S (teoría de conjuntos)

S es una teoría axiomática de conjuntos presentada por George Boolos en su artículo de 1989, "Iteración de nuevo". S , una teoría de primer orden , es de dos tipos porque su ontología incluye "etapas" además de conjuntos . Boolos diseñó S para plasmar su comprensión de la "concepción iterativa de conjunto" y la jerarquía iterativa asociada . S posee la importante propiedad de que todos los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo Z , excepto el axioma de extensionalidad y el axioma de elección , son teoremas de S o una ligera modificación de los mismos.

Cualquier agrupación de objetos matemáticos , abstractos o concretos, independientemente de su forma, constituye una colección , sinónimo de lo que otras teorías de conjuntos denominan clase . Los elementos que componen una colección se llaman miembros . Un ejemplo común de colección es el dominio de discurso de una teoría de primer orden .

Todos los conjuntos son colecciones, pero existen colecciones que no son conjuntos. Un sinónimo de colecciones que no son conjuntos es clase propia . Una tarea esencial de la teoría axiomática de conjuntos es distinguir los conjuntos de las clases propias, aunque solo sea porque las matemáticas se fundamentan en conjuntos, y las clases propias se relegan a un papel puramente descriptivo.

El universo de Von Neumann implementa la "concepción iterativa de conjunto" estratificando el universo de conjuntos en una serie de "etapas", donde los conjuntos de una etapa dada son posibles miembros de los conjuntos formados en todas las etapas superiores. La noción de etapa se define de la siguiente manera: a cada etapa se le asigna un número ordinal . La etapa más baja, la etapa 0, consta de todas las entidades que no tienen miembros. Suponemos que la única entidad en la etapa 0 es el conjunto vacío , aunque esta etapa incluiría cualquier urelemento que decidamos admitir. La etapa n , n > 0, consta de todos los conjuntos posibles formados a partir de elementos que se encuentran en cualquier etapa cuyo número es menor que n . Todo conjunto formado en la etapa n también puede formarse en cualquier etapa mayor que n . ^{[ 1 ]}

Por lo tanto, las etapas forman una secuencia anidada y bien ordenada , y conformarían una jerarquía si la pertenencia a un conjunto fuera transitiva . La concepción iterativa se ha ido aceptando gradualmente, a pesar de la comprensión imperfecta de sus orígenes históricos.

La concepción iterativa de conjunto evita, de manera bien fundamentada, las conocidas paradojas de Russell , Burali-Forti y Cantor . Estas paradojas resultan del uso irrestricto del principio de comprensión de la teoría ingenua de conjuntos . Colecciones como «la clase de todos los conjuntos» o «la clase de todos los ordinales » incluyen conjuntos de todas las etapas de la jerarquía iterativa. Por lo tanto, tales colecciones no pueden formarse en ninguna etapa dada y, en consecuencia, no pueden ser conjuntos.

Esta sección sigue a Boolos (1998: 91). Las variables x e y abarcan conjuntos, mientras que r , s y t abarcan etapas. Hay tres predicados primitivos de dos lugares :

• Conjunto-conjunto: x ∈ y denota, como de costumbre, que el conjunto x es un miembro del conjunto y ;
• Conjunto-etapa: Fxr denota que el conjunto x "se forma en" la etapa r ;
• Etapa-etapa: r < s indica que la etapa r "es anterior a" la etapa s .

Los siguientes axiomas incluyen un predicado definido de dos posiciones y etapa de conjunto, Bxr , que abrevia:

$${\displaystyle \exists s[s<r\land Fxs].}$$

Bxr se lee como "el conjunto x se forma antes de la etapa r ".

La identidad , denotada por el infijo '=', no desempeña en S el mismo papel que en otras teorías de conjuntos, y Boolos no explicita completamente si la lógica subyacente incluye la identidad. S no tiene axioma de extensionalidad y la identidad está ausente de los demás axiomas de S. La identidad sí aparece en el esquema axiomático que distingue a S+ de S , ^{[ 2 ]} y en la derivación en S de los axiomas ^de emparejamiento , conjunto nulo e infinito de Z. ^{[ 3} ]

Los axiomas simbólicos que se muestran a continuación provienen de Boolos (1998: 91) y rigen el comportamiento y la interacción de conjuntos y escenarios. Las versiones en lenguaje natural de los axiomas tienen como objetivo facilitar la comprensión intuitiva.

