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solución de navegación por satélite

La solución de navegación por satélite para determinar la posición del receptor ( geoposicionamiento ) implica un algoritmo. Básicamente, un receptor GNSS mide el tiempo de tran...

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La solución de navegación por satélite para determinar la posición del receptor ( geoposicionamiento ) implica un algoritmo. Básicamente, un receptor GNSS mide el tiempo de transmisión de las señales GNSS emitidas por cuatro o más satélites GNSS (lo que proporciona el pseudorango ) y estas mediciones se utilizan para obtener su posición (es decir, coordenadas espaciales ) y el tiempo de recepción.

Las siguientes expresiones están expresadas en coordenadas del sistema de referencia inercial .

La solución ilustrada

Pasos del cálculo

  1. Un receptor del sistema global de navegación por satélite (GNSS) mide el tiempo de transmisión aparente,t~i{\displaystyle {\tilde {t}}_{i}}, o "fase", de señales GNSS emitidas por cuatro o más satélites GNSS (i=1,2,3,4,..,norte{\displaystyle i=1,\,2,\,3,\,4,\,..,\,n}), simultáneamente. [ 1 ]
  2. Los satélites GNSS transmiten los mensajes de las efemérides de los satélites ,ri(t){\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{i}(t)}y el sesgo intrínseco del reloj (es decir, el avance del reloj),δtreloj,sv,i(t){\displaystyle \delta t_{{\text{clock,sv}},i}(t)}como funciones del tiempo estándar ( atómico ) , por ejemplo, GPST . [ 2 ]
  3. El tiempo de transmisión de las señales de los satélites GNSS,ti{\displaystyle t_{i}}, se deriva así de las ecuaciones no cerradast~i=ti+δtreloj,i(ti){\displaystyle {\tilde {t}}_{i}=t_{i}+\delta t_{{\text{clock}},i}(t_{i})}yδtreloj,i(ti)=δtreloj,sv,i(ti)+δtórbita-relativa,i(ri,r˙i){\displaystyle \delta t_{{\text{clock}},i}(t_{i})=\delta t_{{\text{clock,sv}},i}(t_{i})+\delta t_{{\text{orbit-relativ}},\,i}({\boldsymbol {r}}_{i},\,{\dot {\boldsymbol {r}}}_{i})}, dóndeδtórbita-relativa,i(ri,r˙i){\displaystyle \delta t_{{\text{orbit-relativ}},i}({\boldsymbol {r}}_{i},\,{\dot {\boldsymbol {r}}}_{i})}es el sesgo del reloj relativista , que aumenta periódicamente debido a la excentricidad orbital del satélite y al campo gravitatorio de la Tierra . [ 2 ] La posición y la velocidad del satélite están determinadas porti{\displaystyle t_{i}}como sigue:ri=ri(ti){\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{i}={\boldsymbol {r}}_{i}(t_{i})}yr˙i=r˙i(ti){\displaystyle {\dot {\boldsymbol {r}}}_{i}={\dot {\boldsymbol {r}}}_{i}(t_{i})}La posición del satélite se deriva deri=ri(ti){\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{i}={\boldsymbol {r}}_{i}(t_{i})}.
  4. En el campo del GNSS, "alcance geométrico",r(rA,rB){\displaystyle r({\boldsymbol {r}}_{A},\,{\boldsymbol {r}}_{B})}, se define como rango recto, o distancia tridimensional , [ a ] ​​desderA{\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{A}}arB{\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{B}}en el marco inercial (por ejemplo, el ECI ), no en el marco giratorio . [ 2 ]
  5. La posición del receptor,rrec{\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{\text{rec}}}y hora de recepción,trec{\displaystyle t_{\text{rec}}}, satisfacen la ecuación del cono de luz der(ri,rrec)/do+(ti−trec)=0{\displaystyle r({\boldsymbol {r}}_{i},\,{\boldsymbol {r}}_{\text{rec}})/c+(t_{i}-t_{\text{rec}})=0}en el marco inercial , dondedo{\displaystyle c}es la velocidad de la luz . El tiempo de vuelo de la señal desde el satélite hasta el receptor es−(ti−trec){\displaystyle -(t_{i}-t_{\text{rec}})}.
  6. Lo anterior se extiende a la ecuación de posicionamiento de navegación por satélite ,r(ri,rrec)/do+(ti−trec)+δtatmósfera,i−δterror de medición,i=0{\displaystyle r({\boldsymbol {r}}_{i},\,{\boldsymbol {r}}_{\text{rec}})/c+(t_{i}-t_{\text{rec}})+\delta t_{{\text{atmos}},i}-\delta t_{{\text{meas-err}},i}=0}, dóndeδtatmósfera,i{\displaystyle \delta t_{{\text{atmos}},i}}es el retardo atmosférico (= retardo ionosférico + retardo troposférico ) a lo largo de la trayectoria de la señal yδterror de medición,i{\displaystyle \delta t_{{\text{meas-err}},i}}es el error de medición.
  7. El método de Gauss-Newton se puede utilizar para resolver el problema de mínimos cuadrados no lineales para la solución:(r^rec,t^rec)=arg⁡minϕ(rrec,trec){\displaystyle ({\hat {\boldsymbol {r}}}_{\text{rec}},\,{\hat {t}}_{\text{rec}})=\arg \min \phi ({\boldsymbol {r}}_{\text{rec}},\,t_{\text{rec}})}, dóndeϕ(rrec,trec)=∑i=1norte(δterror de medición,i/σδterror de medición,i)2{\displaystyle \phi ({\boldsymbol {r}}_{\text{rec}},\,t_{\text{rec}})=\sum _{i=1}^{n}(\delta t_{{\text{meas-err}},i}/\sigma _{\delta t_{{\text{meas-err}},i}})^{2}}. Tenga en cuenta queδterror de medición,i{\displaystyle \delta t_{{\text{meas-err}},i}}debe considerarse como una función derrec{\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{\text{rec}}}ytrec{\displaystyle t_{\text{rec}}}.
  8. La distribución posterior derrec{\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{\text{rec}}}ytrec{\displaystyle t_{\text{rec}}}es proporcional aexp⁡(−12ϕ(rrec,trec)){\displaystyle \exp(-{\frac {1}{2}}\phi ({\boldsymbol {r}}_{\text{rec}},\,t_{\text{rec}}))}, cuyo modo es(r^rec,t^rec){\displaystyle ({\hat {\boldsymbol {r}}}_{\text{rec}},\,{\hat {t}}_{\text{rec}})}Su inferencia se formaliza como estimación de máxima probabilidad a posteriori .
  9. La distribución posterior derrec{\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{\text{rec}}}es proporcional a∫−∞∞exp⁡(−12ϕ(rrec,trec))dtrec{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\exp(-{\frac {1}{2}}\phi ({\boldsymbol {r}}_{\text{rec}},\,t_{\text{rec}}))\,dt_{\text{rec}}}.

