Hipérbola

Una hipérbola se puede definir geométricamente como un conjunto de puntos ( lugar geométrico de puntos ) en el plano euclidiano:

Una hipérbola es un conjunto de puntos, tal que para cualquier punto${\displaystyle P}$del conjunto, la diferencia absoluta de las distancias${\displaystyle |PF_{1}|,\,|PF_{2}|}$a dos puntos fijos${\displaystyle F_{1},F_{2}}$(los focos ) es constante, generalmente denotado por${\displaystyle 2a,\,a>0}$: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle H=\left\{P:\left|\left|PF_{2}\right|-\left|PF_{1}\right|\right|=2a\right\}.}$$

El punto medio${\displaystyle M}$del segmento de línea que une los focos se llama centro de la hipérbola. ^{[ 7 ]} La línea que pasa por los focos se llama eje mayor . Contiene los vértices.${\displaystyle V_{1},V_{2}}$, que tienen distancia${\displaystyle a}$al centro. La distancia${\displaystyle c}$La distancia de los focos al centro se llama distancia focal o excentricidad lineal . El cociente${\displaystyle {\tfrac {c}{a}}}$es la excentricidad${\displaystyle e}$.

La ecuación${\displaystyle \left|\left|PF_{2}\right|-\left|PF_{1}\right|\right|=2a}$puede verse de otra manera (ver diagrama): Si${\displaystyle c_{2}}$es el círculo con punto medio${\displaystyle F_{2}}$y radio${\displaystyle 2a}$, entonces la distancia de un punto${\displaystyle P}$de la rama derecha al círculo${\displaystyle c_{2}}$es igual a la distancia al foco${\displaystyle F_{1}}$: $${\displaystyle |PF_{1}|=|Pc_{2}|.}$$${\displaystyle c_{2}}$se denomina directriz circular (relacionada con el foco)${\displaystyle F_{2}}$) de la hipérbola. ^{[ 8 ] [ 9 ]} Para obtener la rama izquierda de la hipérbola, hay que usar la directriz circular relacionada con${\displaystyle F_{1}}$Esta propiedad no debe confundirse con la definición de una hipérbola con ayuda de una directriz (línea) que se muestra a continuación.

Si el sistema de coordenadas xy se rota alrededor del origen por el ángulo${\displaystyle +45^{\circ }}$y nuevas coordenadas${\displaystyle \xi ,\eta }$se asignan, luego${\displaystyle x={\tfrac {\xi +\eta }{\sqrt {2}}},\;y={\tfrac {-\xi +\eta }{\sqrt {2}}}}$La hipérbola rectangular${\displaystyle {\tfrac {x^{2}-y^{2}}{a^{2}}}=1}$(cuyos semiejes son iguales) tiene la nueva ecuación${\displaystyle {\tfrac {2\xi \eta }{a^{2}}}=1}$. Resolviendo para${\displaystyle \eta }$rendimientos${\displaystyle \eta ={\tfrac {a^{2}/2}{\xi }}\ .}$

Así, en un sistema de coordenadas xy, la gráfica de una función${\displaystyle f:x\mapsto {\tfrac {A}{x}},\;A>0\;,}$con ecuación $${\displaystyle y={\frac {A}{x}}\;,A>0\;,}$$es una hipérbola rectangular completamente en el primer y tercer cuadrante con

• los ejes de coordenadas como asíntotas ,
• la línea${\displaystyle y=x}$como eje principal ,
• el centro${\displaystyle (0,0)}$y el semieje${\displaystyle a=b={\sqrt {2A}}\;,}$
• los vértices${\displaystyle \left({\sqrt {A}},{\sqrt {A}}\right),\left(-{\sqrt {A}},-{\sqrt {A}}\right)\;,}$
• el semi-lato recto y el radio de curvatura en los vértices${\displaystyle p=a={\sqrt {2A}}\;,}$
• la excentricidad lineal${\displaystyle c=2{\sqrt {A}}}$y la excentricidad${\displaystyle e={\sqrt {2}}\;,}$
• la tangente${\displaystyle y=-{\tfrac {A}{x_{0}^{2}}}x+2{\tfrac {A}{x_{0}}}}$en el punto${\displaystyle (x_{0},A/x_{0})\;.}$

