invariancia de escala

La idea de invariancia de escala de un monomio se generaliza en dimensiones superiores a la idea de un polinomio homogéneo y, más generalmente, a una función homogénea . Las funciones homogéneas son los habitantes naturales del espacio proyectivo , y los polinomios homogéneos se estudian como variedades proyectivas en geometría proyectiva . La geometría proyectiva es un campo particularmente rico de las matemáticas; en sus formas más abstractas, la geometría de esquemas , tiene conexiones con diversos temas de la teoría de cuerdas .

A veces se dice que los fractales son invariantes a la escala, aunque, para ser más precisos, se debería decir que son autosimilares . Un fractal es igual a sí mismo generalmente solo para un conjunto discreto de valores λ , e incluso entonces puede ser necesario aplicar una traslación y una rotación para que el fractal coincida consigo mismo.

Así, por ejemplo, la curva de Koch escala con ∆ = 1 , pero esta escala solo se cumple para valores de λ = 1/3 ⁿ para n entero . Además, la curva de Koch escala no solo en el origen, sino, en cierto sentido, "en todas partes": se pueden encontrar copias en miniatura de sí misma a lo largo de toda la curva.

Algunos fractales pueden tener múltiples factores de escala en juego simultáneamente; dicha escala se estudia mediante análisis multifractal .

Los rayos periódicos externos e internos son curvas invariantes.

Las distribuciones de Tweedie son un caso especial de modelos de dispersión exponencial , una clase de modelos estadísticos utilizados para describir las distribuciones de error del modelo lineal generalizado y caracterizados por su cierre bajo convolución aditiva y reproductiva, así como bajo transformación de escala. ^{[ 1 ]} Estas incluyen varias distribuciones comunes: la distribución normal , la distribución de Poisson y la distribución gamma , así como distribuciones más inusuales como la distribución compuesta de Poisson-gamma, las distribuciones estables positivas y las distribuciones estables extremas. Como consecuencia de su invariancia de escala inherente, las variables aleatorias de Tweedie Y demuestran una ley de potencia de la varianza var( Y ) a la media E( Y ):

${\displaystyle {\text{var}}\,(Y)=a[{\text{E}}\,(Y)]^{p}}$,

donde a y p son constantes positivas. Esta ley de potencia de la varianza a la media se conoce en la literatura de física como escalamiento de fluctuación [ ^{2 ]} y en la literatura de ecología como ^ley de Taylor ^{[ 3 ]} .

Las secuencias aleatorias, regidas por las distribuciones de Tweedie y evaluadas mediante el método de expansión de intervalos, presentan una relación bicondicional entre la ley de potencias de la varianza a la media y las autocorrelaciones de ley de potencias . El teorema de Wiener-Khinchin implica además que cualquier secuencia que presente una ley de potencias de la varianza a la media bajo estas condiciones también manifestará ruido 1/f . ^{[ 4 ]}

El teorema de convergencia de Tweedie proporciona una explicación hipotética para la amplia manifestación del escalamiento de fluctuaciones y el ruido 1/f . ^{[ 5 ]} Requiere, esencialmente, que cualquier modelo de dispersión exponencial que manifiesta asintóticamente una ley de potencia de varianza a media expresará una función de varianza que se encuentre dentro del dominio de atracción de un modelo de Tweedie. Casi todas las funciones de distribución con funciones generadoras de cumulantes finitas califican como modelos de dispersión exponencial y la mayoría de estos modelos manifiestan funciones de varianza de esta forma. Por lo tanto, muchas distribuciones de probabilidad tienen funciones de varianza que expresan este comportamiento asintótico , y las distribuciones de Tweedie se convierten en focos de convergencia para una amplia gama de tipos de datos. ^{[ 4 ]}

Así como el teorema del límite central requiere que ciertos tipos de variables aleatorias tengan como foco de convergencia la distribución gaussiana y expresen ruido blanco , el teorema de convergencia de Tweedie requiere que ciertas variables aleatorias no gaussianas expresen ruido 1/f y escalamiento de fluctuación. ^{[ 4 ]}

En cosmología física , el espectro de potencia de la distribución espacial del fondo cósmico de microondas se aproxima a una función invariante de escala. Si bien en matemáticas esto significa que el espectro sigue una ley de potencias, en cosmología el término "invariante de escala" indica que la amplitud, P ( k ) , de las fluctuaciones primordiales en función del número de onda , k , es aproximadamente constante, es decir, un espectro plano. Este patrón es consistente con la propuesta de inflación cósmica .

Para que una configuración de campo particular, φ ( x ), sea invariante de escala, requerimos que

${\displaystyle \varphi (x)=\lambda ^{-\Delta }\varphi (\lambda x)}$

donde Δ es, de nuevo, la dimensión de escala del campo.

Observamos que esta condición es bastante restrictiva. En general, incluso las soluciones de ecuaciones de campo invariantes de escala no serán invariantes de escala, y en tales casos se dice que la simetría se rompe espontáneamente .

