Modulación por desplazamiento de fase

Para determinar matemáticamente las tasas de error, se necesitarán algunas definiciones:

• ${\displaystyle E_{b}}$energía por bit
• ${\displaystyle E_{s}=nE_{b}}$, energía por símbolo con n bits
• ${\displaystyle T_{b}}$duración de bits
• ${\displaystyle T_{s}}$duración del símbolo
• ${\displaystyle {\frac {1}{2}}N_{0}}$, densidad espectral de potencia de ruido ( W / Hz )
• ${\displaystyle P_{b}}$, probabilidad de error de bit
• ${\displaystyle P_{s}}$, probabilidad de error de símbolo

${\displaystyle Q(x)}$dará la probabilidad de que una sola muestra tomada de un proceso aleatorio con una función de densidad de probabilidad gaussiana de media cero y varianza unitaria sea mayor o igual a${\displaystyle x}$Es una forma escalada de la función de error gaussiana complementaria :

${\displaystyle Q(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-{\frac {1}{2}}t^{2}}\,dt={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right),\ x\geq 0}$.

Las tasas de error citadas aquí corresponden al ruido gaussiano blanco aditivo (AWGN). Estas tasas de error son inferiores a las calculadas en canales con desvanecimiento , por lo que constituyen un buen punto de referencia teórico para la comparación.

La forma general para BPSK sigue la siguiente ecuación:

${\displaystyle s_{n}(t)={\sqrt {\frac {2E_{b}}{T_{b}}}}\cos(2\pi ft+\pi (1-n)),\quad n=0,1.}$

Esto produce dos fases, 0 y π. En su forma específica, los datos binarios se suelen transmitir con las siguientes señales: ^{[ 1 ] : 123–128}

${\displaystyle s_{0}(t)={\sqrt {\frac {2E_{b}}{T_{b}}}}\cos(2\pi ft+\pi )=-{\sqrt {\frac {2E_{b}}{T_{b}}}}\cos(2\pi ft)}$para el binario "0"

${\displaystyle s_{1}(t)={\sqrt {\frac {2E_{b}}{T_{b}}}}\cos(2\pi ft)}$para binario "1"

donde f es la frecuencia de la banda base.

Por lo tanto, el espacio de señales puede representarse mediante la única función base ^{[ 1 ] : 123–128}

${\displaystyle \phi (t)={\sqrt {\frac {2}{T_{b}}}}\cos(2\pi ft)}$

donde 1 está representado por${\displaystyle {\sqrt {E_{b}}}\phi (t)}$y 0 está representado por${\displaystyle -{\sqrt {E_{b}}}\phi (t)}$Esta asignación es arbitraria.

Este uso de esta función base se muestra al final de la siguiente sección en un diagrama de temporización de señal. La señal superior es una onda coseno modulada en BPSK que produciría el modulador BPSK. El flujo de bits que causa esta salida se muestra encima de la señal (las otras partes de esta figura son relevantes solo para QPSK). Después de la modulación, la señal de banda base se moverá a la banda de alta frecuencia mediante la multiplicación${\displaystyle \cos(2\pi f_{c}t)}$.

La tasa de error de bits (BER) de BPSK bajo ruido gaussiano blanco aditivo (AWGN) se puede calcular como: ^{[ 2 ] [ 1 ] : 123–128}

${\displaystyle P_{b}=Q\left({\sqrt {\frac {2E_{b}}{N_{0}}}}\right)}$o${\displaystyle P_{e}={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left({\sqrt {\frac {E_{b}}{N_{0}}}}\right)}$

Dado que solo hay un bit por símbolo, esta es también la tasa de error de símbolo.

La implementación de QPSK es más general que la de BPSK y también indica la implementación de PSK de orden superior. Escribiendo los símbolos en el diagrama de constelación en términos de las ondas sinusoidales y cosenoidales utilizadas para transmitirlos: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle s_{n}(t)={\sqrt {\frac {2E_{s}}{T_{s}}}}\cos \left(2\pi f_{c}t+(2n-1){\frac {\pi }{4}}\right),\quad n=1,2,3,4.}$

Esto produce las cuatro fases π/4, 3π/4, 5π/4 y 7π/4 según sea necesario.