Una rotación de la hipérbola original por${\displaystyle -45^{\circ }}$da como resultado una hipérbola rectangular completamente en el segundo y cuarto cuadrantes, con las mismas asíntotas, centro, semilado recto, radio de curvatura en los vértices, excentricidad lineal y excentricidad que para el caso de${\displaystyle +45^{\circ }}$rotación, con ecuación $${\displaystyle y=-{\frac {A}{x}}\;,~~A>0\;,}$$

• los semiejes${\displaystyle a=b={\sqrt {2A}}\;,}$
• la línea${\displaystyle y=-x}$como eje principal,
• los vértices${\displaystyle \left(-{\sqrt {A}},{\sqrt {A}}\right),\left({\sqrt {A}},-{\sqrt {A}}\right)\;.}$

Desplazamiento de la hipérbola con ecuación${\displaystyle y={\frac {A}{x}},\ A\neq 0\ ,}$para que el nuevo centro sea${\displaystyle (c_{0},d_{0})}$, produce la nueva ecuación $${\displaystyle y={\frac {A}{x-c_{0}}}+d_{0}\;,}$$ y las nuevas asíntotas son${\displaystyle x=c_{0}}$y${\displaystyle y=d_{0}}$Los parámetros de forma${\displaystyle a,b,p,c,e}$permanecen sin cambios.

Las dos líneas a distancia${\textstyle d={\frac {a^{2}}{c}}}$Las líneas que parten del centro y son paralelas al eje menor se denominan directrices de la hipérbola (véase el diagrama).

Para un punto arbitrario${\displaystyle P}$En la hipérbola, el cociente entre la distancia a un foco y a la directriz correspondiente (véase el diagrama) es igual a la excentricidad: $${\displaystyle {\frac {|PF_{1}|}{|Pl_{1}|}}={\frac {|PF_{2}|}{|Pl_{2}|}}=e={\frac {c}{a}}\,.}$$ La prueba para el par${\displaystyle F_{1},l_{1}}$Se deduce del hecho de que${\displaystyle |PF_{1}|^{2}=(x-c)^{2}+y^{2},\ |Pl_{1}|^{2}=\left(x-{\tfrac {a^{2}}{c}}\right)^{2}}$y${\displaystyle y^{2}={\tfrac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}-b^{2}}$satisfacer la ecuación $${\displaystyle |PF_{1}|^{2}-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}|Pl_{1}|^{2}=0\ .}$$ El segundo caso se demuestra de forma análoga.

La afirmación inversa también es cierta y puede utilizarse para definir una hipérbola (de manera similar a la definición de una parábola):

Por cualquier punto${\displaystyle F}$(enfoque), cualquier línea${\displaystyle l}$(directora) no a través de${\displaystyle F}$y cualquier número real${\displaystyle e}$con${\displaystyle e>1}$el conjunto de puntos (lugar geométrico de los puntos), para el cual el cociente de las distancias al punto y a la línea es${\displaystyle e}$$${\displaystyle H=\left\{P\,{\Biggr |}\,{\frac {|PF|}{|Pl|}}=e\right\}}$$ es una hipérbola.

(La elección${\displaystyle e=1}$produce una parábola y si${\displaystyle e<1}$una elipse .)

