electrodinámica escalar

El modelo consiste en un campo escalar complejo.${\displaystyle \phi (x)}$acoplado mínimamente a un campo de calibre${\displaystyle A_{\mu }(x)}$.

Este artículo analiza la teoría del espacio-tiempo plano.${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}$( espacio de Minkowski ) por lo que estos campos pueden tratarse (ingenuamente) como funciones${\displaystyle \phi$ :\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow \mathbb {C} } , y${\displaystyle A_{\mu }:\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow (\mathbb {R} ^{1,3})^{*}}$. La teoría también puede definirse para el espaciotiempo curvo, pero estas definiciones deben ser reemplazadas por una más sutil. El campo de gauge también se conoce como una conexión principal , específicamente una principal${\displaystyle {\text{U}}(1)}$conexión.

La dinámica viene dada por la densidad lagrangiana.

${\displaystyle {\begin{array}{lcl}{\mathcal {L}}&=&(D_{\mu }\phi )^{*}D^{\mu }\phi -V(\phi ^{*}\phi )-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\\&=&(\partial _{\mu }\phi )^{*}(\partial ^{\mu }\phi )-es decir ((\partial _{\mu }\phi )^{*}\phi -\phi ^{*}(\partial _{\mu }\phi ))A^{\mu }+e^{2}A_{\mu }A^{\mu }\phi ^{*}\phi -V(\phi ^{*}\phi )-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }\end{array}}}$

dónde

• ${\displaystyle F_{\mu \nu }=(\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu })}$es la intensidad del campo electromagnético, o curvatura de la conexión.
• ${\displaystyle D_{\mu }\phi =(\partial _{\mu }\phi -ieA_{\mu }\phi )}$es la derivada covariante del campo${\displaystyle \phi }$
• ${\displaystyle e=-|e|<0}$es la carga eléctrica
• ${\displaystyle V(\phi ^{*}\phi )}$es el potencial para el campo escalar complejo.

Este modelo es invariante bajo transformaciones de calibre parametrizadas por${\displaystyle \lambda (x)}$Esta es una función de valor real.${\displaystyle \lambda$ :\mathbb {R} ^{1,3}\rightarrow \mathbb {R} .}

${\displaystyle \phi '(x)=e^{ie\lambda (x)}\phi (x)\quad {\textrm {y}}\quad A_{\mu }'(x)=A_{\mu }(x)+\partial _{\mu }\lambda (x).}$

Una elección simple de potencial para demostrar el mecanismo de Higgs es

${\displaystyle V(|\phi |^{2})=\lambda (|\phi |^{2}-\Phi ^{2})^{2}.}$

El potencial se minimiza en${\displaystyle |\phi |=\Phi }$, que se elige mayor que cero. Esto produce un círculo de mínimos, con valores${\displaystyle \Phi e^{i\theta }}$, para${\displaystyle \theta }$un número real.