Universo de Von Neumann

El rango de un conjunto S es el α más pequeño tal que${\displaystyle S\subseteq V_{\alpha }\,.}$En otras palabras,${\displaystyle {\mathcal {P}}(V_{\alpha })}$es el conjunto de conjuntos con rango ≤ α . La etapa V _α también puede caracterizarse como el conjunto de conjuntos con rango estrictamente menor que α , independientemente de si α es 0, un ordinal sucesor o un ordinal límite:

$${\displaystyle V_{\alpha }:=\bigcup _{\beta <\alpha }{\mathcal {P}}(V_{\beta }).}$$

Esto proporciona una definición equivalente de V _α mediante recursión transfinita.

Sustituyendo la definición anterior de V _α en la definición del rango de un conjunto, se obtiene una definición recursiva autocontenida:

En otras palabras,

$${\displaystyle \operatorname {rank} (S)=\bigcup \{\operatorname {rank} (z)+1\mid z\in S\}.}$$

Las primeras cinco etapas de von Neumann, _V0 a V4 , _pueden visualizarse de la siguiente manera: (Una caja vacía representa el conjunto vacío. Una caja que contiene solo otra caja vacía representa el conjunto que contiene solo el conjunto vacío, y así sucesivamente).

Esta secuencia exhibe crecimiento tetracional . El conjunto V ₅ contiene 2 ¹⁶ = 65536 elementos; el conjunto V ₆ contiene 2 ⁶⁵⁵³⁶ elementos, lo que excede sustancialmente el número de átomos en el universo observable ; y para cualquier natural${\displaystyle n}$, el conjunto V _{n +1} contiene${\displaystyle 2\uparrow \uparrow n}$elementos usando la notación de flecha hacia arriba de Knuth . Por lo tanto, las etapas finitas de la jerarquía acumulativa no se pueden escribir físicamente de forma explícita después de la etapa 5. El conjunto V _ω tiene la misma cardinalidad que ω. El conjunto V _{ω +1} tiene la misma cardinalidad que el conjunto de los números reales.

En la teoría de conjuntos estándar de Zermelo-Fraenkel , V es simplemente el universo , es decir, la clase de todos los conjuntos. Es una clase propia y, por lo tanto, no es "el conjunto de todos los conjuntos ", aunque cada etapa individual V _α sea un conjunto, porque el índice α abarca la clase de todos los ordinales, una clase propia. La universalidad de V también depende del axioma de fundación (también conocido como axioma de regularidad). En las teorías de conjuntos no bien fundadas , el universo es mayor que V , ya que también contiene conjuntos no bien fundados.

A menudo, V se define como el universo, y entonces la fórmula V = ⋃ _α V _α significa "el universo de conjuntos ZF es igual a la jerarquía acumulativa" —no una definición, sino un teorema equivalente al axioma de regularidad. ^{[ 2 ] [ 3 ]} Roitman afirma (sin referencias) que la realización de esta equivalencia se debe a von Neumann. ^{[ 4 ]}

Según la definición moderna, V tampoco incluye urelementos en la primera etapa y, por lo tanto, solo contiene " conjuntos puros ". Sin embargo, la construcción original de Zermelo de su jerarquía recursiva transfinita en 1930 incluye todos los urelementos en V ₁ ( P ₁ en su notación), considerando el conjunto vacío como un caso especial de un urelemento. ^{[ 5 ]}

Si ω es el conjunto de los números naturales , entonces V _ω es el conjunto de conjuntos hereditariamente finitos , que es un modelo de teoría de conjuntos sin el axioma de infinito . ^{[ 6 ] [ 7 ]}

' V _{ω + ω} es el universo de las "matemáticas ordinarias" y es un modelo de la teoría de conjuntos de Zermelo (pero no un modelo de ZF ). ^{[ 8 ]} Un argumento simple a favor de la adecuación de V _{ω + ω} es la observación de que V _ω+1 es adecuado para los enteros, mientras que V _{ω +2} es adecuado para los números reales, y la mayoría de las demás matemáticas normales se pueden construir como relaciones de varios tipos a partir de estos conjuntos sin necesidad del axioma de reemplazo para salir de V _{ω + ω} .