Prueba

Dejar${\displaystyle F=(f,0),\ e>0}$y asumir${\displaystyle (0,0)}$es un punto en la curva. La directriz${\displaystyle l}$tiene ecuación${\displaystyle x=-{\tfrac {f}{e}}}$. Con${\displaystyle P=(x,y)}$, la relación${\displaystyle |PF|^{2}=e^{2}|Pl|^{2}}$produce las ecuaciones

${\displaystyle (x-f)^{2}+y^{2}=e^{2}\left(x+{\tfrac {f}{e}}\right)^{2}=(ex+f)^{2}}$y${\displaystyle x^{2}(e^{2}-1)+2xf(1+e)-y^{2}=0.}$

La sustitución${\displaystyle p=f(1+e)}$rendimientos $${\displaystyle x^{2}(e^{2}-1)+2px-y^{2}=0.}$$ Esta es la ecuación de una elipse (${\displaystyle e<1}$) o una parábola (${\displaystyle e=1}$) o una hipérbola (${\displaystyle e>1}$). Todas estas cónicas no degeneradas tienen en común el origen como vértice (véase el diagrama).

Si${\displaystyle e>1}$, introducir nuevos parámetros${\displaystyle a,b}$de modo que${\displaystyle e^{2}-1={\tfrac {b^{2}}{a^{2}}},{\text{ and }}\ p={\tfrac {b^{2}}{a}}}$y entonces la ecuación anterior se convierte en $${\displaystyle {\frac {(x+a)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,,}$$ que es la ecuación de una hipérbola con centro${\displaystyle (-a,0)}$, el eje x como eje mayor y el semieje mayor/menor${\displaystyle a,b}$.

La intersección de un cono doble vertical con un plano que no pasa por el vértice y cuya pendiente es mayor que la de las líneas del cono es una hipérbola (véase el diagrama: curva roja). Para demostrar la propiedad que define a una hipérbola (véase más arriba), se utilizan dos esferas de Dandelin.${\displaystyle d_{1},d_{2}}$, que son esferas que tocan el cono a lo largo de círculos${\displaystyle c_{1}}$,${\displaystyle c_{2}}$y el plano de intersección (hipérbola) en los puntos${\displaystyle F_{1}}$y${\displaystyle F_{2}}$Resulta que :${\displaystyle F_{1},F_{2}}$son los focos de la hipérbola.

1. Dejar${\displaystyle P}$sea ​​un punto arbitrario de la curva de intersección.
2. La generatriz del cono que contiene${\displaystyle P}$interseca el círculo${\displaystyle c_{1}}$en el punto${\displaystyle A}$y círculo${\displaystyle c_{2}}$en un punto${\displaystyle B}$.
3. Los segmentos de línea${\displaystyle {\overline {PF_{1}}}}$y${\displaystyle {\overline {PA}}}$son tangentes a la esfera${\displaystyle d_{1}}$y, por lo tanto, tienen la misma longitud.
4. Los segmentos de línea${\displaystyle {\overline {PF_{2}}}}$y${\displaystyle {\overline {PB}}}$son tangentes a la esfera${\displaystyle d_{2}}$y, por lo tanto, tienen la misma longitud.
5. El resultado es:${\displaystyle |PF_{1}|-|PF_{2}|=|PA|-|PB|=|AB|}$es independiente del punto de la hipérbola${\displaystyle P}$porque no importa a dónde apunta${\displaystyle P}$es,${\displaystyle A,B}$tienen que estar en círculos${\displaystyle c_{1}}$,${\displaystyle c_{2}}$y segmento de línea${\displaystyle AB}$tiene que cruzar el vértice. Por lo tanto, como punto${\displaystyle P}$se mueve a lo largo de la curva roja (hipérbola), segmento de línea${\displaystyle {\overline {AB}}}$Simplemente gira sobre su vértice sin cambiar su longitud.

