Ecuaciones de movimiento

A partir de la posición instantánea r = r ( t ) , instantánea significa en un valor instantáneo de tiempo t , la velocidad instantánea v = v ( t ) y la aceleración a = a ( t ) tienen las definiciones generales, independientes de las coordenadas; ^{[ 7 ]}

$${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\,,\quad \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}}$$

Nótese que la velocidad siempre apunta en la dirección del movimiento; en otras palabras, para una trayectoria curva, es el vector tangente . En términos generales, las derivadas de primer orden están relacionadas con las tangentes de las curvas. Para un movimiento a velocidad constante, la aceleración se dirige hacia el centro de curvatura de la trayectoria. De nuevo, en términos generales, las derivadas de segundo orden están relacionadas con la curvatura.

Los análogos rotacionales son el "vector angular" (ángulo que la partícula gira alrededor de algún eje) θ = θ ( t ) , la velocidad angular ω = ω ( t ) , y la aceleración angular α = α ( t ) :

$${\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=\theta {\hat {\mathbf {n} }}\,,\quad {\boldsymbol {\omega }}={\frac {d{\boldsymbol {\theta }}}{dt}}\,,\quad {\boldsymbol {\alpha }}={\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}\,,}$$

donde n̂ es un vector unitario en la dirección del eje de rotación, y θ es el ángulo que gira el objeto alrededor del eje.

La siguiente relación se cumple para una partícula puntual que orbita alrededor de un eje con velocidad angular ω : ^{[ 8 ]}

$${\displaystyle \mathbf {v} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }$$

donde r es el vector de posición de la partícula (radial respecto al eje de rotación) y v la velocidad tangencial de la partícula. Para un cuerpo rígido continuo en rotación , estas relaciones se cumplen para cada punto del cuerpo rígido.

La ecuación diferencial del movimiento de una partícula con aceleración constante o uniforme en línea recta es sencilla: la aceleración es constante, por lo que la segunda derivada de la posición del objeto también es constante. Los resultados de este caso se resumen a continuación.

aceleración lineal constante en cualquier dirección

Los vectores de posición inicial, velocidad inicial y aceleración no tienen por qué ser colineales, y las ecuaciones de movimiento adoptan una forma casi idéntica. La única diferencia es que las magnitudes al cuadrado de las velocidades requieren el producto escalar . Las derivaciones son esencialmente las mismas que en el caso colineal.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} &=\mathbf {a} t+\mathbf {v} _{0}&[1]\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}&[2]\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} _{0}+{\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {v} +\mathbf {v} _{0}\right)t&[3]\\\mathbf {v} ^{2}&=\mathbf {v} _{0}^{2}+2\mathbf {a} \cdot \left(\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}\right)&[4]\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} _{0}+\mathbf {v} t-{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}&[5]\\\end{aligned}}}$$ aunque la ecuación de Torricelli [4] se puede derivar utilizando la propiedad distributiva del producto escalar de la siguiente manera: $${\displaystyle v^{2}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} =(\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} t)\cdot (\mathbf {v} _{0}+\mathbf {a} t)=v_{0}^{2}+2t(\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} _{0})+a^{2}t^{2}}$$$${\displaystyle (2\mathbf {a} )\cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=(2\mathbf {a} )\cdot \left(\mathbf {v} _{0}t+{\tfrac {1}{2}}\mathbf {a} t^{2}\right)=2t(\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} _{0})+a^{2}t^{2}=v^{2}-v_{0}^{2}}$$$${\displaystyle \therefore v^{2}=v_{0}^{2}+2(\mathbf {a} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}))}$$

El vector de posición r siempre apunta radialmente desde el origen.

Vector de velocidad v , siempre tangente a la trayectoria del movimiento.

Vector de aceleración a , no paralelo al movimiento radial sino desplazado por las aceleraciones angular y de Coriolis, ni tangente a la trayectoria sino desplazado por las aceleraciones centrípeta y radial.

Vectores cinemáticos en coordenadas polares planas. Nótese que la configuración no se limita al espacio bidimensional, sino que puede aplicarse a un plano en cualquier dimensión superior.