Esto da como resultado un espacio de señales bidimensional con funciones base unitarias ^{[ 1 ].}

${\displaystyle {\begin{aligned}\phi _{1}(t)&={\sqrt {\frac {2}{T_{s}}}}\cos \left(2\pi f_{c}t\right)\\\phi _{2}(t)&={\sqrt {\frac {2}{T_{s}}}}\sin \left(2\pi f_{c}t\right)\end{aligned}}}$

La primera función base se utiliza como componente en fase de la señal y la segunda como componente en cuadratura de la señal.

Por lo tanto, la constelación de señales consta de los 4 puntos del espacio de señales ^{[ 1 ].}

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\pm {\sqrt {\frac {E_{s}}{2}}}&\pm {\qrt {\frac {E_{s}}{2}}}\end{pmatrix}}.}$

Los factores de 1/2 indican que la potencia total se divide por igual entre los dos portadores.

Al comparar estas funciones base con la de BPSK, se observa claramente cómo QPSK puede considerarse como dos señales BPSK independientes. Cabe destacar que los puntos del espacio de señales para BPSK no necesitan dividir la energía del símbolo (bit) entre las dos portadoras, como se muestra en el diagrama de constelación BPSK.

Los sistemas QPSK pueden implementarse de diversas maneras. A continuación se muestra una ilustración de los componentes principales de la estructura del transmisor y del receptor.

Aunque la modulación QPSK puede considerarse una modulación cuaternaria, resulta más sencillo interpretarla como dos portadoras en cuadratura moduladas independientemente. Según esta interpretación, los bits pares (o impares) se utilizan para modular la componente en fase de la portadora, mientras que los bits impares (o pares) se utilizan para modular la componente en cuadratura. La modulación BPSK se aplica a ambas portadoras y pueden demodularse de forma independiente.

Como resultado, la probabilidad de error de bit para QPSK es la misma que para BPSK: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle P_{b}=Q\left({\sqrt {\frac {2E_{b}}{N_{0}}}}\right)}$

Sin embargo, para lograr la misma probabilidad de error de bit que BPSK, QPSK utiliza el doble de potencia (ya que se transmiten dos bits simultáneamente).

La tasa de error de símbolo viene dada por: ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{s}&=1-\left(1-P_{b}\right)^{2}\\&=2Q\left({\sqrt {\frac {E_{s}}{N_{0}}}}\right)-\left[Q\left({\sqrt {\frac {E_{s}}{N_{0}}}}\right)\right]^{2}.\end{aligned}}}$

Si la relación señal/ruido es alta (como es necesario para los sistemas QPSK prácticos), la probabilidad de error de símbolo se puede aproximar:

${\displaystyle P_{s}\approx 2Q\left({\sqrt {\frac {E_{s}}{N_{0}}}}\right)=\operatorname {erfc} \left({\sqrt {\frac {E_{s}}{2N_{0}}}}\right)=\operatorname {erfc} \left({\sqrt {\frac {E_{b}}{N_{0}}}}\right)}$

A continuación se muestra la señal modulada para un segmento corto de un flujo de datos binarios aleatorios. Las dos ondas portadoras son una onda coseno y una onda sinusoidal, como se indica en el análisis del espacio de señales anterior. Aquí, los bits impares se han asignado al componente en fase y los bits pares al componente en cuadratura (considerando el primer bit como el número 1). La señal total —la suma de los dos componentes— se muestra en la parte inferior. Se observan saltos de fase, ya que la PSK modifica la fase de cada componente al inicio de cada período de bit. La forma de onda superior coincide con la descripción dada para BPSK anteriormente.  

Los datos binarios que transmite esta forma de onda son: 11000110 .