La definición de una hipérbola por sus focos y sus directrices circulares (véase más arriba) se puede utilizar para dibujar un arco de la misma con la ayuda de alfileres, una cuerda y una regla: ^{[ 10 ]}

0. Elige los focos${\displaystyle F_{1},F_{2}}$y una de las directrices circulares , por ejemplo${\displaystyle c_{2}}$(círculo con radio${\displaystyle 2a}$)
1. Una regla está fija en el punto${\displaystyle F_{2}}$libre para girar alrededor${\displaystyle F_{2}}$. Punto${\displaystyle B}$está marcado a distancia${\displaystyle 2a}$.
2. Una cuerda tiene uno de sus extremos fijado en un punto${\displaystyle A}$en la regla y su longitud se hace${\displaystyle |AB|}$.
3. El extremo libre de la cuerda está fijado al punto${\displaystyle F_{1}}$.
4. Toma un bolígrafo y sujeta la cuerda firmemente contra el borde de la regla.
5. Girando la regla alrededor${\displaystyle F_{2}}$provoca que el bolígrafo dibuje un arco de la rama derecha de la hipérbola, debido a${\displaystyle |PF_{1}|=|PB|}$(véase la definición de hipérbola por directrices circulares ).

El siguiente método para construir puntos individuales de una hipérbola se basa en la generación de Steiner de una sección cónica no degenerada :

Dados dos lápices${\displaystyle B(U),B(V)}$de líneas en dos puntos${\displaystyle U,V}$(todas las líneas que contienen${\displaystyle U}$y${\displaystyle V}$, respectivamente) y un mapeo proyectivo pero no de perspectiva${\displaystyle \pi }$de${\displaystyle B(U)}$sobre${\displaystyle B(V)}$, entonces los puntos de intersección de las líneas correspondientes forman una sección cónica proyectiva no degenerada.

Para la generación de puntos de la hipérbola${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$Se utilizan los lápices en los vértices.${\displaystyle V_{1},V_{2}}$. Dejar${\displaystyle P=(x_{0},y_{0})}$ser un punto de la hipérbola y${\displaystyle A=(a,y_{0}),B=(x_{0},0)}$. El segmento de línea${\displaystyle {\overline {BP}}}$se divide en n segmentos igualmente espaciados y esta división se proyecta paralelamente a la diagonal.${\displaystyle AB}$como dirección en el segmento de línea${\displaystyle {\overline {AP}}}$(ver diagrama). La proyección paralela forma parte del mapeo proyectivo entre los lápices en${\displaystyle V_{1}}$y${\displaystyle V_{2}}$necesario. Los puntos de intersección de cualesquiera dos líneas relacionadas${\displaystyle S_{1}A_{i}}$y${\displaystyle S_{2}B_{i}}$son puntos de la hipérbola definida de forma única.

Observaciones:

• La subdivisión podría extenderse más allá de los puntos${\displaystyle A}$y${\displaystyle B}$Para obtener más puntos, pero la determinación de los puntos de intersección se volvería menos precisa. Una mejor idea es extender los puntos ya construidos por simetría (ver animación).
• La generación de Steiner también existe para elipsis y parábolas.
• La generación de Steiner a veces se denomina método del paralelogramo porque permite utilizar otros puntos en lugar de los vértices, partiendo de un paralelogramo en vez de un rectángulo.

Una hipérbola con ecuación${\displaystyle y={\tfrac {a}{x-b}}+c,\ a\neq 0}$está determinado de forma única por tres puntos${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\;(x_{2},y_{2}),\;(x_{3},y_{3})}$con diferentes coordenadas x e y . Una forma sencilla de determinar los parámetros de forma.${\displaystyle a,b,c}$Utiliza el teorema del ángulo inscrito para hipérbolas:

Para medir un ángulo entre dos líneas con ecuaciones${\displaystyle y=m_{1}x+d_{1},\ y=m_{2}x+d_{2}\ ,m_{1},m_{2}\neq 0}$en este contexto se utiliza el cociente $${\displaystyle {\frac {m_{1}}{m_{2}}}\ .}$$

Análogamente al teorema del ángulo inscrito para círculos se obtiene el

Una consecuencia del teorema del ángulo inscrito para hipérbolas es la

Otra definición de hipérbola utiliza transformaciones afines :

Cualquier hipérbola es la imagen afín de la hipérbola unitaria con ecuación${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$.