Estas son las ecuaciones cinemáticas para una partícula que recorre una trayectoria en un plano, descrita por la posición r = r ( t ) . ^{[ 12 ]} Son simplemente las derivadas temporales del vector de posición en coordenadas polares planas , utilizando las definiciones anteriores de las magnitudes físicas para la velocidad angular ω y la aceleración angular α . Estas son magnitudes instantáneas que cambian con el tiempo.

La posición de la partícula es

$${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} \left(r(t),\theta (t)\right)=r\mathbf {\hat {e}} _{r}}$$

donde ê _r y ê _θ son los vectores unitarios polares . Al diferenciar con respecto al tiempo se obtiene la velocidad.

$${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {\hat {e}} _{r}{\frac {dr}{dt}}+r\omega \mathbf {\hat {e}} _{\theta }}$$

con componente radial dr / dt y una componente adicional rω debido a la rotación. Derivando nuevamente con respecto al tiempo se obtiene la aceleración

$${\displaystyle \mathbf {a} =\left({\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-r\omega ^{2}\right)\mathbf {\hat {e}} _{r}+\left(r\alpha +2\omega {\frac {dr}{dt}}\right)\mathbf {\hat {e}} _{\theta }}$$

que se descompone en la aceleración radial ⁠ d ² r / dt ² ⁠ , la aceleración centrípeta – rω ² , la aceleración de Coriolis 2 ω ⁠ dr / dt ⁠ , y la aceleración angular rα .

En la tabla siguiente se resumen cualitativamente casos especiales de movimiento descritos por estas ecuaciones. Dos de ellos ya se han analizado anteriormente: cuando las componentes radiales o angulares son cero y la componente no nula del movimiento describe una aceleración uniforme.

En el espacio 3D, las ecuaciones en coordenadas esféricas ( r , θ , φ ) con los vectores unitarios correspondientes ê _r , ê _θ y ê _φ , la posición, la velocidad y la aceleración se generalizan respectivamente a

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} &=\mathbf {r} \left(t\right)=r\mathbf {\hat {e}} _{r}\\\mathbf {v} &=v\mathbf {\hat {e}} _{r}+r\,{\frac {d\theta }{dt}}\mathbf {\hat {e}} _{\theta }+r\,{\frac {d\varphi }{dt}}\,\sin \theta \mathbf {\hat {e}} _{\varphi }\\\mathbf {a} &=\left(a-r\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}-r\left({\frac {d\varphi }{dt}}\right)^{2}\sin ^{2}\theta \right)\mathbf {\hat {e}} _{r}\\&+\left(r{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}+2v{\frac {d\theta }{dt}}-r\left({\frac {d\varphi }{dt}}\right)^{2}\sin \theta \cos \theta \right)\mathbf {\hat {e}} _{\theta }\\&+\left(r{\frac {d^{2}\varphi }{dt^{2}}}\,\sin \theta +2v\,{\frac {d\varphi }{dt}}\,\sin \theta +2r\,{\frac {d\theta }{dt}}\,{\frac {d\varphi }{dt}}\,\cos \theta \right)\mathbf {\hat {e}} _{\varphi }\end{aligned}}\,\!}$$

En el caso de una φ constante , esto se reduce a las ecuaciones planares anteriores.

La primera ecuación general del movimiento desarrollada fue la segunda ley del movimiento de Newton . En su forma más general, establece que la tasa de cambio del momento lineal p = p ( t ) = m v ( t ) de un objeto es igual a la fuerza F = F ( x ( t ), v ( t ), t ) que actúa sobre él, ^{[ 13 ] : 1112}

$${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}}$$

La fuerza en la ecuación no es la fuerza que ejerce el objeto. Reemplazando el momento por la masa por la velocidad, la ley también se escribe de forma más conocida como:

$${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} }$$

ya que m es una constante en la mecánica newtoniana .

La segunda ley de Newton se aplica a partículas puntuales y a todos los puntos de un cuerpo rígido . También se aplica a cada punto de un continuo de masa, como sólidos o fluidos deformables, pero es necesario tener en cuenta el movimiento del sistema; véase derivada material . En el caso de que la masa no sea constante, no basta con utilizar la regla del producto para la derivada temporal de la masa y la velocidad, y la segunda ley de Newton requiere alguna modificación compatible con la conservación del momento ; véase sistema de masa variable .