Notas para lo anterior

  • En el campo de GNSS,r~i=−do(t~i−t~rec){\textstyle {\tilde {r}}_{i}=-c({\tilde {t}}_{i}-{\tilde {t}}_{\text{rec}})}se llama pseudorango , dondet~rec{\textstyle {\tilde {t}}_{\text{rec}}}es una hora de recepción provisional del receptor.δtreloj,rec=t~rec−trec{\textstyle \delta t_{\text{clock,rec}}={\tilde {t}}_{\text{rec}}-t_{\text{rec}}}se denomina desviación del reloj del receptor (es decir, avance del reloj). [ 1 ]
  • Salida de receptores GNSS estándarr~i{\textstyle {\tilde {r}}_{i}}yt~rec{\textstyle {\tilde {t}}_{\text{rec}}}por época de observación .
  • La variación temporal en el sesgo del reloj relativista del satélite es lineal si su órbita es circular (y por lo tanto su velocidad es uniforme en el marco inercial).
  • El tiempo de vuelo de la señal desde el satélite hasta el receptor se expresa como−(ti−trec)=r~i/do+δtreloj,i−δtreloj,rec{\textstyle -(t_{i}-t_{\text{rec}})={\tilde {r}}_{i}/c+\delta t_{{\text{clock}},i}-\delta t_{\text{clock,rec}}}, cuyo lado derecho es resistente a errores de redondeo durante el cálculo.
  • El rango geométrico se calcula comor(ri,rrec)=|Ωmi(ti−trec)ri,ECEF−rrec,ECEF|{\textstyle r({\boldsymbol {r}}_{i},\,{\boldsymbol {r}}_{\text{rec}})=|\Omega _{\text{E}}(t_{i}-t_{\text{rec}}){\boldsymbol {r}}_{i,{\text{ECEF}}}-{\boldsymbol {r}}_{\text{rec,ECEF}}|}, donde el marco de referencia giratorio centrado en la Tierra y fijo a la Tierra (ECEF) (por ejemplo, WGS84 o ITRF ) se utiliza en el lado derecho yΩmi{\textstyle \Omega _{\text{E}}}es la matriz de rotación de la Tierra con el argumento del tiempo de tránsito de la señal . [ 2 ] La matriz se puede factorizar comoΩmi(ti−trec)=Ωmi(δtreloj,rec)Ωmi(−r~i/do−δtreloj,i){\textstyle \Omega _{\text{E}}(t_{i}-t_{\text{rec}})=\Omega _{\text{E}}(\delta t_{\text{clock,rec}})\Omega _{\text{E}}(-{\tilde {r}}_{i}/c-\delta t_{{\text{clock}},i})}.
  • El vector unitario de la línea de visión del satélite observado enrrec,ECEF{\textstyle {\boldsymbol {r}}_{\text{rec,ECEF}}}se describe como:mii,rec,ECEF=−∂r(ri,rrec)∂rrec,ECEF{\textstyle {\boldsymbol {e}}_{i,{\text{rec,ECEF}}}=-{\frac {\partial r({\boldsymbol {r}}_{i},\,{\boldsymbol {r}}_{\text{rec}})}{\partial {\boldsymbol {r}}_{\text{rec,ECEF}}}}}.
  • La ecuación de posicionamiento por navegación por satélite puede expresarse utilizando las variablesrrec,ECEF{\textstyle {\boldsymbol {r}}_{\text{rec,ECEF}}}yδtreloj,rec{\textstyle \delta t_{\text{clock,rec}}}.
  • La no linealidad de la dependencia vertical del retardo troposférico degrada la eficiencia de convergencia en las iteraciones de Gauss-Newton en el paso 7.
  • La notación anterior es diferente de la que aparece en los artículos de Wikipedia "Introducción al cálculo de posición" y "Cálculo de posición avanzado" sobre el Sistema de Posicionamiento Global (GPS).