Porque la unidad hipérbola${\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}$es afínmente equivalente a la hipérbola${\displaystyle y=1/x}$, una hipérbola arbitraria puede considerarse como la imagen afín (véase la sección anterior) de la hipérbola${\displaystyle y=1/x\,}$:

$${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}},\quad t\neq 0\,.}$$

${\displaystyle M:{\vec {f}}_{0}}$es el centro de la hipérbola, los vectores${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$tienen las direcciones de las asíntotas y${\displaystyle {\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2}}$es un punto de la hipérbola. El vector tangente es $${\displaystyle {\vec {p}}'(t)={\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t^{2}}}.}$$ En un vértice, la tangente es perpendicular al eje mayor. Por lo tanto, $${\displaystyle {\vec {p}}'(t)\cdot \left({\vec {p}}(t)-{\vec {f}}_{0}\right)=\left({\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t^{2}}}\right)\cdot \left({\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}\right)={\vec {f}}_{1}^{2}t-{\vec {f}}_{2}^{2}{\tfrac {1}{t^{3}}}=0}$$ y el parámetro de un vértice es

$${\displaystyle t_{0}=\pm {\sqrt[{4}]{\frac {{\vec {f}}_{2}^{2}}{{\vec {f}}_{1}^{2}}}}.}$$

${\displaystyle \left|{\vec {f}}\!_{1}\right|=\left|{\vec {f}}\!_{2}\right|}$es equivalente a${\displaystyle t_{0}=\pm 1}$y${\displaystyle {\vec {f}}_{0}\pm ({\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2})}$son los vértices de la hipérbola.

Las siguientes propiedades de una hipérbola se demuestran fácilmente utilizando la representación de una hipérbola introducida en esta sección.

Construcción tangente

El vector tangente se puede reescribir mediante factorización: $${\displaystyle {\vec {p}}'(t)={\tfrac {1}{t}}\left({\vec {f}}_{1}t-{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}\right)\ .}$$ Esto significa que

la diagonal${\displaystyle AB}$del paralelogramo${\displaystyle M:\ {\vec {f}}_{0},\ A={\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t,\ B:\ {\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}},\ P:\ {\vec {f}}_{0}+{\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}}$es paralela a la tangente en el punto de la hipérbola${\displaystyle P}$(Ver diagrama).

Esta propiedad proporciona una forma de construir la tangente en un punto de la hipérbola.

Esta propiedad de una hipérbola es una versión afín de la degeneración de 3 puntos del teorema de Pascal . ^{[ 13 ]}

Área del paralelogramo gris

El área del paralelogramo gris${\displaystyle MAPB}$en el diagrama anterior es $${\displaystyle {\text{Area}}=\left|\det \left(t{\vec {f}}_{1},{\tfrac {1}{t}}{\vec {f}}_{2}\right)\right|=\left|\det \left({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}\right)\right|=\cdots ={\frac {ab}{2}}}$$ y por lo tanto independiente del punto${\displaystyle P}$. La última ecuación se deduce de un cálculo para el caso, donde${\displaystyle P}$es un vértice y la hipérbola en su forma canónica${\displaystyle {\tfrac {x^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {y^{2}}{b^{2}}}=1\,.}$

Construcción de puntos

Para una hipérbola con representación paramétrica${\displaystyle {\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\vec {f}}_{1}t+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t}}}$(Para simplificar, el centro es el origen) lo siguiente es cierto:

Para cualesquiera dos puntos${\displaystyle P_{1}:\ {\vec {f}}_{1}t_{1}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{1}}},\ P_{2}:\ {\vec {f}}_{1}t_{2}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{2}}}}$los puntos

$${\displaystyle A:\ {\vec {a}}={\vec {f}}_{1}t_{1}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{2}}},\ B:\ {\vec {b}}={\vec {f}}_{1}t_{2}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{1}}}}$$

son colineales con el centro de la hipérbola (ver diagrama).