Puede resultar sencillo escribir las ecuaciones de movimiento en forma vectorial utilizando las leyes de Newton, pero sus componentes pueden variar de maneras complejas con las coordenadas espaciales y el tiempo, y resolverlas no es fácil. A menudo, hay un exceso de variables para resolver el problema por completo, por lo que las leyes de Newton no siempre son el método más eficiente para determinar el movimiento de un sistema. En casos sencillos de geometría rectangular, las leyes de Newton funcionan bien en coordenadas cartesianas, pero en otros sistemas de coordenadas pueden volverse extremadamente complejas.

La forma de momento es preferible ya que se generaliza fácilmente a sistemas más complejos, como la relatividad especial y general (véase cuadrimomento ). ^{[ 13 ] : 112} También puede utilizarse con la conservación del momento. Sin embargo, las leyes de Newton no son más fundamentales que la conservación del momento, porque las leyes de Newton simplemente son consistentes con el hecho de que una fuerza resultante nula que actúa sobre un objeto implica un momento constante, mientras que una fuerza resultante implica que el momento no es constante. La conservación del momento siempre es cierta para un sistema aislado que no está sujeto a fuerzas resultantes.

Para un número de partículas (véase el problema de muchos cuerpos ), la ecuación de movimiento para una partícula i influenciada por otras partículas es ^{[ 7 ] [ 1 ].}$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {p} _{i}}{dt}}=\mathbf {F} _{E}+\sum _{i\neq j}\mathbf {F} _{ij}}$$

donde p _i es el momento de la partícula i , F _ij es la fuerza que la partícula j ejerce sobre la partícula i , y F _E es la fuerza externa resultante debida a cualquier agente que no forme parte del sistema. La partícula i no ejerce ninguna fuerza sobre sí misma.

Las leyes del movimiento de Euler son similares a las leyes de Newton, pero se aplican específicamente al movimiento de cuerpos rígidos . Las ecuaciones de Newton-Euler combinan las fuerzas y los torques que actúan sobre un cuerpo rígido en una sola ecuación.

La segunda ley de Newton para la rotación toma una forma similar al caso de traslación, ^{[ 13 ]}

$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}\,,}$$

igualando el torque que actúa sobre el cuerpo a la tasa de cambio de su momento angular L. Análogamente a la masa por la aceleración, el tensor de momento de inercia I depende de la distribución de la masa alrededor del eje de rotación, y la aceleración angular es la tasa de cambio de la velocidad angular.

$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {I} {\boldsymbol {\alpha }}.}$$

Nuevamente, estas ecuaciones se aplican a partículas puntuales o a cada punto de un cuerpo rígido.

Asimismo, para un número de partículas, la ecuación de movimiento para una partícula i es ^{[ 7 ].}

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} _{i}}{dt}}={\boldsymbol {\tau }}_{E}+\sum _{i\neq j}{\boldsymbol {\tau }}_{ij}\,,}$$

donde L _i es el momento angular de la partícula i , τ _ij el torque ejercido sobre la partícula j por la partícula i , y τ _E es el torque externo resultante (debido a cualquier agente que no forme parte del sistema). La partícula i no ejerce torque sobre sí misma.

Algunos ejemplos ^{[ 14 ]} de la ley de Newton incluyen la descripción del movimiento de un péndulo simple ,

$${\displaystyle -mg\sin \theta =m{\frac {d^{2}(\ell \theta )}{dt^{2}}}\quad \Rightarrow \quad {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-{\frac {g}{\ell }}\sin \theta \,,}$$

y un oscilador armónico amortiguado y accionado sinusoidalmente ,

$${\displaystyle F_{0}\sin(\omega t)=m\left({\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+2\zeta \omega _{0}{\frac {dx}{dt}}+\omega _{0}^{2}x\right)\,.}$$