Los axiomas se presentan en dos grupos de tres. El primer grupo consta de axiomas que se refieren únicamente a las etapas y a la relación etapa-etapa '<'.

Tra :${\displaystyle \forall r\forall s\forall t[r<s\land s<t\rightarrow r<t]\,.}$

"Anterior a" es transitivo.

Neto :${\displaystyle \forall s\forall t\exists r[t<r\land s<r]\,.}$

Una consecuencia de la red es que cada etapa precede a alguna otra.

Información :${\displaystyle \exists r\exists u[u<r\land \forall t[t<r\rightarrow \exists s[t<s\land s<r]]]\,.}$

El único propósito de Inf es permitir derivar en S el axioma de infinito de otras teorías de conjuntos.

El segundo y último grupo de axiomas involucra tanto conjuntos como etapas, y los predicados distintos de '<':

Todo :${\displaystyle \forall x\exists rFxr\,.}$

Cada conjunto se forma en alguna etapa de la jerarquía.

Cuando :${\displaystyle \forall r\forall x[Fxr\leftrightarrow [\forall y(y\in x\rightarrow Byr)\land \lnot Bxr]]\,.}$

Un conjunto se forma en alguna etapa si y solo si sus miembros se forman en etapas anteriores.

Sea A ( y ) una fórmula de S donde y es libre pero x no lo es. Entonces se cumple el siguiente esquema axiomático:

Especificaciones :${\displaystyle \exists r\forall y[A(y)\rightarrow Byr]\rightarrow \exists x\forall y[y\in x\leftrightarrow A(y)]\,.}$

Si existe una etapa r tal que todos los conjuntos que satisfacen A ( y ) se forman en una etapa anterior a r , entonces existe un conjunto x cuyos miembros son precisamente aquellos conjuntos que satisfacen A ( y ). El papel de Spec en S es análogo al del esquema axiomático de especificación de Z.

El nombre que Boolos le dio a la teoría de conjuntos de Zermelo menos la extensionalidad fue Z- . Boolos derivó en S todos los axiomas de Z- excepto el axioma de elección . ^{[ 4 ]} El propósito de este ejercicio fue mostrar cómo la mayor parte de la teoría de conjuntos convencional puede derivarse de la concepción iterativa de conjunto, asumida incorporada en S. La extensionalidad no se sigue de la concepción iterativa, y por lo tanto no es un teorema de S. Sin embargo, S + Extensionalidad está libre de contradicciones si S está libre de contradicciones.

Boolos luego modificó Spec para obtener una variante de S que llamó S+ , de modo que el esquema axiomático de reemplazo es derivable en S+  +  Extensionality. Por lo tanto, S+ + Extensionality tiene el poder de ZF . Boolos también argumentó que el axioma de elección no se sigue de la concepción iterativa, pero no abordó si Choice podría agregarse a S de alguna manera. ^{[ 5 ]} Por lo tanto , S+ + Extensionality no puede probar aquellos teoremas de la teoría de conjuntos convencional ZFC cuyas pruebas requieren Choice.

Inf garantiza la existencia de las etapas ω y de ω  + n para n finito , pero no de la etapa ω + ω. Sin embargo, S proporciona suficiente del paraíso de Cantor como para fundamentar casi todas las matemáticas contemporáneas. ^{[ 6 ]}   

Boolos compara S con cierto detalle con una variante del sistema de Grundgesetze de Frege , en el que el principio de Hume , tomado como axioma, reemplaza la Ley Básica V de Frege, un axioma de comprensión irrestricta que hacía inconsistente el sistema de Frege; véase la paradoja de Russell .

• Boolos, George (1989), "Iteración de nuevo", Philosophical Topics , 17 (2): 5– 21, doi : 10.5840/philtopics19891721 , JSTOR 43154050 Reimpreso en: Boolos, George (1998), Logic, Logic, and Logic , Harvard University Press, pp. 88–104 , ISBN  9780674537675.
• Potter, Michael (2004), Teoría de conjuntos y su filosofía , Oxford University Press, ISBN 9780199269730.