La demostración simple es una consecuencia de la ecuación.${\displaystyle {\tfrac {1}{t_{1}}}{\vec {a}}={\tfrac {1}{t_{2}}}{\vec {b}}}$.

Esta propiedad ofrece la posibilidad de construir puntos de una hipérbola si se conocen las asíntotas y un punto.

Esta propiedad de una hipérbola es una versión afín de la degeneración de 4 puntos del teorema de Pascal . ^{[ 14 ]}

Triángulo tangente-asíntotas

Para simplificar, el centro de la hipérbola puede ser el origen y los vectores${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$tienen la misma longitud. Si no se cumple la última suposición, primero se puede aplicar una transformación de parámetros (véase más arriba) para que la suposición sea verdadera. Por lo tanto,${\displaystyle \pm ({\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2})}$son los vértices,${\displaystyle \pm ({\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2})}$abarcar el eje menor y uno obtiene${\displaystyle |{\vec {f}}_{1}+{\vec {f}}_{2}|=a}$y${\displaystyle |{\vec {f}}_{1}-{\vec {f}}_{2}|=b}$.

Para los puntos de intersección de la tangente en el punto${\displaystyle {\vec {p}}(t_{0})={\vec {f}}_{1}t_{0}+{\vec {f}}_{2}{\tfrac {1}{t_{0}}}}$con las asíntotas se obtienen los puntos $${\displaystyle C=2t_{0}{\vec {f}}_{1},\ D={\tfrac {2}{t_{0}}}{\vec {f}}_{2}.}$$ El área del triángulo${\displaystyle M,C,D}$se puede calcular mediante un determinante de 2 × 2: $${\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}{\Big |}\det \left(2t_{0}{\vec {f}}_{1},{\tfrac {2}{t_{0}}}{\vec {f}}_{2}\right){\Big |}=2{\Big |}\det \left({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}\right){\Big |}}$$ (véanse las reglas para los determinantes ). ${\displaystyle \left|\det({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})\right|}$es el área del rombo generado por${\displaystyle {\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}}$El área de un rombo es igual a la mitad del producto de sus diagonales. Las diagonales son los semiejes.${\displaystyle a,b}$de la hipérbola. Por lo tanto:

El área del triángulo${\displaystyle MCD}$es independiente del punto de la hipérbola:${\displaystyle A=ab.}$

La reciprocidad de un círculo B en un círculo C siempre produce una sección cónica, como una hipérbola. El proceso de "reciprocidad en un círculo C " consiste en reemplazar cada línea y punto de una figura geométrica con su polo y polar correspondientes , respectivamente. El polo de una línea es el inverso de su punto más cercano al círculo C , mientras que el polar de un punto es lo contrario, es decir, una línea cuyo punto más cercano a C es el inverso de dicho punto.

La excentricidad de la sección cónica obtenida por reciprocación es la razón entre las distancias entre los centros de los dos círculos y el radio r del círculo de reciprocación C. Si B y C representan los puntos en los centros de los círculos correspondientes, entonces

$${\displaystyle e={\frac {\overline {BC}}{r}}.}$$

Dado que la excentricidad de una hipérbola siempre es mayor que uno, el centro B debe estar fuera del círculo recíproco C.

Esta definición implica que la hipérbola es tanto el lugar geométrico de los polos de las rectas tangentes a la circunferencia B como la envolvente de las rectas polares de los puntos en B. A la inversa, la circunferencia B es la envolvente de las polares de los puntos en la hipérbola y el lugar geométrico de los polos de las rectas tangentes a la hipérbola. Dos rectas tangentes a B no tienen polos (finitos) porque pasan por el centro C de la circunferencia de reciprocidad C ; las polares de los puntos de tangencia correspondientes en B son las asíntotas de la hipérbola. Las dos ramas de la hipérbola corresponden a las dos partes de la circunferencia B separadas por estos puntos de tangencia.