Un ejemplo de una teoría de campo clásica invariante de escala es el electromagnetismo sin cargas ni corrientes. Los campos son los campos eléctrico y magnético, E ( x , t ) y B ( x , t ), mientras que sus ecuaciones de campo son las ecuaciones de Maxwell .

En ausencia de cargas o corrientes, estas ecuaciones de campo adoptan la forma de ecuaciones de onda.

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\mathbf {E} ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}\\[6pt]\nabla ^{2}\mathbf {B} ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B}}{\partial t^{2}}}\end{aligned}}}$

donde c es la velocidad de la luz.

Estas ecuaciones de campo son invariantes bajo la transformación

${\displaystyle {\begin{aligned}x\rightarrow \lambda x,\\[6pt]t\rightarrow \lambda t.\end{aligned}}}$

Además, dadas las soluciones de las ecuaciones de Maxwell, E ( x , t ) y B ( x , t ), se cumple que E ( λ x , λt ) y B ( λ x , λt ) también son soluciones.

Otro ejemplo de una teoría de campo clásica invariante de escala es el campo escalar sin masa (nótese que el nombre escalar no está relacionado con la invariancia de escala). El campo escalar, φ ( x , t ) es una función de un conjunto de variables espaciales, x , y una variable de tiempo, t .

Consideremos primero la teoría lineal. Al igual que las ecuaciones del campo electromagnético anteriores, la ecuación de movimiento para esta teoría también es una ecuación de onda,

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}\varphi =0,}$

y es invariante bajo la transformación

${\displaystyle x\rightarrow \lambda x,}$

${\displaystyle t\rightarrow \lambda t.}$

El nombre sin masa se refiere a la ausencia de un término${\displaystyle \propto m^{2}\varphi }$en la ecuación de campo. Dicho término se suele denominar término de "masa" y rompería la invariancia bajo la transformación anterior. En las teorías de campo relativistas , una escala de masa, m, es físicamente equivalente a una escala de longitud fija a través de

${\displaystyle L={\frac {\hbar }{mc}},}$

Por lo tanto, no debería sorprender que la teoría de campos escalares masivos no sea invariante de escala.

Un ejemplo sencillo de una teoría cuántica de campos invariante de escala es el campo electromagnético cuantizado sin partículas cargadas. Esta teoría no tiene parámetros de acoplamiento (ya que los fotones no tienen masa ni interactúan entre sí) y, por lo tanto, es invariante de escala, al igual que la teoría clásica.

Sin embargo, en la naturaleza, el campo electromagnético está acoplado a partículas cargadas, como los electrones . La teoría cuántica de campos (TCC) que describe las interacciones entre fotones y partículas cargadas es la electrodinámica cuántica (EDC), y esta teoría no es invariante de escala. Esto se puede observar en la función beta de la EDC , que indica que la carga eléctrica (el parámetro de acoplamiento en la teoría) aumenta con la energía. Por lo tanto, mientras que el campo electromagnético cuantizado sin partículas cargadas es invariante de escala, la EDC no lo es .

La teoría de campos escalares cuantizados , libres y sin masa, no tiene parámetros de acoplamiento. Por lo tanto, al igual que la versión clásica, es invariante de escala. En el lenguaje del grupo de renormalización, esta teoría se conoce como el punto fijo gaussiano .

Sin embargo, aunque la teoría clásica sin masa φ ⁴ es invariante de escala en D  =  4, la versión cuantizada no lo es. Podemos ver esto a partir de la función beta para el parámetro de acoplamiento, g .

Aunque el campo escalar cuantizado sin masa ^φ₄ no es invariante de escala, existen teorías de campo escalar cuantizadas invariantes de escala distintas del punto fijo gaussiano. Un ejemplo es el punto fijo de Wilson-Fisher , que se muestra a continuación.

Las teorías cuánticas de campos (TCC) invariantes de escala son casi siempre invariantes bajo la simetría conforme completa , y el estudio de dichas TCC es la teoría de campos conformes (TCC). Los operadores en una TCC tienen una dimensión de escala bien definida , análoga a la dimensión de escala , ∆ , de un campo clásico discutido anteriormente. Sin embargo, las dimensiones de escala de los operadores en una TCC suelen diferir de las de los campos en la teoría clásica correspondiente. Las contribuciones adicionales que aparecen en la TCC se conocen como dimensiones de escala anómalas .