Si κ es un cardinal inaccesible , entonces V _κ es un modelo de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZFC) y V _{κ +1} es un modelo de la teoría de conjuntos de Morse-Kelley . ^{[ 9 ] [ 10 ]} (Nótese que todo modelo ZFC es también un modelo ZF, y todo modelo ZF es también un modelo Z).

El universo de von Neumann satisface las dos propiedades siguientes:

• ${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)\in V}$para cada conjunto${\displaystyle x\in V}$.
• ${\displaystyle \bigcup x\in V}$para cada subconjunto${\displaystyle x\subsetequ V}$.

De hecho, si${\displaystyle x\in V}$, entonces${\displaystyle x\in V_{\alpha }}$para algún ordinal${\displaystyle \alpha }$. Cualquier etapa es un conjunto transitivo , por lo tanto, cada${\displaystyle y\in x}$ya está${\displaystyle y\in V_{\alpha }}$y por lo tanto cada subconjunto de${\displaystyle x}$es un subconjunto de${\displaystyle V_{\alpha }}$. Por lo tanto,${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)\subseteq V_{\alpha +1}}$y${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)\in V_{\alpha +2}\subseteq V}$. Para uniones de subconjuntos, si${\displaystyle x\subsetequ V}$, entonces para cada${\displaystyle y\in x}$, dejar${\displaystyle \beta _{y}}$sea ​​el ordinal más pequeño para el cual${\displaystyle y\in V_{\beta _ {y}}}$Porque por suposición${\displaystyle x}$es un conjunto, podemos formar el límite${\displaystyle \alpha =\sup\{\beta _{y}:y\in x\}}$Las etapas son acumulativas y, por lo tanto, nuevamente cada${\displaystyle y\in x}$es${\displaystyle y\in V_{\alpha }}$Entonces cada${\displaystyle z\in y}$también lo es${\displaystyle z\in V_{\alpha }}$, y entonces${\displaystyle \cup x\subseteq V_{\alpha }}$y${\displaystyle \cup x\in V_{\alpha +1}}$.

La paradoja de Hilbert implica que no existe ningún conjunto con las propiedades anteriores. ^{[ 11 ]} Supongamos que${\displaystyle V}$era un conjunto. Entonces${\displaystyle V}$sería un subconjunto de sí mismo, y${\displaystyle U=\cup V}$pertenecería a${\displaystyle V}$y también lo haría${\displaystyle {\mathcal {P}}(U)}$. Pero, en términos más generales, si${\displaystyle A\in B}$, entonces${\displaystyle A\subsetequ \cup B}$. Por eso,${\displaystyle {\mathcal {P}}(U)\subseteq \cup V=U}$, lo cual es imposible en modelos de ZFC como${\displaystyle V}$sí mismo.

Curiosamente,${\displaystyle x}$es un subconjunto de${\displaystyle V}$si, y solo si,${\displaystyle x}$es miembro de${\displaystyle V}$. Por lo tanto, podemos considerar qué sucede si la condición de unión se reemplaza por${\displaystyle x\in V\implies \cup x\in V}$En este caso, no se conocen contradicciones, y cualquier universo de Grothendieck satisface el nuevo par de propiedades. Sin embargo, la existencia de universos de Grothendieck es una cuestión que escapa al ámbito de ZFC.

Dado que la clase V puede considerarse el ámbito de la mayor parte de las matemáticas, es importante establecer que «existe» en algún sentido. Como la existencia es un concepto difícil, normalmente se sustituye la cuestión de la existencia por la de la consistencia, es decir, si el concepto está libre de contradicciones. Un obstáculo importante lo constituyen los teoremas de incompletitud de Gödel , que implican, en la práctica, la imposibilidad de demostrar la consistencia de la teoría de conjuntos ZF en la propia teoría de conjuntos ZF, siempre que sea consistente. ^{[ 12 ]}

La integridad del universo de von Neumann depende fundamentalmente de la integridad de los números ordinales , que actúan como parámetro de rango en la construcción, y de la integridad de la inducción transfinita , mediante la cual se construyen tanto los números ordinales como el universo de von Neumann. Se puede decir que la integridad de la construcción de los números ordinales se basa en los trabajos de von Neumann de 1923 y 1928. ^{[ 13 ]} Se puede decir que la integridad de la construcción de V mediante inducción transfinita se estableció en el trabajo de Zermelo de 1930. ^{[ 5 ]}