Una hipérbola también puede definirse como una ecuación de segundo grado en coordenadas cartesianas.${\displaystyle (x,y)}$en el avión ,

$${\displaystyle A_{xx}x^{2}+2A_{xy}xy+A_{yy}y^{2}+2B_{x}x+2B_{y}y+C=0,}$$

siempre que las constantes${\displaystyle A_{xx},}$${\displaystyle A_{xy},}$${\displaystyle A_{yy},}$${\displaystyle B_{x},}$${\displaystyle B_{y},}$y${\displaystyle C}$satisfacer la condición determinante

$${\displaystyle D:={\begin{vmatrix}A_{xx}&A_{xy}\\A_{xy}&A_{yy}\end{vmatrix}}<0.}$$

Este determinante se denomina convencionalmente discriminante de la sección cónica. ^{[ 15 ]}

Un caso especial de hipérbola —la hipérbola degenerada que consta de dos líneas que se intersecan— se produce cuando otro determinante es cero:

$${\displaystyle \Delta$$ :={\begin{vmatrix}A_{xx}&A_{xy}&B_{x}\\A_{xy}&A_{yy}&B_{y}\\B_{x}&B_{y}&C\end{vmatrix}}=0.}

Este determinante${\displaystyle \Delta }$A veces se le llama discriminante de la sección cónica. ^{[ 16 ]}

Los coeficientes de la ecuación general se pueden obtener a partir del semieje mayor conocido.${\displaystyle a,}$semieje menor${\displaystyle b,}$coordenadas del centro${\displaystyle (x_{\circ },y_{\circ })}$y ángulo de rotación${\displaystyle \theta }$(el ángulo desde el eje horizontal positivo hasta el eje mayor de la hipérbola) utilizando las fórmulas:

$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{xx}&=-a^{2}\sin ^{2}\theta +b^{2}\cos ^{2}\theta ,&B_{x}&=-A_{xx}x_{\circ }-A_{xy}y_{\circ },\\[1ex]A_{yy}&=-a^{2}\cos ^{2}\theta +b^{2}\sin ^{2}\theta ,&B_{y}&=-A_{xy}x_{\circ }-A_{yy}y_{\circ },\\[1ex]A_{xy}&=\left(a^{2}+b^{2}\right)\sin \theta \cos \theta ,&C&=A_{xx}x_{\circ }^{2}+2A_{xy}x_{\circ }y_{\circ }+A_{yy}y_{\circ }^{2}-a^{2}b^{2}.\end{aligned}}}$$

Estas expresiones se pueden derivar de la ecuación canónica.

$${\displaystyle {\frac {X^{2}}{a^{2}}}-{\frac {Y^{2}}{b^{2}}}=1}$$

mediante una traslación y rotación de las coordenadas${\displaystyle (x,y)}$:

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}X&={\phantom {+}}\left(x-x_{\circ }\right)\cos \theta &&+\left(y-y_{\circ }\right)\sin \theta ,\\Y&=-\left(x-x_{\circ }\right)\sin \theta &&+\left(y-y_{\circ }\right)\cos \theta .\end{alignedat}}}$$

Dada la parametrización general anterior de la hipérbola en coordenadas cartesianas, la excentricidad se puede encontrar utilizando la fórmula en la sección Cónica#Excentricidad en términos de coeficientes .