• Los elementos impares, resaltados aquí, contribuyen al componente en fase: 1 1 0 0 0 1 1 0
• Los bits pares, resaltados aquí, contribuyen al componente de fase en cuadratura: 1 1 0 0 0 1 1 0

Para el M-PSK general no existe una expresión simple para la probabilidad de error de símbolo si${\displaystyle M>4}$Desafortunadamente, solo se puede obtener de

${\displaystyle P_{s}=1-\int _{-\pi /M}^{\pi /M}p_{\theta _{r}}\left(\theta _{r}\right)d\theta _{r},}$

dónde

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{\theta _{r}}\left(\theta _{r}\right)&={\frac {1}{2\pi }}e^{-2\gamma _{s}\sin ^{2}\theta _{r}}\int _{0}^{\infty }Ve^{-{\frac {1}{2}}\left(V-2{\sqrt {\gamma _{s}}}\cos \theta _{r}\right)^{2}}\,dV,\\V&={\sqrt {r_{1}^{2}+r_{2}^{2}}},\\\theta _{r}&=\tan ^{-1}\left({\frac {r_{2}}{r_{1}}}\right),\\\gamma _{s}&={\frac {E_{s}}{N_{0}}}\end{aligned}}}$

y${\displaystyle r_{1}\sim N\left({\sqrt {E_{s}}},{\frac {1}{2}}N_{0}\right)}$y${\displaystyle r_{2}\sim N\left(0,{\frac {1}{2}}N_{0}\right)}$son cada una variables aleatorias gaussianas .

Esto puede aproximarse para valores altos${\displaystyle M}$y alto${\displaystyle E_{b}/N_{0}}$por:

${\displaystyle P_{s}\approx 2Q\left({\sqrt {2\gamma _{s}}}\sin {\frac {\pi }{M}}\right).}$

La probabilidad de error de bits para${\displaystyle M}$-PSK solo se puede determinar con exactitud una vez que se conoce el mapeo de bits. Sin embargo, cuando se utiliza la codificación Gray , el error más probable de un símbolo al siguiente produce solo un único error de bit y

${\displaystyle P_{b}\approx {\frac {1}{k}}P_{s}.}$

(El uso de la codificación Gray nos permite aproximar la distancia de Lee de los errores como la distancia de Hamming de los errores en el flujo de bits decodificado, lo cual es más fácil de implementar en hardware).

El gráfico de la derecha compara las tasas de error de bits de BPSK, QPSK (que son iguales, como se indicó anteriormente), 8-PSK y 16-PSK. Se observa que las modulaciones de orden superior presentan mayores tasas de error; sin embargo, a cambio, ofrecen una mayor velocidad de datos sin procesar.

Los límites de las tasas de error de varios esquemas de modulación digital se pueden calcular aplicando el límite de unión a la constelación de señales.

La eficiencia de ancho de banda (o espectral) de los esquemas de modulación M-PSK aumenta con el aumento del orden de modulación M (a diferencia, por ejemplo, de M-FSK ): ^{[ 8 ]}

${\displaystyle \rho ={\frac {\log _{2}M}{2}}\quad [{\text{bits}}/{\text{s}}\cdot {\text{Hz}}]}$

La misma relación se cumple para M-QAM . ^{[ 9 ]}

La modulación por desplazamiento de fase diferencial (DPSK) es una forma común de modulación de fase que transmite datos modificando la fase de la onda portadora. Al igual que en el caso de BPSK y QPSK, existe una ambigüedad de fase si la constelación se ve afectada por algún efecto en el canal de comunicación por el que pasa la señal. Este problema se puede solucionar utilizando los datos para modificar la fase en lugar de establecerla .

Por ejemplo, en la codificación diferencial BPSK, un "1" binario se puede transmitir sumando 180° a la fase actual y un "0" binario sumando 0° a la fase actual. Otra variante de DPSK es la modulación por desplazamiento de fase diferencial simétrica, SDPSK, donde la codificación sería de +90° para un "1" y de −90° para un "0".