Para describir el movimiento de masas debido a la gravedad, la ley de gravedad de Newton se puede combinar con la segunda ley de Newton. Por dos ejemplos, una bola de masa m lanzada al aire, en corrientes de aire (como el viento) descritas por un campo vectorial de fuerzas resistivas R = R ( r , t ) ,

$${\displaystyle -{\frac {GmM}{|\mathbf {r} |^{2}}}\mathbf {\hat {e}} _{r}+\mathbf {R} =m{\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}+0\quad \Rightarrow \quad {\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=-{\frac {GM}{|\mathbf {r} |^{2}}}\mathbf {\hat {e}} _{r}+\mathbf {A} }$$

donde G es la constante gravitacional , M la masa de la Tierra y A = ⁠ R / m ⁠ es la aceleración del proyectil debido a las corrientes de aire en la posición r y el tiempo t .

El problema clásico de N cuerpos para N partículas que interactúan entre sí debido a la gravedad es un conjunto de N ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales acopladas de segundo orden,

$${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {r} _{i}}{dt^{2}}}=G\sum _{i\neq j}{\frac {m_{j}}{|\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i}|^{3}}}(\mathbf {r} _{j}-\mathbf {r} _{i})}$$

donde i = 1, 2, ..., N etiqueta las cantidades (masa, posición, etc.) asociadas con cada partícula.

Las ecuaciones anteriores son válidas en el espaciotiempo plano. En el espaciotiempo curvo , las cosas se complican matemáticamente ya que no hay líneas rectas; esto se generaliza y se reemplaza por una geodésica del espaciotiempo curvo (la longitud de curva más corta entre dos puntos). Para variedades curvas con un tensor métrico g , la métrica proporciona la noción de longitud de arco (véase el elemento de línea para más detalles). La longitud de arco diferencial viene dada por: ^{[ 19 ] : 1199}

$${\displaystyle ds={\sqrt {g_{\alpha \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta }}}}$$

y la ecuación geodésica es una ecuación diferencial de segundo orden en las coordenadas. La solución general es una familia de geodésicas: ^{[ 19 ] : 1200}

$${\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\mu }}{ds^{2}}}=-\Gamma ^{\mu }{}_{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{ds}}{\frac {dx^{\beta }}{ds}}}$$

donde Γ ^μ _αβ es un símbolo de Christoffel de segundo tipo , que contiene la métrica (con respecto al sistema de coordenadas).

Dada la distribución masa-energía proporcionada por el tensor energía-impulso T ^αβ , las ecuaciones de campo de Einstein son un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales no lineales de segundo orden en la métrica, e implican que la curvatura del espaciotiempo es equivalente a un campo gravitatorio (véase el principio de equivalencia ). Una masa que cae en un espaciotiempo curvo es equivalente a una masa que cae en un campo gravitatorio, porque la gravedad es una fuerza ficticia . La aceleración relativa de una geodésica a otra en un espaciotiempo curvo viene dada por la ecuación de desviación geodésica :

$${\displaystyle {\frac {D^{2}\xi ^{\alpha }}{ds^{2}}}=-R^{\alpha }{}_{\beta \gamma \delta }{\frac {dx^{\alpha }}{ds}}\xi ^{\gamma }{\frac {dx^{\delta }}{ds}}}$$

donde ξ ^α = x ₂ ^α − x ₁ ^α es el vector de separación entre dos geodésicas, ⁠ D / ds ⁠ ( no solo ⁠ d / ds ⁠ ) es la derivada covariante , y R ^α _βγδ es el tensor de curvatura de Riemann , que contiene los símbolos de Christoffel. En otras palabras, la ecuación de desviación geodésica es la ecuación de movimiento para masas en el espaciotiempo curvo, análoga a la ecuación de la fuerza de Lorentz para cargas en un campo electromagnético. ^{[ 18 ] : 34–35}

En el espaciotiempo plano, la métrica es un tensor constante, por lo que los símbolos de Christoffel desaparecen y la ecuación geodésica tiene como soluciones líneas rectas. Este es también el caso límite en el que las masas se mueven según la ley de gravitación de Newton .

En la relatividad general, el movimiento de rotación se describe mediante el tensor de momento angular relativista , incluido el tensor de espín , que aparece en las ecuaciones de movimiento bajo derivadas covariantes con respecto al tiempo propio . Las ecuaciones de Mathisson-Papapetrou-Dixon describen el movimiento de objetos giratorios que se mueven en un campo gravitatorio .