El centro${\displaystyle (x_{c},y_{c})}$La hipérbola se puede determinar a partir de las fórmulas

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{c}&=-{\frac {1}{D}}\,{\begin{vmatrix}B_{x}&A_{xy}\\B_{y}&A_{yy}\end{vmatrix}}\,,\\[1ex]y_{c}&=-{\frac {1}{D}}\,{\begin{vmatrix}A_{xx}&B_{x}\\A_{xy}&B_{y}\end{vmatrix}}\,.\end{aligned}}}$$

En términos de nuevas coordenadas,${\displaystyle \xi =x-x_{c}}$y${\displaystyle \eta =y-y_{c},}$La ecuación que define la hipérbola se puede escribir

$${\displaystyle A_{xx}\xi ^{2}+2A_{xy}\xi \eta +A_{yy}\eta ^{2}+{\frac {\Delta }{D}}=0.}$$

Los ejes principales de la hipérbola forman un ángulo${\displaystyle \varphi }$con lo positivo${\displaystyle x}$eje que viene dado por

$${\displaystyle \tan(2\varphi )={\frac {2A_{xy}}{A_{xx}-A_{yy}}}.}$$

Girar los ejes de coordenadas de modo que${\displaystyle x}$El eje x está alineado con el eje transversal, lo que lleva la ecuación a su forma canónica.

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}$$

Los semiejes mayor y menor${\displaystyle a}$y${\displaystyle b}$se definen mediante las ecuaciones

$${\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}&=-{\frac {\Delta }{\lambda _{1}D}}=-{\frac {\Delta }{\lambda _{1}^{2}\lambda _{2}}},\\[1ex]b^{2}&=-{\frac {\Delta }{\lambda _{2}D}}=-{\frac {\Delta }{\lambda _{1}\lambda _{2}^{2}}},\end{aligned}}}$$

dónde${\displaystyle \lambda _{1}}$y${\displaystyle \lambda _{2}}$son las raíces de la ecuación cuadrática

$${\displaystyle \lambda ^{2}-\left(A_{xx}+A_{yy}\right)\lambda +D=0.}$$

A modo de comparación, la ecuación correspondiente para una hipérbola degenerada (que consta de dos líneas que se intersecan) es

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0.}$$

La línea tangente a un punto dado${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$en la hipérbola se define por la ecuación

$${\displaystyle Ex+Fy+G=0}$$

dónde${\displaystyle E,}$${\displaystyle F,}$y${\displaystyle G}$se definen por

$${\displaystyle {\begin{aligned}E&=A_{xx}x_{0}+A_{xy}y_{0}+B_{x},\\[1ex]F&=A_{xy}x_{0}+A_{yy}y_{0}+B_{y},\\[1ex]G&=B_{x}x_{0}+B_{y}y_{0}+C.\end{aligned}}}$$

La recta normal a la hipérbola en el mismo punto viene dada por la ecuación

$${\displaystyle F(x-x_{0})-E(y-y_{0})=0.}$$

La línea normal es perpendicular a la línea tangente, y ambas pasan por el mismo punto.${\displaystyle (x_{0},y_{0}).}$

De la ecuación

$${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,\qquad 0<b\leq a,}$$

el foco de la izquierda es${\displaystyle (-ae,0)}$y el enfoque correcto es${\displaystyle (ae,0),}$dónde${\displaystyle e}$es la excentricidad. Denotemos las distancias desde un punto${\displaystyle (x,y)}$a los focos izquierdo y derecho como${\displaystyle r_{1}}$y${\displaystyle r_{2}.}$Para un punto en la rama derecha,

$${\displaystyle r_{1}-r_{2}=2a,}$$

y para un punto en la rama izquierda,

$${\displaystyle r_{2}-r_{1}=2a.}$$

Esto se puede demostrar de la siguiente manera:

Si${\displaystyle (x,y)}$es un punto en la hipérbola la distancia al foco izquierdo es

$${\displaystyle r_{1}^{2}=(x+ae)^{2}+y^{2}=x^{2}+2xae+a^{2}e^{2}+\left(x^{2}-a^{2}\right)\left(e^{2}-1\right)=(ex+a)^{2}.}$$

Al punto focal derecho la distancia es

$${\displaystyle r_{2}^{2}=(x-ae)^{2}+y^{2}=x^{2}-2xae+a^{2}e^{2}+\left(x^{2}-a^{2}\right)\left(e^{2}-1\right)=(ex-a)^{2}.}$$