En QPSK con codificación diferencial (DQPSK), los desplazamientos de fase son 0°, 90°, 180°, −90° correspondientes a los datos "00", "01", "11", "10". Este tipo de codificación se puede demodular de la misma manera que para PSK no diferencial, pero las ambigüedades de fase se pueden ignorar. Por lo tanto, cada símbolo recibido se demodula a uno de los${\displaystyle M}$Se seleccionan puntos en la constelación y un comparador calcula la diferencia de fase entre la señal recibida y la anterior. Esta diferencia codifica los datos como se describió anteriormente. La modulación por desplazamiento de fase en cuadratura diferencial simétrica (SDQPSK) es similar a la DQPSK, pero la codificación es simétrica, utilizando valores de desplazamiento de fase de −135°, −45°, +45° y +135°.

La señal modulada se muestra a continuación para DBPSK y DQPSK, como se describió anteriormente. En la figura, se supone que la señal comienza con fase cero , por lo que hay un desfase en ambas señales en${\displaystyle t=0}$.

El análisis muestra que la codificación diferencial aproximadamente duplica la tasa de error en comparación con la codificación ordinaria.${\displaystyle M}$-PSK pero esto puede superarse con solo un pequeño aumento en${\displaystyle E_{b}/N_{0}}$Además, este análisis (y los resultados gráficos que se muestran a continuación) se basan en un sistema donde la única interferencia es el ruido blanco gaussiano aditivo (AWGN). Sin embargo, en el sistema de comunicación también existe un canal físico entre el transmisor y el receptor. Este canal, en general, introduce un desfase desconocido en la señal PSK; en estos casos, los esquemas diferenciales pueden ofrecer una menor tasa de error que los esquemas convencionales, que dependen de información de fase precisa.

Una de las aplicaciones más populares de DPSK es el estándar Bluetooth donde${\displaystyle \pi /4}$Se implementaron los protocolos DQPSK y 8-DPSK.

Para una señal codificada diferencialmente, existe un método de demodulación alternativo evidente. En lugar de demodular como de costumbre e ignorar la ambigüedad de fase de la portadora, se compara la fase entre dos símbolos recibidos sucesivos para determinar cuáles debían ser los datos. Cuando se utiliza la codificación diferencial de esta manera, el esquema se conoce como modulación por desplazamiento de fase diferencial (DPSK). Cabe destacar que esto difiere sutilmente de la modulación PSK con codificación diferencial, ya que, al recibir la señal, los símbolos no se decodifican uno a uno a puntos de constelación, sino que se comparan directamente entre sí.

Llama al símbolo recibido en el${\displaystyle k}$^franja horaria${\displaystyle r_{k}}$y que tenga fase${\displaystyle \phi _{k}}$Supongamos, sin pérdida de generalidad, que la fase de la onda portadora es cero. Denotemos el término de ruido gaussiano blanco aditivo (AWGN) como${\displaystyle n_{k}}$. Entonces

${\displaystyle r_{k}={\sqrt {E_{s}}}e^{j\phi _{k}}+n_{k}.}$

La variable de decisión para la${\displaystyle k-1}$^el símbolo y el${\displaystyle k}$^El símbolo es la diferencia de fase entre${\displaystyle r_{k}}$y${\displaystyle r_{k-1}}$. Es decir, si${\displaystyle r_{k}}$se proyecta sobre${\displaystyle r_{k-1}}$La decisión se toma en función de la fase del número complejo resultante:

${\displaystyle r_{k}r_{k-1}^{*}=E_{s}e^{j\left(\varphi _{k}-\varphi _{k-1}\right)}+{\sqrt {E_{s}}}e^{j\varphi _{k}}n_{k-1}^{*}+{\sqrt {E_{s}}}e^{-j\varphi _{k-1}}n_{k}+n_{k}n_{k-1}^{*}}$

donde el superíndice * denota la conjugación compleja . En ausencia de ruido, la fase de esto es${\displaystyle \phi _{k}-\phi _{k-1}}$, el desfase entre las dos señales recibidas que puede utilizarse para determinar los datos transmitidos.

La probabilidad de error para DPSK es difícil de calcular en general, pero, en el caso de DBPSK es:

${\displaystyle P_{b}={\frac {1}{2}}e^{-{\frac {E_{b}}{N_{0}}}},}$^{[ 10 ]}

que, cuando se evalúa numéricamente, es solo ligeramente peor que el BPSK ordinario, particularmente en frecuencias más altas.${\displaystyle E_{b}/N_{0}}$valores.

