástica de Coulomb en un material denso puede dar lugar a múltiples eventos de dispersión. Para partículas de alta energía, una serie de eventos de dispersión de Coulomb incoherentes hacia adelante se denomina dispersión de Molière, en honor a Gert Molière, quien realizó el trabajo inicial en la década de 1940. ^{[ 9 ] : 129} En la década de 1950 se desarrolló una teoría detallada para esta dispersión de ángulo pequeño, también con una importante contribución de Molière. El tratamiento supone que cada evento es estadísticamente independiente o cuánticamente incoherente. ^{[ 39 ]} (Con fuentes coherentes, es necesario incluir la interferencia de ondas de materia y los efectos de difracción . ^{[ 28 ]} )