Las ecuaciones que describen la dependencia espacial y la evolución temporal de los campos se denominan ecuaciones de campo . Estas incluyen:

• Las ecuaciones de Maxwell para el campo electromagnético ,
• Ecuación de Poisson para potenciales de campo gravitatorio o electrostático newtoniano,
• la ecuación de campo de Einstein para la gravitación ( la ley de gravitación de Newton es un caso especial para campos gravitatorios débiles y bajas velocidades de las partículas).

Esta terminología no es universal: por ejemplo, aunque las ecuaciones de Navier-Stokes rigen el campo de velocidad de un fluido , no suelen denominarse "ecuaciones de campo", ya que en este contexto representan el momento del fluido y se denominan, en cambio, "ecuaciones de momento".

Las ecuaciones que describen el movimiento ondulatorio se denominan ecuaciones de onda . Las soluciones de una ecuación de onda describen la evolución temporal y la dependencia espacial de la amplitud . Las condiciones de contorno determinan si las soluciones describen ondas viajeras u ondas estacionarias .

A partir de las ecuaciones clásicas de movimiento y de campo, se pueden derivar las ecuaciones de ondas mecánicas, gravitacionales y electromagnéticas . La ecuación general de onda lineal en 3D es:

$${\displaystyle {\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}X}{\partial t^{2}}}=\nabla ^{2}X}$$

donde X = X ( r , t ) es cualquier amplitud de campo mecánico o electromagnético, por ejemplo: ^{[ 20 ]}

• el desplazamiento transversal o longitudinal de una varilla, alambre, cable, membrana, etc. vibrante,
• la presión fluctuante de un medio, presión sonora ,
• los campos eléctricos E o D , o los campos magnéticos B o H ,
• el voltaje V o la corriente I en un circuito de corriente alterna ,

y v es la velocidad de fase . Las ecuaciones no lineales modelan la dependencia de la velocidad de fase con la amplitud, reemplazando v por v ( X ) . Existen otras ecuaciones de onda lineales y no lineales para aplicaciones muy específicas; véase, por ejemplo, la ecuación de Korteweg-de Vries .

En la teoría cuántica, aparecen tanto los conceptos de onda como los de campo.

En mecánica cuántica, el análogo de las ecuaciones clásicas del movimiento (ley de Newton, ecuación de Euler-Lagrange, ecuación de Hamilton-Jacobi, etc.) es la ecuación de Schrödinger en su forma más general:

$${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\hat {H}}\Psi \,,}$$

donde Ψ es la función de onda del sistema, Ĥ es el operador hamiltoniano cuántico , en lugar de una función como en la mecánica clásica, y ħ es la constante de Planck dividida por 2π . Al establecer el hamiltoniano e insertarlo en la ecuación, se obtiene una ecuación de onda, cuya solución es la función de onda en función del espacio y el tiempo. La ecuación de Schrödinger se reduce a la ecuación de Hamilton-Jacobi al considerar el principio de correspondencia , en el límite en que ħ tiende a cero. Para comparar con las mediciones, se deben aplicar operadores para observables a la función de onda cuántica según el experimento realizado, lo que conduce a resultados ondulatorios o corpusculares .

En todos los aspectos de la teoría cuántica, relativista o no relativista, existen diversas formulaciones alternativas a la ecuación de Schrödinger que rigen la evolución temporal y el comportamiento de un sistema cuántico, por ejemplo:

• La ecuación de movimiento de Heisenberg se asemeja a la evolución temporal de observables clásicos como funciones de posición, momento y tiempo, si se reemplazan los observables dinámicos por sus operadores cuánticos y el corchete de Poisson clásico por el conmutador ,
• La formulación del espacio de fases sigue de cerca la mecánica hamiltoniana clásica, poniendo la posición y el momento en igualdad de condiciones.
• La formulación de la integral de trayectoria de Feynman extiende el principio de mínima acción a la mecánica cuántica y la teoría de campos, haciendo hincapié en el uso de lagrangianos en lugar de hamiltonianos.