El uso de DPSK evita la necesidad de esquemas de recuperación de portadora posiblemente complejos para proporcionar una estimación de fase precisa y puede ser una alternativa atractiva a la PSK ordinaria.

En comunicaciones ópticas , los datos se pueden modular en la fase de un láser de forma diferencial. La modulación se realiza mediante un láser que emite una onda continua y un modulador Mach-Zehnder que recibe datos binarios eléctricos. En el caso de BPSK, el láser transmite el campo sin cambios para el binario '1' y con polaridad inversa para el '0'. El demodulador consta de un interferómetro de línea de retardo que retrasa un bit, permitiendo comparar dos bits simultáneamente. Posteriormente, se utiliza un fotodiodo para transformar el campo óptico en una corriente eléctrica, devolviendo así la información a su estado original.

En el gráfico de la derecha se comparan las tasas de error de bits de DBPSK y DQPSK con sus contrapartes no diferenciales. La pérdida al usar DBPSK es lo suficientemente pequeña en comparación con la reducción de complejidad como para que se utilice con frecuencia en sistemas de comunicaciones que de otro modo usarían BPSK. Sin embargo, para DQPSK, la pérdida de rendimiento en comparación con QPSK convencional es mayor, y el diseñador del sistema debe sopesar esto con la reducción de complejidad.

Al${\displaystyle k^{\textrm {th}}}$llamada de intervalo de tiempo al bit que se va a modular${\displaystyle b_{k}}$, el bit codificado diferencialmente${\displaystyle e_{k}}$y la señal modulada resultante${\displaystyle m_{k}(t)}$Supongamos que el diagrama de constelación posiciona los símbolos en ±1 (que es BPSK). El codificador diferencial produce:

${\displaystyle \,e_{k}=e_{k-1}\oplus b_{k}}$

dónde${\displaystyle \oplus {}}$indica suma binaria o módulo 2 .

Entonces${\displaystyle e_{k}}$solo cambia de estado (de binario "0" a binario "1" o de binario "1" a binario "0") si${\displaystyle b_{k}}$es un binario "1". De lo contrario, permanece en su estado anterior. Esta es la descripción de la codificación BPSK diferencial dada anteriormente.

La señal recibida se demodula para producir${\displaystyle e_{k}=\pm 1}$y luego el decodificador diferencial invierte el procedimiento de codificación y produce

${\displaystyle b_{k}=e_{k}\oplus e_{k-1},}$

ya que la resta binaria es lo mismo que la suma binaria.

Por lo tanto,${\displaystyle b_{k}=1}$si${\displaystyle e_{k}}$y${\displaystyle e_{k-1}}$difieren y${\displaystyle b_{k}=0}$si son iguales. Por lo tanto, si ambos${\displaystyle e_{k}}$y${\displaystyle e_{k-1}}$están invertidos ,${\displaystyle b_{k}}$Se seguirá decodificando correctamente. Por lo tanto, la ambigüedad de fase de 180° no importa.

Se pueden diseñar esquemas diferenciales para otras modulaciones PSK siguiendo líneas similares. Las formas de onda para DPSK son las mismas que para PSK con codificación diferencial descritas anteriormente, ya que la única diferencia entre ambos esquemas se encuentra en el receptor.

La curva BER para este ejemplo se compara con la BPSK ordinaria a la derecha. Como se mencionó anteriormente, mientras que la tasa de error se duplica aproximadamente, el aumento necesario en${\displaystyle E_{b}/N_{0}}$para superar esto es pequeño. El aumento en${\displaystyle E_{b}/N_{0}}$Sin embargo, el retardo necesario para superar la modulación diferencial en sistemas codificados es mayor , generalmente alrededor de 3 dB. La degradación del rendimiento se debe a la transmisión no coherente ; en este caso, se refiere al hecho de que el seguimiento de la fase se ignora por completo.