La caja del GPS

  • Para el Sistema de Posicionamiento Global (GPS), [ 2 ] las ecuaciones no cerradas del paso 3 dan como resultado {Δti(ti,mii)≜ti+δtreloj,i(ti,mii)−t~i=0,ΔMETROi(ti,mii)≜METROi(ti)−(mii−miipecado⁡mii)=0,{\displaystyle {\begin{cases}\Delta t_{i}(t_{i},\,E_{i})\triangleq t_{i}+\delta t_{{\text{clock}},i}(t_{i},\,E_{i})-{\tilde {t}}_{i}=0,\\\Delta M_{i}(t_{i},\,E_{i})\triangleq M_{i}(t_{i})-(E_{i}-e_{i}\sin E_{i})=0,\end{cases}}} en el cualmii{\textstyle E_{i}}es la anomalía excéntrica orbital del satélitei{\displaystyle i},METROi{\textstyle M_{i}}es la anomalía media ,mii{\textstyle e_{i}}es la excentricidad yδtreloj,i(ti,mii)=δtreloj,sv,i(ti)+δtórbita-relativa,i(mii){\textstyle \delta t_{{\text{clock}},i}(t_{i},\,E_{i})=\delta t_{{\text{clock,sv}},i}(t_{i})+\delta t_{{\text{orbit-relativ}},i}(E_{i})}.
  • Lo anterior se puede resolver utilizando el método bivariado de Newton-Raphson enti{\textstyle t_{i}}ymii{\textstyle E_{i}}En la mayoría de los casos, serán necesarias y suficientes dos iteraciones. Su actualización iterativa se describirá utilizando la inversa aproximada de la matriz jacobiana de la siguiente manera: (timii)←(timii)−(10METRO˙i(ti)1−miiporque⁡mii−11−miiporque⁡mii)(ΔtiΔMETROi){\displaystyle {\begin{pmatrix}t_{i}\\E_{i}\\\end{pmatrix}}\leftarrow {\begin{pmatrix}t_{i}\\E_{i}\\\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1&0\\{\frac {{\dot {M}}_{i}(t_{i})}{1-e_{i}\cos E_{i}}}&-{\frac {1}{1-e_{i}\cos E_{i}}}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\Delta t_{i}\\\Delta M_{i}\\\end{pmatrix}}}
  • No se debe ignorar el retraso troposférico , mientras que la especificación del Sistema de Posicionamiento Global (GPS) [ 2 ] no proporciona una descripción detallada.

El caso GLONASS

  • Las efemérides de GLONASS no proporcionan desfases de reloj.δtreloj,sv,i(t){\textstyle \delta t_{{\text{clock,sv}},i}(t)}, peroδtreloj,i(t){\textstyle \delta t_{{\text{clock}},i}(t)}.

Véase también

Notas

  1. ↑ La distancia tridimensionalviene dada porr(rA,rB)=|rA−rB|=(incógnitaA−incógnitaB)2+(yA−yB)2+(zA−zB)2{\displaystyle r({\boldsymbol {r}}_{A},\,{\boldsymbol {r}}_{B})=|{\boldsymbol {r}}_{A}-{\boldsymbol {r}}_{B}|={\sqrt {(x_{A}-x_{B})^{2}+(y_{A}-y_{B})^{2}+(z_{A}-z_{B})^{2}}}}dónderA=(incógnitaA,yA,zA){\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{A}=(x_{A},y_{A},z_{A})}yrB=(incógnitaB,yB,zB){\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{B}=(x_{B},y_{B},z_{B})}representado en el sistema de referencia inercial .

Referencias

  1. 1 2 Misra, P. y Enge, P., Sistema de Posicionamiento Global: Señales, Mediciones y Rendimiento, 2.ª ed., Ganga-Jamuna Press, 2006.
  2. 1 2 3 4 5 6 "Especificación de la interfaz del SISTEMA DE POSICIONAMIENTO GLOBAL NAVSTAR" (PDF) . Archivado del original (PDF) el 16 de mayo de 2011. Recuperado el 18 de julio de 2010 .
  • PVT (Posición, Velocidad, Tiempo): Procedimiento de cálculo en el GNSS-SDR de código abierto y la RTKLIB subyacente.
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