El ejemplo de la teoría φ ⁴ anterior demuestra que los parámetros de acoplamiento de una teoría cuántica de campos pueden depender de la escala incluso si la teoría clásica de campos correspondiente es invariante de escala (o conformemente invariante). En tal caso, se dice que la invariancia de escala clásica (o conforme) es anómala . Una teoría de campos clásicamente invariante de escala, donde la invariancia de escala se rompe por efectos cuánticos, proporciona una explicación de la expansión casi exponencial del universo primitivo llamada inflación cósmica , siempre que la teoría pueda estudiarse mediante la teoría de perturbaciones . ^{[ 7 ]}

Un ejemplo que relaciona muchas de las ideas de este artículo es la transición de fase del modelo de Ising , un modelo sencillo de sustancias ferromagnéticas . Se trata de un modelo de mecánica estadística, que también se describe mediante la teoría de campos conformes. El sistema consta de una red de nodos que forman una red periódica D -dimensional. A cada nodo se le asocia un momento magnético , o espín , que puede tomar los valores +1 o −1. (Estos estados también se denominan arriba y abajo, respectivamente).

El punto clave es que el modelo de Ising presenta una interacción espín-espín, lo que hace que sea energéticamente favorable que dos espines adyacentes se alineen. Por otro lado, las fluctuaciones térmicas suelen introducir aleatoriedad en la alineación de los espines. A cierta temperatura crítica, T _c , se dice que ocurre magnetización espontánea . Esto significa que por debajo de T _c la interacción espín-espín comenzará a predominar, y existe cierta alineación neta de los espines en una de las dos direcciones.

Un ejemplo del tipo de magnitudes físicas que uno desearía calcular a esta temperatura crítica es la correlación entre espines separados por una distancia r . Esto tiene el siguiente comportamiento genérico:

${\displaystyle G(r)\propto {\frac {1}{r^{D-2+\eta }}},}$

para algún valor particular de${\displaystyle \eta }$, que es un ejemplo de exponente crítico.

Las dimensiones anómalas en ciertas teorías de campos conformes (TCC) bidimensionales pueden relacionarse con las dimensiones fractales típicas de los paseos aleatorios, definidos mediante la evolución de Schramm-Loewner (ESL). Como se ha mencionado anteriormente, las TCC describen la física de las transiciones de fase, por lo que es posible relacionar los exponentes críticos de ciertas transiciones de fase con estas dimensiones fractales. Algunos ejemplos son el modelo crítico de Ising bidimensional y el modelo crítico de Potts bidimensional, más general . La relación entre otras TCC bidimensionales y la ESL es un área de investigación activa.

En determinadas circunstancias, la mecánica de fluidos es una teoría de campo clásica invariante de escala. Los campos son la velocidad del flujo del fluido,${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)}$, la densidad del fluido,${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)}$y la presión del fluido,${\displaystyle P(\mathbf {x} ,t)}$Estos campos deben satisfacer tanto la ecuación de Navier-Stokes como la ecuación de continuidad . Para un fluido newtoniano, estas toman las formas respectivas.

$${\displaystyle \rho {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\rho \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =-\nabla P+\mu \left(\nabla ^{2}\mathbf {u} +{\frac {1}{3}}\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\right)}$$

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\rho \mathbf {u} \right)=0}$

dónde${\displaystyle \mu }$es la viscosidad dinámica .

Para deducir la invariancia de escala de estas ecuaciones, especificamos una ecuación de estado que relaciona la presión del fluido con la densidad del fluido. La ecuación de estado depende del tipo de fluido y de las condiciones a las que está sometido. Por ejemplo, consideramos el gas ideal isotérmico , que satisface

${\displaystyle P=c_{s}^{2}\rho ,}$

dónde${\displaystyle c_{s}}$es la velocidad del sonido en el fluido. Dada esta ecuación de estado, las ecuaciones de Navier-Stokes y de continuidad son invariantes bajo las transformaciones.

${\displaystyle x\rightarrow \lambda x,}$

${\displaystyle t\rightarrow \lambda ^{2}t,}$

${\displaystyle \rho \rightarrow \lambda ^{-1}\rho ,}$

${\displaystyle \mathbf {u} \rightarrow \lambda ^{-1}\mathbf {u} .}$

Dadas las soluciones${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {x} ,t)}$y${\displaystyle \rho (\mathbf {x} ,t)}$, automáticamente tenemos eso ${\displaystyle \lambda \mathbf {u} (\lambda \mathbf {x} ,\lambda ^{2}t)}$y${\displaystyle \lambda \rho (\lambda \mathbf {x} ,\lambda ^{2}t)}$También son soluciones.

En visión por computadora y visión biológica , las transformaciones de escala surgen debido al mapeo de imágenes de perspectiva y debido a que los objetos tienen diferentes tamaños físicos en el mundo. En estas áreas, la invariancia de escala se refiere a descriptores de imagen locales o representaciones visuales de los datos de la imagen que permanecen invariantes cuando se cambia la escala local en el dominio de la imagen. ^{[ 8 ]} La detección de máximos locales sobre escalas de respuestas derivadas normalizadas proporciona un marco general para obtener invariancia de escala a partir de datos de imagen. ^{[ 9 ] [ 10 ]} Ejemplos de aplicaciones incluyen detección de blob , detección de esquinas , detección de crestas y reconocimiento de objetos a través de la transformación de características invariantes de escala .